初中《一元二次方程的应用》第2课时教学案例设计
油建学校 朱艳
教学设计思想
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决。但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题。本课教学思想是应用一元二次方程解决实际问题时， 使学生经历完整的数学化过程，培养学生从多角度思考和分析问题以及有条理地表达自己思考过程的能力。不必强求学生解决问题的方法和策略完全统一，只要思路正确，解法合理，结果符合实际即可。 教学目标 知识与技能：
1、能根据世纪问题正确列出方程并求解，并能根据具体问题的实际意义建议结果的合理性。
2、提高分析问题、解决问题的能力，进一步增强数学的应用意识。 过程与方法：
经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性。 情感态度价值观：
在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性，在发现的过程中提高思维品质和探究 学习能力。 教学重难点
重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题 难点：根据数与数字关系找等量关系
疑点：列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解。例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等。
解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而 列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已 知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。 教学方法
教师通过复习，讲练结合，和学生一起研究一元二次方程的应用题，列方程解应用题一 般分为审题，设未知数，解列方程，检验写出答案四步进行，其中审题过程虽在草纸上进行， 但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知条件和所求的量，弄清量与量之间的数量 关系，才能准确找出相等关系，列出方程。 教学媒体 多媒体
课时安排 2 课时 教学过程设计 第一课时 一、复习引入 提问
1.一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法。) 2.回忆一元二次方程解的情况。(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0 三种情况回答问题。) 3.我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；② 设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案。) 前面我们已经遇到过与一元二次方程有联系的应用。此类问题还有吗？回答是肯定的： 还有很多！本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题。
二、一起探究
如图，某小区内有一块长、宽比为1∶2 的矩形空地，计划在该空地上建筑两条宽均为 2m 的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪。如果四块草坪的面积之和为321m 2 ， 请求出原来矩形空地的长和宽。
1.请找出上述问题中等量关系。 2.列出方程，并求出方程的解。
3.写出方程的答案，并与同学交流各自的思考过程。
学生根据自己已有的经验先自主探究，再小组交流，然后师生共同解决。 等量关系：（1）大矩形的面积—两条小路的面积=四个小矩形的面积之和；
(2 ) 四个小矩形的面积之和=长和宽都比大矩形的长和宽少1m 的矩形的面积设大矩形
空地的宽为xm，则长为2xm，则（2x-2）（x-2）=312 解得 x1=14，x2=-11（舍去）。2x=28 所以长为28m，宽为14m。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。 做一做
如图，有一块长80cm，宽60cm 的硬纸片，在四个角各减去一个同样的小正方形，用剩余的部分做一个地面积为1500cm 2 的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长。
学生独立完成，然后全班交流。 老师对学习有困难的学生及时进行点拨。
解：设需要剪去的小正方形边长为 x cm，则盒底面长方形的长为(80—2x)cm，宽为 ( 60-2x)cm，据题意：(80—2x)(60—2x)=1500。
整理后，得 2 x —70x 十825=0， 解得x1=15，x2=55。
∵当x=55 时，80—2x=-30(不合题意，舍去。)
答：截取的小正方形边长应为15cm，可制成符合要求的无盖盒子。
本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题。 (1)因为要做成底面积为 1500cm 2 的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能 用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找等量关系，列出方程， 这是解决本题的关键。
(2)求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为55 时， 得到底面的宽为—30，则不合题意，所以x=55 舍去。
(3)本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了 一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决。使学生深刻体会数学知识应用的价值，由 此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识。 三、例题
某商场销售一种服装，平均每天可售出20 件，每件盈利40元。经市场调查发现：如果每件服装降1元，平均每天能多售出2件。在国庆节期间，商场决定采取降价销售的措施，
以达到减少库存、扩大销售量的目的。如果销售这种服装每天盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
分析：如果设每件服装降价x 元，则每件服装的盈利为（40-x）元，每天销售的服装为 （20+2x）件。根据等量关系：每件服装的赢利×每天销售的服装件数=1200 元，即可列出方程，进而求的问题的答案。
解：设每件服装降价x元，根据题意，得 （40-x）(20+2x)=1200 整理，得 x 2 -30x+200=0 解这个方程，得x1=10，x2=20
所以，当每件服装降10元或20元时，每天赢利1200元 因为要达到减少库存的目的，所以应取x=20。 答：每件服装应降价20 元。 四、练习
课本P43 五、小结 ：
本节课你学到了什么？有哪些收获？
1.善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程。培 养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法。
2.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题。
3.剖示考点：一元二次方程的应用在中考中出现的频率较高，大量是以与现实生活实 践相结合的应用题形式出现，考查用数学的意识。 六、板书设计
用一元二次方程解实际问题（二）
例1 做一做 例2 练习
教学反思
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