类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到。 1. 已知在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC=3，AC=4，P为AC边上的一动点. （1）请在图1中以PA，PB为边作 APBQ，并连接PQ交于点M.
（2）在点P的运动过程中，对角线PQ的最小值是 ，此时AP的值是 ：
AC（3）图2中，若延长PA到E，使AE= n PA（n为大于0的常数），以PE，PB为边作 PBQE，求对角线PQ的最小值和此时AP的值.
ACEA
AQMPAPCBCBCB图1 图2
2. 如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．
（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图1，求证：CF+BE=CD； （2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图2；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图3，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=43，则BE= ，CD= ．
AABFCNACNEFDDEBD
CB E
M 图 1 图 2
NF图3第1页
3. 如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F． 求证：PD+PE=CF．
【变式探究】如图2，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
AADFFDBBP图1
ECCE图2
P
【结论运用】如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，PG+PH的值是 ；
图3
【迁移拓展】如图4，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=213dm，AD=3dm，BD=37dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
C'BHFCAGEPDME NAB
C 图4
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D4. 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；
（2）如图2,△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
AA
36°
5. 如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），
求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，证明之.
图1B图2CB图3CNNDMNE EDM M DAAEBB CB AC 图1 图2 图3 C
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6. 如图，在矩形ABCD中，M是AD的中点，点E是线段AB上的动点，连接EM交CD的延长线于F，①如图1，ME和MF的数量关系是 ；②如图2，G是BC上一点，△GEF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB:AD的值；③如图3，G是BC延长线上一点，△GEF是等边三角形，直接写出AB:AD的值.
AEFMDFFAAEMMDD E BCGB 图1 图2 C B C G 图3
7. 如图，正方形ACFD和正方形CBEG，过D和E分别作直线AB的垂线，垂足分别为D1，E1，①如图1，当D，E在直线AB的上方时，探究线段DD1，AB，EE1之间的数量关系，并说明理由；②如图2，当E在直线AB的下方时，直接写出线段DD1，AB，EE1之间的数量关系.
FDG C
D1A图1
FBE1E
D CE1GABD1 图2
E
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8. 如图1，将一副三角板如图放置，直角顶点A在DE上，∠F=30°，C、D、B、F在同一直线上，CD=DB=BF=2，将图1中的三角板EDF绕D逆时针旋转，使DE交AC于M，DF交AB于N，当EF∥BC时，DF旋转的角度是 ；求出四边形AMDN的面积和周长.
9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，①如图1，当D在线段BC上（不与B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，①CF，BC，CD的关系是 ； ②如图2，当D在线段CB的延长线上时，判断△AOC的形状，说明理由
BADBOCEACDBF 图1
EMCANDBFFAE图1 D C 图2
EF
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10. 如图1，△ABC是等边三角形，P是BC上一点，PD∥AC交AB于D，PE∥AB交AC于E， 求证：DE的中点M在三角形的一条中位线上.
②如图2，△ABC是边长为4的等边三角形， G是AB上一动点，从A向B运动， H是BC上一动点，从B向C运动，G和H同时出发，速度相同. 直接写出GH的中点O所经过的路径的长及OA+OC的最小值.
BPCEDAAGBHC图1 图2
11. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，D，E分别是BC和AC的中点，将△CDE绕C顺时针旋转，旋转角记为 (1）当=0°时，
AEBD= ;当=180°时
AEBD= .
(2)当0°≤<360°时，
AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.
(3) 当△CDE旋转至A，D，E共线时，直接写出线段BD的长. A
D E CBDAEAB图1 图2 备用图
BCC
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12. 如图，在△ABC中，AB=AC，①如图1，∠ABD=∠ACD =60°，猜想AB与BD+CD的数量关系，并证明你的结论.②如图2，∠ABD=∠ACD =45°，猜想AB与BD+CD的数量关系，并证明你的结论. ③如图3，∠ABD=∠ACD =β，猜想AB与BD+CD的数量关系，用含β的式子表示. A BD C图1
ABDC 图2 第7页
ABDC 图3
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