注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共10小题）.
1．下列各实数中，属于无理数的是（ ） A．
B．3.14
C．0
D．
2．数据2，6，5，0，1，6，8的中位数和众数分别是（ ） A．0和6
B．0和8
C．5和8
D．5和6
3．已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（ ） A．2
B．﹣2
C．﹣4
D．﹣3
4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．75° B．63° C．55° D．45°
6．将抛物线y＝3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ） A．（4，﹣5）
B．（4，5）
C．（﹣4，5）
D．（﹣4，﹣5）
7．如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点
B的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
8．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的一元二次方程x2+（1﹣a）x+a2＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为（ ） A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．﹣1或2
10．如图，四边形ABCD为正方形，∠CAB的平分线交BC于点E，将△ABE绕点B顺时DG，DG与AC相交于点H．针旋转90°得到△CBF，延长AE交CF于点G，连接BG，有下列结论：①BE＝BF；②∠ACF＝∠F；③BG⊥DG；④
．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上
11．分解因式：x2y﹣25y＝ ． 12．若单项式13．
与3x5yn+1的和仍是单项式，则mn＝ ．
+|y+2|＝0，则（x+y）2021＝ ．
14．三角形的三边长分别为5cm，6cm，7cm，则连接三边中点所围成的三角形的周长是 cm．
15．如图是由四个直角边长分别为2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是 ．
16．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上．若AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC＝ °．
17．如图是由大小相同的线段组成的一系列图案，第1个图案由5条线段组成，第2个图案 由8条线段组成，…，按此规律排列下去，则第2021个图案由 条线段组成．
三、解答题（-）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18．先化简，再求值：
÷（
﹣y﹣2），其中y＝﹣1．
19．如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的图中，连接BC，DC．求证：四边形ABCD是菱形．
20．2021年是中国共产党成立100周年，某校组织开展了丰富多彩的主题教育活动，活动设置了“A：诗歌朗诵表演，B：歌舞表演，C：书画作品展览，D：手工作品展览”四个专项活动，每个学生限选一个专项活动参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部 分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 ； （2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校有学生1200人，则在这次活动中选择“A：诗歌朗诵表演”的学生约有多少人？
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B在格点上，连接AB，作线段AB关于直线l的对称线段A'B'，在直线l上取一格点O，连接OA，OB，OA'，OB'，A'B'． （1）求证：△OAB≌△OA'B'； （2）求以点O为圆心的劣弧AA'的长．
22．某校积极响应国家号召，为落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买100L和240L两种型号的垃圾箱若干套．若购买8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元；若购买4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元． （1）每套100L垃圾箱和每套240L垃圾箱各多少元？
（2）学校决定购买100L垃圾箱和240L垃圾箱共20套，且240L垃圾箱的数量不少于100L垃圾箱数量的，求购买这20套垃圾箱的最少费用．
23．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝8，点O在线段BC上，且OC＝3，以点O为圆心，OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）求证：
．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）图象的两个交点分别为A（4，），B（1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？ （2）求一次函数的解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标．
25．如图，点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根（OC＞OB），点A在x轴的负半轴上，且OA＝OC＝3OB，连接AC． （1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值；
（3）M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省阳江市阳东区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1．下列各实数中，属于无理数的是（ ） A．
B．3.14
C．0
D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、
是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．数据2，6，5，0，1，6，8的中位数和众数分别是（ ） A．0和6
B．0和8
C．5和8
D．5和6
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 解：从小到大排列此数据为：0，1，2，5，6，6，8数据，6出现了2次最多为众数， 处在中间位置的数为5，故中位数为5． 所以本题这组数据的中位数是5，众数是6． 故选：D．
3．已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（ ） A．2
B．﹣2
C．﹣4
D．﹣3
【分析】注意到2a+2b﹣3只需变形得2（a+b）﹣3，再将a+b＝，整体代入即可 解：
∵2a+2b﹣3＝2（a+b）﹣3，
∴将a+b＝代入得：2×﹣3＝﹣2 故选：B．
4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180°（n﹣2）＝1080°，解此方程即可求得答案． 解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得：180°（n﹣2）＝1080°， 解得：n＝8． 故选：C．
5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．75° B．63° C．55° D．45°
【分析】根据平行线的性质和翻折的性质解答即可． 解：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，
∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°， ∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°， ∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°， ∴∠ACB＝75°， 故选：A．
6．将抛物线y＝3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（4，﹣5） B．（4，5） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣5）
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可求得平移后的顶点式，从而求得得到坐标．
解：将抛物线y＝3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为y＝3（x﹣4）2+5， ∴其顶点坐标为（4，5）， 故选：B．
7．如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得﹣2•x＝4，﹣2•y＝﹣2，由此求得点B的坐标． 解：设点B的坐标为（x，y），
因为点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），
所以根据位似变换的坐标特点得﹣2•x＝4，﹣2•y＝﹣2， 即x＝﹣2，y＝1，故点B的坐标为（﹣2，1）． 故选：C．
8．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正切值． 解：如图，连接AC、BC． ∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是
，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知， tan∠ABC＝
＝，
∴tan∠ADC＝， 故选：C．
9．关于x的一元二次方程x2+（1﹣a）x+a2＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为（ ） A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．﹣1或2
【分析】根据根与系数的关系可得出a2＝1，解之可得出a值，再将a值代入原方程，利用根的判别式验证方程是否有解，由此即可确定a值．
解：∵关于x的一元二次方程x2+（1﹣a）x+a2＝0的两个实数根互为倒数， ∴a2＝1， ∴a＝±1．
当a＝1时，原方程为x2+1＝0， ∵Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0， ∴此时方程无解，a＝1舍去； 当a＝﹣1时，原方程为x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×1＝0， ∴此时方程有解． 故选：B．
10．如图，四边形ABCD为正方形，∠CAB的平分线交BC于点E，将△ABE绕点B顺时DG，DG与AC相交于点H．针旋转90°得到△CBF，延长AE交CF于点G，连接BG，有下列结论：①BE＝BF；②∠ACF＝∠F；③BG⊥DG；④
．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【分析】①由旋转的性质得△ABE≌△CBF，可得BE＝BF；②由正方形的性质得∠BAC＝∠ACB＝45°，即∠BAE＝∠BCF＝22.5°，进而可得∠ACF＝∠F＝67.5°；③先证明△ABG≌△DCG（SAS），可得∠AGB＝∠DGC，根据∠ACF＝∠F，AE平分∠ACB可得AG⊥CF进而可得BG⊥DG；④先证明△DCH∽△ACE，可得＝
，故可求解．
＝
＝
，即
解：①∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°， ∵AG⊥CF， ∴∠AGF＝90°， ∴∠GAF+∠F＝90°， ∵∠BAF+∠F＝90°， ∴∠GAF＝∠BCF， ∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴BE＝BF， 故①正确；
②由正方形的性质得∠BAC＝∠ACB＝45°， ∵AE平分∠ACB，
∴∠BAE＝∠BCF＝22.5°，
∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝67.5°，∠F＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠ACF＝∠F＝67.5°， 故②正确；
③∵∠CBF＝90°，FG＝CG， ∴BG＝CG， ∴∠CBG＝∠BCG， ∵∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠ABG＝∠DCG， ∵AB＝DC，
∴△ABG≌△DCG（SAS）， ∴∠AGB＝∠DGC，
∵∠ACF＝∠F，AE平分∠CAB， ∴AG⊥CF，
∴∠AGB+∠DGA＝∠DGC+∠DGA＝90°， ∴BG⊥DG， 故③正确；
④∵△ABG≌△DCG， ∴∠CDG＝∠BAG＝∠CGA， ∵∠DCH＝∠ACE， ∴△DCH∽△ACE， ∴∴
，
，
故④正确，
综上，正确的结论是①②③④，
故选：D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上
11．分解因式：x2y﹣25y＝ y（x+5）（x﹣5） ．
【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解． 解：x2y﹣25y ＝y（x2﹣25） ＝y（x+5）（x﹣5）． 故答案为：y（x+5）（x﹣5）． 12．若单项式
与3x5yn+1的和仍是单项式，则mn＝ 12 ．
【分析】根据同类项的概念列出方程，解方程求出m、n，计算即可． 解：∵单项式∴单项式
与3x5yn+1的和仍是单项式， 与3x5yn+1是同类项，
∴2m﹣3＝5，n+1＝4， 解得：m＝4，n＝3， ∴mn＝3×4＝12， 故答案为：12． 13．
+|y+2|＝0，则（x+y）2021＝ ﹣1 ．
【分析】根据算术平方根和绝对值的性质，列方程：x﹣1＝0，y+2＝0，可得x和y的值，代入计算即可． 解：∵
∴x﹣1＝0，y+2＝0． ∴x＝1，y＝﹣2．
∴（x+y）2021＝（1﹣2）2021＝﹣1． 故答案为：﹣1．
14．三角形的三边长分别为5cm，6cm，7cm，则连接三边中点所围成的三角形的周长是 9 cm．
【分析】根据三角形中位线定理分别求出连接各边中点所围成的三角形的三边，计算即可．
，
解：由三角形的中位线定理，得连接各边中点所围成的三角形的三边分别是2.5cm，3cm，3.5cm，
∴它的周长＝2.5+3+3.5＝9（cm）， 故答案为：9．
15．如图是由四个直角边长分别为2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是
．
【分析】根据几何概率的求法，针头扎在阴影部分的概率为阴影部分与正方形的面积比，根据题意，可得阴影部分正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案． 解：根据题意，“赵爽弦图”中，四个全等的直角三角形的直角边长分别为2和4， 则阴影部分的正方形的边长为4﹣2＝2，即面积为4． 由勾股定理，可得大正方形的边长为故针扎在阴影部分的概率为故答案为：．
16．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上．若AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC＝ 24 °．
．
，即面积为20．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC， ∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB， ∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°， ∴∠BAC＝24°， 故答案为：24．
17．如图是由大小相同的线段组成的一系列图案，第1个图案由5条线段组成，第2个图案由8条线段组成，…，按此规律排列下去，则第2021个图案由 7075 条线段组成．
解：根据题图可以得出： 第1个图案由5条线段组成， 第2个图案由8条线段组成， 第3个图案由12条线段组成， 第4个图案由15条线段组成， ……，
依次类推，第n个图案比第（n﹣2）个图案多7条线段， ∴奇数个图案的线段条数为偶数个图案的线段条数为
∴第2021个图案的线段条数为7075， 故答案为：7075．
三、解答题（-）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18．先化简，再求值：解：＝
÷（
÷（
﹣y﹣2），其中y＝﹣1．
， ，
﹣y﹣2）
＝÷
＝＝
．
当y＝﹣1时，原式＝．
19．如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的图中，连接BC，DC．求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）过A点作BD的垂线，垂足为O点，延长AO到C点使OC＝OA，则C点与A点关于BD对称；
（2）由∠ABD＝∠ADB得到AB＝AD，再利用对称的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，根据等腰三角形的性质得到OB＝OD，然后利用AC与BD互相垂直平分得到结论． 【解答】（1）解：如图，点C为所求；
（2）证明：∵∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD，
∵点C是点A关于BD的对称点， ∴AC⊥BD，OA＝OC， ∴OB＝OD，
∵AC与BD互相垂直平分， ∴四边形ABCD是菱形．
20．2021年是中国共产党成立100周年，某校组织开展了丰富多彩的主题教育活动，活动设置了“A：诗歌朗诵表演，B：歌舞表演，C：书画作品展览，D：手工作品展览”四个专项活动，每个学生限选一个专项活动参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部 分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 60 ； （2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角为 108 度；
（4）若该校有学生1200人，则在这次活动中选择“A：诗歌朗诵表演”的学生约有多少人？
【分析】（1）从两个统计图中可得“A组”的有15人，占调查人数的25%，可求出调查人数；
（2）求出C组的人数，即可补全条形统计图； （3）样本中“B组”占调查人数的数；
（4）根据选择“A：诗歌朗诵表演”的学生所占的比例求解即可． 解：（1）15÷25%＝60（人）， 故答案为：60；
（2）C组人数是60﹣15﹣18﹣9＝18，补全条形统计图如图所示：
，因此圆心角占360°的
，可求出圆心角的度
（3）“B”所在扇形的圆心角为：360°×故答案为：108； （4）
（人）．
＝108°，
答：该校在这次活动中选择“A：诗歌朗诵表演”的学生约有300人． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B在格点上，连接AB，作线段AB关于直线l的对称线段A'B'，在直线l上取一格点O，连接OA，OB，OA'，OB'，A'B'． （1）求证：△OAB≌△OA'B'； （2）求以点O为圆心的劣弧AA'的长．
【分析】（1）利用对称的性质得到直线l垂直平分AA'，BB'，则OA＝OA'，OB＝OB'，则可根据“SSS”判断△OAB≌△OA'B'；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△AOA'是直角三角形，然后根据弧长公式计算． 【解答】（1）证明：∵线段AB与线段A'B'关于直线l对称， ∴点A，B分别与点A'，B'关于直线l对称， ∴直线l垂直平分AA'，BB'， ∴OA＝OA'，OB＝OB'， 在△OAB和△OA′B′中，
，
∴△OAB≌△OA'B'（SSS）； （2）解：如图，∵OA＝OA′＝∴OA2+OA'2＝AA'2．
＝3
，AA'＝6，
∴△AOA'是直角三角形， ∴∠AOA'＝90°． ∴劣弧AA'的长为
．
22．某校积极响应国家号召，为落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买100L和240L两种型号的垃圾箱若干套．若购买8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元；若购买4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元． （1）每套100L垃圾箱和每套240L垃圾箱各多少元？
（2）学校决定购买100L垃圾箱和240L垃圾箱共20套，且240L垃圾箱的数量不少于100L垃圾箱数量的，求购买这20套垃圾箱的最少费用．
【分析】（1）设每套100L垃圾箱x元，每套240L垃圾箱y元，根据“若购买8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元”和“若购买4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元”列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买a套240L垃圾箱，则购买（20﹣a）套100L垃圾箱，求出费用为w元与a套240L垃圾箱之间的函数关系式，再根据”240L垃圾箱的数量不少于100L垃圾箱数量的“，列一元一次不等式，求出a的取值范围，再根据函数关系式求出购买这20套垃圾箱的最少费用．
解：（1）设每套100L垃圾箱x元，每套240L垃圾箱y元． 依题意， 得解得
，
，
∴每套100L垃圾箱400元，每套240L垃圾箱800元；
（2）设购买a套240L垃圾箱，则购买（20﹣a）套100L垃圾箱， 购买这20套垃圾箱的费用为w元． 依题意，
得w＝400（20﹣a）+800a＝400a+8000， ∵400＞0，
∴w随a的增大而增大， ∵∴a≥4，
∴当a＝4时，w有最小值，此时w＝400×4+8000＝9600， ∴购买这20套垃圾箱的最少费用为9600元．
23．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝8，点O在线段BC上，且OC＝3，以点O为圆心，OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）求证：
． ，
【分析】（1）过点O作OH⊥AB于H，由勾股定理可求AB的长，由面积法可求OH＝3＝OC，即可求结论；
（2）连接CD，EC，通过证明△DAC∽△CAE，可得论．
解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H．
＝
，由DE＝AC＝6，可得结
∵∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴
∵S△ABC＝S△AOC+S△ABO， ∴
∴OH＝3． ∵OC＝3， ∴OH＝OC． 又∵OH⊥AB， ∴AB是⊙O的切线． （2）如图，连接CD，EC．
， ．
∵DE是⊙O的直径， ∴∠ECD＝90°＝∠ACO， ∴∠ECO＝∠ACD， ∵OC＝OE， ∴∠CEO＝∠OCE， ∴∠ACD＝∠CEO， 又∵∠DAC＝∠EAC， ∴△DAC∽△CAE， ∴
，
∵OC＝3，
∴DE＝2OC＝6＝AC． ∴
．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）图象的两个交点分别为A（4，），B（1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？ （2）求一次函数的解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）设出P点的坐标，用其未知数表示三角形的底和高，根据三角形面积相等，可列出方程进行解答．
解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，1＜x＜4， 当1＜x＜4时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（4，），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）中，得
，
解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+； 把B（1，2）代入y＝（m≠0，x＞0）中，得 m＝1×2＝2；
（3）设P（t，﹣t+），
∵A（4，），B（1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
∴AC＝，BD＝1， ∵S△ACP＝S△BPD，
，
∴
解得，t＝， ∴P（，）．
25．如图，点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根（OC＞OB），点A在x轴的负半轴上，且OA＝OC＝3OB，连接AC． （1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值；
（3）M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
，
【分析】（1）先确定点B和点C的坐标，再由OA＝OC得出点A的坐标，用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先用含t的式子表示出PC和CQ的长，然后表示出点P的横坐标，利用三角形的面积公式把S△CPQ用含t的式子表示出来，利用二次函数的性质即可确定 S△CPQ的最大值；
（3）分点M在AC的上方和下方两种情况讨论，设出点M的坐标，根据特殊三角形的性质即可确定M的坐标．
解：（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝6或x＝2， 又∵OC＞OB，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，6）， ∵OA＝OC，
∴点A的坐标为（﹣6，0），
设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c， 将点A，B，C的坐标代入y＝ax2+bx+c中， 得
，
解得，
∴过A，B，C三点的抛物线的函数解析式为（2）∵OA＝OC， ∴∠ACO＝45°，
由题意得PC＝2t，CQ＝6﹣t， ∴∴∵
，
；
，
；
，
∴当t＝3时，S△CPQ有最大值，最大值为（3）存在，
①如图，当点M在AC上方时，过点M作ME⊥x轴于点E， 作MF⊥y轴于点F，连接MC，
∵∠ACM＝15°，∠ACO＝45°， ∴∠OCM＝60°， 设点M的坐标为在Rt△MCF中， ∵∴∴
， ． ，
，则MF＝﹣m，
∵∠MEO＝∠EOF＝∠MFO＝90°， ∴四边形MEOF是矩形， ∴ME＝OF， 即
解得m1＝0（舍去），∴
∴点M的坐标为
，
，
，
，
②如图，当点M在AC下方时，过点M作MH⊥x轴于点H，
设MC与x轴交于点G，连接MC， 设点M的坐标为，
则OH＝﹣n，
，
∵∠ACM＝15°，∠CAO＝45°，
∴∠CGO＝∠HGM＝∠CAG+∠ACM＝60°， 在Rt△CGO中， ∵OC＝6， ∴， ∴
，
在Rt△MGH中，，
∴
，
解得n1＝0（舍去），， ∴
，
， ∴点M的坐标为
，
综上所述，存在点M，使得∠ACM＝15°， 且点M的坐标为或
．
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