7.3(3)等比数列的前n项和(1)

一、教学内容分析

《数列》是高中数学的重要内容之一．学习了数列的概念、等差数列的通项公式和前n项的求和公式、等比数列的通项公式等知识内容后，为过渡到本节的学习起着铺垫作用．研究等比数列前n项和的公式完整了数列体系，又为进一步学习数列求和、数列的极限等内容打下基础，有承前启后的作用．数列是函数的延续，它实质上是可以看作为一种特殊的函数，函数思想同样在本节渗透．等比数列求和在产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算中有着广泛的实际应用．学习数列需要观察、分析、猜想及综合运用其它知识解决数列中的一些问题，有利于学生数学能力的提高，是培养提高学生思维能力的好题材． 二、教学目标设计

1．进一步理解等比数列的前n项和公式的推导方法；

2．掌握等比数列的前n项和公式及其初步应用；

3．初步形成观察问题、灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力； 4．进一步树立理论联系实际的观点． 三、教学重点及难点

重点：等比数列的前n项和公式及其初步应用． 难点：等比数列的前n项和公式的推导． 四、教学过程设计

1、引入

（1） 印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事．

相传国王要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止．”国王立即答应了．

问国王将会给发明者多少粒麦粒？

[说明] 以小故事切入，具有趣味性，利用了学生的好奇心，也有利于知识的迁移，明确知识的现实应用．

（2）建立数学模型．求麦粒的数目，实际上是什么数学问题呢？

实际是计算1+2+4+8+„+263（=S64）的值，即求以1为首项、以2为公比的等比数列的前64项的和．

（2） 求解数学模型．观察上式的特点，启发学生找到解决问题的

方法．与等差数列类比．在推导等差数列的前n项和时，充分利用了公差，即a2a1d，

a3a12d,a4a13d, „，ana1(n1)d；另外又可以写为an1and，

1

an2an2d，„，a1an(n1)d，这才有了逆序相加法．

那么，对于等比数列是否也可以充分利用公比呢？

方法一：每一项乘以2后都得到它的后一项．

S64=1+2+4+8+„+263，2S64=2+4+8+„+263+264，两式右边有62项

相同．

相减，得S642641.

方法二：逆向思考，提取2，就得到前一项．

S64=1+2+4+8+„+26312(1242)=1+2S63=12(S642)

6263解得，S642641.

据查每千克小麦约10万粒，S64约1.841011吨．2004年世界粮食总产量为2.25109吨，因此S64相当于当今世界82年的粮食总产量．

[说明] 解决问题的关键是意识到124263的模型就是前63个格子里麦粒数目的和，即等比数列前64项的和．

（4）反思抽象．以上解决了一个特殊等比数列前几项的和，那么对于一般的等比数列，我们可以提出什么问题呢？并加以解决．

[说明] 问题由学生提出，训练学生发现问题、提出问题的能力．

一般地，设等比数列{an}的公比为q，则

Sna1a2a3ana1a1qa1qa1q2n1.

（5）解决问题．从特殊问题推广到一般问题，是否可以继续使用解决特殊问题的方法呢？试一试．

[说明] 板书时，可以利用前面的特殊化例子，将2改为q即可，一方面可以节约时间和板书空间，另一方面让学生体会特殊性与一般性的关系．

2n1方法一：Sna1a1qa1qa1q，

qSnqa1a1qa1qa1q23n1a1q

nnn相减，得SnqSna1a1q，即(1q)Sna1(1q)

当q1时，Sna1(1q)1qn.

2

当q1时，a1a2an，则Snna1.

方法二：Sna1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1q2a1qn2) =a1qSn1a1q(Snan) 即，(1q)Sna1qan 当q1时，Sna1qan1q.

当q1时，a1a2an，则Snna1.

（方法一和方法二完全是特殊化问题的翻版，可以让学生直接回答，进一步理解公式的推导方法和过程．）

（6）讨论探究．同学们还有其它的解法吗？

[说明] 引起学生求胜心，激发积极性．启发引导学生自行完成．

由等比数列的定义，得

a2a1a3a2anan1q，运用比例的性质，

a2a3ana1a2an1q，即

Sna1Snanq

当q1时，Sna1qan1q.

当q1时，a1a2an，则Snna1. 2、

概念分析

（1）对问题结构的观察分析，不同的视角获得不同的解题方法．要勤思考． （2）方法一称为错位相减法．这是一种重要的解题方法，不仅仅在解决数列问题时有重要应用，而且在类似问题（如：函数）中也将发挥它的作用．我们既重视公式的应用，也要重视公式的推导方法．（重结论，也重过程．）

（3）使用等比数列的前n项和公式，必须注意到公比是否等于1，q1与q1的公式形式是不一样的．

（4）在q1时，求和公式将根据已知条件有不同的选择．

a1(1q)1qnSn，Sna1qan1q.

3

（5）求和公式中有5个量a1,q,n,an,Sn，结合等比数列的通项公式，

分析得到：若已知其中的3个量，则可以求得其它的2个量，即所谓的“知三求二”．

3．

例题

例1．求下列等比数列的各项的和： （1）1,11111； （2）27,9,3,,,,,.

24816243311612选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式． 答案：（1）

；（2）

4921243.

318例2．已知公比为的等比数列的前5项和为

，求这个数列的a1及a5.

选题目的：逆向应用公式． 答案：a12，a5例3．已知等比数列

18.

11,,1,，求使得Sn大于100的最小的n的值. 93选题目的：综合应用公式．

答案：使得Sn大于100的最小的n的值为7.

n例4．设数列{an}的前n项和为Sn3a．当常数a满足什么条件时，{an}才是等比数

列？选题目的：沟通an与Sn的关系，灵活应用公式．答案：a1

4、

练习

P27—练习7.3(4)—1,2,3 5、

小结

先由学生进行小结，再由教师进行小结．本节课从一个实例出发，探索了等比数列的前n项和公式．错位相减法是我们的重要收获．不仅重视探索得到的结论，更应重视探究的过程，重视思维方法（还有两种推导方法）．应用求和公式时一定要首先判断等比数列的公比是否等于1，再选择公式．

本节课渗透的数学思想方法有方程思想、等价转化． 6、

作业

P9—10,P11—7,8

4