第一章有理数复习

【一】知识要点 【1】有理数的分类 1.按定义分 正整数： 1、2、3.。。。。 整 数 0 有负整数 -1、-2 、-3 。。 理自然数或非负整数 非正整数 数

分数 .1223正分数： ，，1 ，0.2 ，20% ，1.3 274.1223负分数：- ，-，-1 ，-0.2 ，-20% ，-1.3 274

2.按正负分

正有理数

正分数 0

有 理负整数 数负有理数

负分数

温馨提示：

1.化简结果中含有π或无限不循环的小数都不是有理数

2.正数和零统称非负数，负数和零统称非正数

【例题1】

正整数

（1）把下列各数进行分类 ① 0 ②-5 ③ 1 ④ 1.5 ⑤

122 ⑥ - ⑦ -（-3）⑧ --2

327⑨ -12018 ⑩ （-2）3

整数集合（ ） 分数集 合（ ）

非负整数集合 （ ） 非负数集合（ ） （2）下列说法正确的有（ ）个

①0是最小的数 ②绝对值最小的数是0 ③任何数的绝对值都是正数 ④最大的负整数是-1 ⑤倒数等于它本身的有1，-1,0

1

【2】相关概念

1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线

数轴上从左到右依次递增，数轴上的点与实数是一一对应 ．．

2.相反数：

①代数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数 ．．．．．．

②几何定义：数轴上在原点的两旁，到原点距离相等的两个点代表的数互为 相反数

③求一个数或式子的相反数，就在它的前面加上‘-’

④a的相反数是-a ，a-b的相反数是-（a-b）=b-a,a+b的相反数是-(a+b)=-a-b （注意括号），相反数等于它本身的只有0 ⑤性质：若a,b互为相反数，则a+b=0,或a=-b 3.绝对值

几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示这个数a的点离开原点的距离，绝对值越大离原点越远

a(a0)代数定义：a（注意0）

a(a0) 1、非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值是它的相反数 2、绝对值符号去掉规律：非负数各项不变号，非正数各项都变号 3、一个数的绝对值（或者平方）等于正数，那么这个数有两个 ．．．．．．．．．．．．．．． 4.倒数：若两个数的积是1，那么这两个数互为倒数 ①a,b互为倒数 ab=1 ②倒数等于它本身只有±1，切记0没有倒数 5.科学计数法 形式：ax10n （a是整数位数只有一位的数，n是整数）， 当a≥10时，n=原数整数位数-1 ， 当a<1时，n=-（原数第一个非0数字前所有0的个数） 6．近似数和有效数字 ①保留近似数的方法有：四舍五入法、进一法、去尾法 ②近似数可以用计数单位或科学计数法表示 ③有效数字是从左边第一个不是零的数字起以后的所有数字都是这个数 的有效数字 ④通过测量得到的数都是近似数 7.数的大小比较方法：

①差法 ②数轴法 ③两个负的绝对值法 ④平方法 ⑤商法

2

8.非负数性质 ①初中阶段三种非负数：绝对值、偶次方、算术平方根 ②性质：非负数相加和为0，则每个加数都为0 例如：ab20，则a=0, b=0 【例题2】正负数应用

（1）如果提高10分表示+10分，那么下降8分表示____，不升不降用___表示. （2）巴黎与北京的时间差为-7时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果北京时间是7月2日14：00，那么巴黎时间是（ ）

A. 7月2日21时 B. 7月2日7时 C. 7月1日7时 D. 7月2日5时 （3）某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如9：15记为-1，10：45记为1等等，依此类推，上午7：45应记为

【例题3】数轴、相反数、绝对值、倒数、非负数应用

（1）已知a ,b互为相反数，c ,d互为倒数，m-1的绝对值是2，则

2cm= dm-1的绝对值是2也可以改成m-1的点到原点的距离是2，

或者改成（m-1）2=4 （2）在数轴上到表示-1的点的距离为7个单位长度的点有_____个，它们表示的数是_________。 可以利用 左减 右 加 8（3）若-x=3，则x= ,若x2=81，则x= ，若x3=-，则x= 27注意结果的个数，遇到绝对值或者平方等于一个是正数，那么结果又两个

（4）绝对值不大于2的整数有________，它们的和是 ，积是 2a2bcd（5）当x= 时，1﹣|x+1|有最大值，这个最大值是 ．此时x= 绝对值和偶次方没有最大，只有最小0

（6）已知|x|=4，|y|=2且y＜0，则x+y的值为

注意分类讨论

（7） ①3.14-=

②

1111111-1--。。。-= 2324320182017绝对值的化简和去括号法则基本一样

3

（8）a,b,c是有理数 ,且a+b+c=0,abc>0,求

bcabac= acb（9）不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C,若

|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么点B在哪里____________

（10）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|-|a+c|-|1-b|+|-a-b|

（11）有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，化简：|a-b|+|b-c|+|-a-c| （12）若x1，则x是 数。若x=-x，则x是 数， x若x=y，则x,y的关系是 （13）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ） A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．5

（14）若abc＜0，|a+b|=a+b，|a|＜-c，则代数式（15）①x1的最小值= ②x1x2的最小值= ③|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值= ④|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值= ⑤|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值=

【例题4】科学计数法、近似数、有效数字

（1）现在中国大约有14亿人口，14亿用科学计数法表示为 （2）近似数2.60X104 精确到 有效数字有

（3）近似数1.0万精确到 ，有 个有效数字，分别是 （4）0.47249≈ （精确到千分位）

（6）①-15380≈ （保留三位有效数字）②0.002069≈ （保留两位有效数字） ③7758521≈ （精确到万位）

（7）一个数a四舍五入后为1.60，则原数a的取值范围是 （8）一个人的身高是1.63米，1,。63是准确数对吗

4

abc= abc ①近似数也可以用计数单位或科学计数法表示 ②（7）题的求法：在近似数的最后面添个0，然后在0的上面加5，减5， 就得到原数的界值，注意可以等于小的不能等于大的 ③用科学计数法或用计数单位表示的近似数精确到哪一位，要恢复原数，看 a中的最后一位数字在原数中的位置。有效数字就是a中的有效数字 ④通过测量得到的数都是近似数 【例题5】数的大小比较 （1）用不等号和等号填空 ①-π -2211 ② --2 0 ③- - ④a 0 7232222⑤ a2+1 0 ⑥ -22 （-22）⑦ （） （）

33（2）大于–3.5，小于2.5的整数共有（ ）个。

（A）6 （B）5 （C）4 （D）3

3（3）用‘<’把－，0.2，－0.22，-22 连接起来

13（3）已知有理数a、b在数轴上表示如图，现比较a、b、－a、－b的大小，正确的是（ ）

（A）－a＜－b＜a＜b （B）a＜－b＜b＜－a （C）－b＜a＜－a＜b （D）a＜b＜－b＜－a （4）如果在数轴上﹣1＜a＜0，b＞1，那么下列判断正确的是（ ） A．a+b＜0 B．ab＞0 C．

D．a﹣b＜0

（5）已知X=a2b-a+1,Y=3(ba2+a)-2(a2b+2a-1)，那么X,Y的大小关系是

灵活选择比较大小的方法

【例题6】非负数的性质应用

①已知a22(2ba)20 ，则a2b a22(2ba)20可以改成a2与2(2ba)2互为相反数也可

． a2-2(2ba)2 以改成

5

【3】有理数的运算 一、加法法则

1.同号相加，符号不变，绝对值相加，如：①3+2 ② -3-2

2.异号相加改成两正相减，够减为为正，不够减为负，然后大数减小数 如：①5-3 ② 3-5 ③ -5+3 3.相反数相加和为0 二、乘法法则

1.两数相乘，同号得正，异号得负

2.几个不为0的数相乘，奇负（-号个数）得负，偶负（-号个数）得正 3.任何数统0相乘都得0，倒数相乘等于1 三、除法法则：

1.除以一个数（不为0）等于乘以这个数的倒数 2.两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相除 3.0除以任何不为0的数都得0 四、乘方法则

1. 奇（指数）负得负，偶（指数）负得正，

2. 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0, 3. 1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1

五、运算顺序

先乘方，再乘除，最后是加减，有括号的优先算括号里面的， 同级运算，谁在前面先算谁 六、运算律

加法交换律： a+b=b+a

加法结合律: a+(b+c)=(a+b)+c 乘法交换律: ab=ba

乘法结合律: (ab)c=a(bc) 乘法分配律: a(b+c)=ab+ac 七、运算技巧：

①加法运算中相反数结合，相加为整数的结合，正正结合， 负负结合，

②乘法运算中倒数结合，

③混合运算中要会利用乘法分配律 注意：①除法没有分配律 ②负数和分数乘方要加括号，遇到‘-’，‘×’‘÷’后面的多项式

切记加上括号

6

【例题7】 1.填空

1（1） -3.52-2-34=

12120（-）7=

7=

（2）－11－9－7＋6－8＋10 按和读作 ，

按运算符号读作

（3）3.-4,-5,+7这三个数的和比这三个数的绝对值的和小 （4）-3的绝对值与-8的相反数的和是

（5）四个各不相等的整数a，b，c，d，它们的积a•b•c•d=9，那么a+b+c+d的

值是 2.计算

（1）(－40)－(＋27)＋19－24－(－32) （2） －20+3－5－7

112 （0.125）（3）（3）（-3）（-0.25）（11）483

（4） 

（5）（-125）553353()()()-().62464

57 （6）

171961811（-5）（-）555（7）﹣82+3×（﹣2）2+（﹣6）÷（﹣）2

7

（8）25

311(25)25() 4242215（9） -13-0.34（-13）-0.343737

7111（-4）（--5）（-4）-3（10）

8248

9123119（---）（-24）（11） （-27）1123412

11（-370）（-）0.2524.5(5)25% （12）

42

143--8）（-3）[(2)55] （13）-14（217

-22121--3）--3（）（---）24 （14）（3236

3775（-）（-36）-61.453.956 （15）

41896

8

（16）（-47.65）2

665 （-37.15）（-2）10.5（-7）111111111114（17） （-）（--）（-）（）（--）（-）234989

（18）（﹣1×）+（﹣×）+（﹣×）+…+（﹣×

×）+（﹣

）

3.实际应用题

（1）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）: 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 +5 -2 -4 +12 -10 +16 -9 ①根据记录的数据可知该厂星期六生产自行车____________ _辆； ②根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_____________辆； ③产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车___________辆；

④该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？

9

（2）如图A在数轴上所对应的数为﹣2．

①点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；

②在①的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．

③在②的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．

（3）如图,线段AB=10,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿线段AB向终点B运动,同时,另一个动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动(从点B向点A运动,到达点A后,立即原速返回,再次到达B点后立即调头向点A运动.) 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动。设点P的运动时间为x.

①当x=3时，线段PQ的长为___.

②当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长。

③是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上?若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由。

10

（4）已知数轴上有A,B,C三个点,分别表示有理数-24,-10,10,动点P从A出发,①以每秒1个单位长度的速度向终点C移动,设移动时间为t秒.

用含t的代数式表示点P到点A和点C的距离:PA= ,PC= ;

②当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒3个单位长度的速度向C点运动,Q点到达C点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A.在点Q开始运动后,P,Q两点之间的距离能否为2个单位长度?如果能,请求出此时点P表示的数;如果不能,请说明理由.

（5）已知点P，Q是数轴上的两个动点，且P，Q两点的速度比是3：5．（速度单位：单位长度/秒）

①动点P从原点出发向数轴正方向运动，同时，动点Q也从原点出发向数轴负方向运动，6秒时，两点相距96个单位长度．则动点P的速度是 ，此时点Q表示的有理数是

②如果P，Q两点从（1）中6秒时的位置同时向数轴正方向运动，那么再经过多少秒，点P，Q到数轴上表示有理数20的点的距离相等．

（6）在下面给出的数轴中A表示1，B表示-2.5，回答下面的问题： （1）A、B之间的距离是______

（2）观察数轴，与点A的距离为10的点表示的数是：______；

（3）若将数轴折叠，使A点与-2表示的点重合，则B与数______表示的点重合 （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2011（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：______N：______．

11

4.规律探究

解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32016的末位数字是( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 7

则

11已知1-1221111111--1-122322331111 2446688101111 3771111151519

将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n

次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，S1+S2+S3+…+S2014=

11

有这样一组数据a1，a2，a3，…an，满足以下规律：a1＝，a2＝，a3

21－a1

11＝，…，an＝(n≥2且n为正整数)，则a2016的值为___(结果用数字1－a21－an－1表示)．

一滴墨水洒在一条数轴上，如图所示，由图中标出的数值判断墨迹盖住的整数共有__ _个．在这些被盖住的整数中，有__ 对相反数．

12

如图，点A的初始位置位于数轴上的原点，现对点A做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点B，第2次从点B向左移动3个单位长度至点C，第3次从点C向右移动6个单位长度至点D，第4次从点D向左移动9个单位长度至点E……依此类推，这样至少移动____次后该点到原点的距离不小于41.

找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为 .

如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为___．

观察下列各式：

13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，

13

所以13+23=（1+2）2，

13+23+33=36，而（1+2+3）2=36， 所以13+23+33=（1+2+3）2，

13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100， 所以13+23+33+43=（1+2+3+4）2，

所以13+23+33+43+53=（ ）2=（ ）， 根据以上规律填空：

（1）13+23+33+…+n3=（ ）2=（ ）； （2）猜想：113+123+133+143+153。

如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A. B. C. D对应的数分别是a、b、c、d，且d−2a=14 (1)那么a=___，b=___；

(2)点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动。当点A到达D点处立刻返回，与点B在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；

(3)如果A. B两点以(2)中的速度同时向数轴的负方向运动,点C从图上的位置出发也向数轴的负方向运动,且始终保持AB=23AC.当点C运动到−6时，点A对应的数是多少?

我们知道：a表示数轴上表示数a的点与原点的距离，ab表示数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离，如图，在数轴上有两点A,B分别表示-8,2

（1）数轴上有点P表示的数为x，那么式子x8x2表示的意义是 由这个式子的意义，结合数轴可知x=

（2）若点A,B分别以1个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒，

①当t= 时，原点O恰好位于A,B的正中间

②t秒后，点A与点B的距离为多少，（用含t的式子表示） （3）在（2）的条件下，数轴上有一点C表示的数为16，与点A,B同时出发，以1个单位/秒的速度向左运动，是否存在这样的时间t，使点B与点A,点C的距离相等，若存在，请求出t的值，若不存在，说明理由

14

张老师于2014年2月份张先生在某县城买了一套楼房，当时（即2月份）在农行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.5%，每月还款数额=平均每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．

（1）求张老师借款后第一个月应还款数额；

（2）假设贷款月利率不变，请写出张老师借款后第n（n是正整数）个月还款数额p与n之间的函数关系式（不必化简）；

（3）在（2）的条件下，求张老师2016年7月份应还款数额

如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（ ）

A．2a﹣3b

B．4a﹣8b

C．2a﹣4b

D．4a﹣10b

15