在科学中最常运用的各种,一方译余:++;:+十+:推理形式中相似推理占有重要的地位在这本根据数学资料编写的小册子中,研究了相+:学似相的数中认…\";,似在思维中的地位问题作者不仅研究了相似推理的数学(逻辑)方面,而且还讨论了这一问题的某些心理学观占相似推理如果没有相似,那么,无图刘远校4;+;.t论是在初等数学还是在高等数学中,甚至在其他任何领域中,本来可以发现的东西,也可能无从发现G波利亚ù无论是数学家还是逻辑学家,都对数学中的相似这个普遍问题进行了大量研究,这决不是偶然的(参见召波利亚的著作〔5,6〕和AN乌耶莫夫的著作〔8〕等)根据相似作出判断,这在数学思维中具有特别重要的意义掌握这种推理手段,无论对于数学家的创造,还是对于顺利进行数学的教学或自学,都是同样有帮助的.人类在研究周围世界和掌握自然力量的过程中,曾多次发现下面这种特殊关系:如果两个物体有着某些相同的特点,那么它们常常(但非“总是”!)表现出还会有其他的共同之点。人们从类似的观察中,发现物体之间的这一基本关系反复出现,从而形成了下述建立新思想的方法:假定两物体具有某些共同的特征;此外,第一个物体还有一个特征x,而这一特征在第二个物体上暂时尚未发现这时,可以做这样的推测第二个物体看来也具有这一特征x—因此,相似推理是一种“似真”推理为了辨明“相似结论”的真假,还必须对这一结论进行补充研究这就是我们所研究的这种推理与直接导致最终结果的逻辑推理的区另:;相似只是开阔一条研究的途径,并不具备证明的效力.我们来看下面的例子大家知道,在任一三角形内,能作且只能作一个内切圆,其圆心在与三角形两边等距离的点的轨迹(集合)的交点上将四面形(最简单的多面形)与三角形(最简单的多边形)进行比较,自然就会认为,在四面形内似乎也很可能有且只有一个内切球对这一假设加以研究,可以证实它是正确的,而球心则在距四面形两面等距离的点的轨迹的交点上.根据相似而作出的结论,在结合证明过程予以研究时,表明它具有辩证的实质:归纳法和演绎法的基本原理在这里彼此联系得极为紧密在相似推理中,首先要应用归纳法,因为要由第一个对象转到第二个对象(由三角形转到四面形,由圆转到球),就要确定一个对象的部分特征(最简单的多边形,有三个内角,有等分元索分线,等等)和另一个对象的部分特征—角平(最简单的多面体,有六个二面角,有等分元索二面角的平分面,等等)之间的关系—同时,相似推理又和演绎法有密切的联系,因为相似推理的结论是否正确,要由演绎证明来确定在任一四面形中有且只有一个内切球—,这一点要根据普通演绎证明的法则予以证明因此,根据相似而作出的正确结论,是从归纳法开始,而以演绎法告终进行相似推理时,要单独地和交替地运用分析和综合的方法,从而完成一个复杂的思维过程.比如在我们上面所举的例子中,我们只是在对三角形和四面形进行了比,并对它们的特点进行了分析,从而确定了它们之间存在某些相同的特点之后,才得以作出相似推理据此,我们提出了一项假设球—还存在某种新的性质(四面形有内切)。对所提假设的证明,就是综合与四面体形有关的概念,而综合的方式,则与关于三角形的相应概念的综合方式相同(内切球的球心是二面角平分面的交点,正如内切圆的圆心是角平分线的交点)根据相似得出的结论有时也可能得不到证实,或者只能局部得到证实.较我们来着下面这个例子我们知道,任一三角形的面积可用海伦公式表示:S一识P(P一a)(P一乡)(P一c)现在我们来讨论计算四边形面积的公式我们可以提出这样一个问题:类似的公式对于四边形是否正确?对这一问题的研究表明,对于圆内接四边形(并且只对于这种四边形!)下述面积计算公式是正确:S=了(P一a)(P一b)(夕一c)(户一d)结果是,不存在完全的相似,但公式有某种共同之处现在,我们从三角形(总能内接于圆的多边形)和四边形(不是所有的,只要能内接于圆的)之间的某种联系着眼,来说明形成上述共同之处的原因如上所述,我们已经确定,就海伦公式的实质而言,将三角形和四边形联系起来的根本特征,乃是能够内接于圆。在这种情况下,对“三角形”和“四边形”这两个概念的比咬,就不是全面的推广:“广义的海伦公式”只是对“四边形”这一概念的部分对象才成立。在本例中,虽然相似没有得到完全证实,但它却由此而产生了一些新的思想(例如,三角形可以认为是退化的内接四边形.)癫飞红二严图(1夕下面我们就来发挥这一思想设内接四边形ABCD的顶点D无限趋近于顶点A(图l)这时边妊。一d的极限是等于零,而广义海伦公式又变成了普通海伦公式:S~训办二动叹介劝灭p二`》(-介司一训(P一a)(P一乙)(P一c)P这样,运用相似我们就能很方便地对所发现的特点进行更精确的研究,并且证明或者推翻这些发现不论是证明或是推翻,我们都可以从中—学会某种新的东西在研究数学的过程中,而且一般地说,在研究任何科学的过程中,利用相徽都是极为有益的NM谢琴诺夫指出,客观世界中的对象和现象,其出现都不是彼此孤立隔绝,而是相互紧密联系一一结成群集或者系列.相似能帮助我们对概念进行类比和对比只有当概念不是与前面的概念毫无联系,而是与前面的概念相互比较从而确定出其异同之点时这些概念才能被最好的掌握例如,在研究四边形的内切圆时,可以提出这样的问题:四边形中是否总能作一内切圆?根据与三角形的相似,可以不加思考地马上作出推理:“四边形中总能作一内切圆”但实例表明某些四边形内不能作内切圆这时就要弄清楚:哪些四边形中能作内切圆,哪些四边形中不能作也就是说,应当转而证明内接四边形的性质定理前面我们已从三角形和四边形是否能内接于圆的观点对二者进行了比较,并根据相似的原理得出了能否用同一公式表示其面积的结论如果由平面几何转为立体几何,那么这一类比就可以在另一个等级上进行这样就可以得出下面一些能用相同的语句写出的对偶判断.在任一三角形(四边形、四面体形)外可以作一个圆(球),并且通过三角形(四边形)所有顶点只能作一个圆.在任一三角形(四面形)中,可以作内切圆(球),并且只能作一个。不论是在第一种情况还是在第二种情况,都可以看到类似的性质:并非所有四边形均可内接于圆,也并非在所有的四边形(四面形)中均可作与其所有各棱均相切的圆(球)现在我们来看几条根据相切慨念的推广而得出的定理(其证明很简单,从略):当且仅当四边形的两对对边(四面形的两对对棱)之和相等时,圆(球)才能与四边形所有各边(四面形所有各棱)相切(图2,a和西)绷凰沙AB十CD一BC十ADAB十CD一BC十刁D一AC+BD(o)(b)图(2)这里所发现之各对定理(原定理与逆定理)之间的新的相似,可以扩展为对原意的下述推广:为了使圆(球)与四边形所有各边(凸四面角的所有各面)相切,必须且只须使两对对边之和(顶点处两对相对的平面角之和)相等(图3,a和b)为了使圆通过四边形的所有顶点(使球与凸四面角的所有各棱相切),必须且只须使两对对角(两对相对的二面角)之和相等(图4,a和b)口。乙CAB+CD~BC+AD龙~匕AOD+乙BOC一匕AOB+艺D口C(a)(b)图3口⑧撇乙A+乙C~匕B+匕D匕D一OA一C+艺D一OC一刀一匕A一OD一C十乙A一OB一C(a)(b)图4继续研究类似的相似,可以对这些图形的一股特征即其充分条件作如下的规定:为了使圆(球)与2:边形的所有各边(2,:面角的所有各面)相切,必要条件是其偶数边之和与奇数边之和(顶点处相应平面角之和)相等为了使圆(球)通过21边形的所有顶点(2n面角的所有各棱),必要条件是偶数各角的和与奇数各角的和(或相应二面角的和)相等然而,再继续研究这一串相似,其成果会越来越少这种努力要在进行下列类比的情况下方能着手:淞边形一一多面体;正方形矩形;梯形—芷方体;正四棱台;—平行六面体等腰正多边形n台;—等等—正棱因此,如果正:边形既可外切于圆,又可内接于圆,那么它的空间相似图形之一正n—棱台却只能内接于球推广与相似推广这大概是扩大数学知识的最简单易行和最显—而易见的途径YY索邓尔运用相似的实际思维过程是复杂而曲拆的:根据相似而得出的设想,往往并不正确学者们对相应概念的外延加以限制,时而作出一些意想不到的转换,从而使最初的判断得到富有成效的发展在数学史中,这类例子比比皆是欧拉发现了三角函数与指数函数之间的关系他的这一卓越发现,被认为是由相似而引出的与此同时,也有不少例子表明,学者们根据相似而提出的某些设想是不正确的例如,费马设想几取矛的+1形式的数都是质数,这就是不正确费马提出这一设想时,仅就n一1,3,4的情形进行了计算,这时的得数确实是质数:12自92十1一522+1=17,4十1一257;22+1~65537欧拉发现,下面的数已经是合数了:522+1=416700417这样,由于这一“相似推理”不正确,反而使我们得到一项新的科学成果:在取2“+1形式的一切数中,即有质数,也有数这一点只是在欧拉对费马的设想进行检验之后才为人们所知晓这样看来,即位是错误的,相似仍不失为促进研究的一种动因下面举几个最简单的例子,对运用相似我们来回忆一下众所周知的被9整除的现在我们试将这一特征加以推广,也是确定被99一102一1999=203一1,合相应的推广被证明法推广数学判断的特点进行详尽的探讨特征就一般地被10去一1这样的数整除的特征现在就只剩下推广到普遍式这一步:’结论如下:若将一数以k位为一节自后“`十“2+…+“》侧万而夏+侧舀万及石向前分节,而各节之和能被10左一1除尽,+……+侧a,a:则该数能被10几一1整除例如,907092能在另外一些情况下,要获得能普遍适用被999整除而无余数,因为907+092=999.的知识,其途径就远非上述最简单的情况所试证不等式:显示的那样直接了当在思维中,判断的真a十b十`》侧而十侧瓦十侧而,和假会相伴随而出现外部的即表面的形式中a,b,“均为正数似,常常使初学者误入歧途例如:解:(了万一召万)2)0三一,但一雾、;a+b》z了而(1)`粤D口十冬导C票D;:35,但5吕同理有53=年3“,b十`)2训瓦(2)侧而=侧万训了但19(ab)斧lgalgbc+a一bax,但asinbx今bsioax;等等a》2侧云(3)bx,将不等式(1)一(3)的左右两端分别相加显然只要是忘记了根据相似而得的结,并除以2,便得所需求证的不等式我们可论必须给予检查和证明这一原则而对相似,误,以将所证明的不等式推广到4项,5项,不加分析地予以运用就有可能导致谬,n项这并不困难,但却很有好处。然而,尽管相似有时会导致谬误它仍不失段那么,怎样组成类似的四项不等式呢?为引出真理的一种极好的手一串推广有、,不等式左边可以写成:a十b十`十d.时可能要包括三个四个和更多的环节直到所推广的判断无效时为止。这是四个数的和右边又怎样写呢?从所证不等式的右边可以看出什么规律呢?在相似往往是不明显的,当它们突然出现右边的每一项中根号下面依次是左边各项时,就赋予原来熟悉的东西一种新的意义,,两两相乘之积大概,所设想推广的四项不这时就会发现我们具有的知识之间的尚未被,等式,其结构应当是这样的:知晓的关系从而把我们的知识提高到新的a+b十`+d)杯丽+训瓦十训而十更高水平。(+侧da。待续)(上接43页)(幻,aZ一,“’一a“专`:〔(aZ+“2,+(aZ一“`,〕一m〔(“3+,+(夕3一a3)〕}一喜{:〔(a+口)`一Za口+(a一刀)(a+刀)〕一饥〔(a+口)〔(a+吞)`一3a刀〕-乙(a一口)〔(a+口)“一a夕〕〕}一韧〔,十争粤〕一m〔l+5一(士粤,(,+一哥,〕,一、(`3smsm专夸一`,士3+告(,了丽`一(,38从,士3。+sm.含一`矗(,侧“