圆与方程复习

圆与方程复习

一、知识点：

1．圆的标准方程 ，

圆的一般方程 (DE4F＞0) . 2．点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：

（1）点在圆内 (2) 点在圆上 (3) 点在圆外

3. 直线l：AxByC0(A,B不全为0），圆C：(xa)2(yb)2r2，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系的判断方法：

（1）几何法： 直线与圆相离； 直线与圆相切； 直线与圆相交.

（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x（或关于y）的一元二次方程，设其判别式为，则 直线与圆相离； 直线与圆相切； 直线与圆相交. 4．直线被圆截得弦长的求法：（1）几何法：运用弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，计算弦长AB= .

5．两圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为r1,r2，则 两圆相离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含．

6．如果P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点， 则PP ． 12二、典例分析

例1．求下列各圆的方程：

（1）圆心为点M(5,3),且过点A(8,1); (2) 过三点A(2,4),B(1,3),C(2,6).

例2.根据下列条件求圆的方程： （1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；

（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程.

例3. 已知点P（x，y）是圆(x+2)+y=1上任意一点.求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.

2

2

22 1

例4.圆x+y=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.（1）当=

3时,求AB的长； 422

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.

三、练习题(近三年期未考试题)

1．在空间直角坐标系中点P（1，2，3）关于平面xoy对称点的坐标是

A （-1，2，3） B （1，-2，3） C （1，2，-3） D （-1，-2，-3） 2．已知两圆方程为xy2x8y80,xy4x4y10，则两圆的位置关系是

A 内切 B 外切 C 相交 D 相离

3．已知过点M(-3，-3) 的直线l被圆xy4y210所截得的弦长为45，则直线l的方程是（ ）

A x2y90或2xy30 B 2xy90或x2y30 C x2y90或2xy90 D 2xy30或x2y30 4．直线xy10被圆xy2x4y10截得的弦长是 ______. 5．已知点A（2，3，5），B（3，1，4），则AB __________________.

6．已知点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2）；点P在△ABC的内切圆上运动，则

22222222PAPBPC的最小值是 .

7.（本题满分12分）已知圆经过点A（1，1），B（2，-2），且圆心在直线xy10上，求此圆的方程。

8.（本题满分14分）已知圆C过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2） （1）求圆C的方程；

（2）求圆C的圆心坐标及半径。

222 2

圆与方程复习(答案)

一、知识点：

1．圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，

圆的一般方程x2y2DxEyF0(DE4F＞0) . 2．点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：

（1）点在圆内(xa)2(yb)2r2 (2) 点在圆上(xa)2(yb)2r2 (3) 点在圆外(xa)2(yb)2r2

3. 直线l：AxByC0(A,B不全为0），圆C：(xa)(yb)r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系的判断方法：

（1）几何法：dr直线与圆相离；dr直线与圆相切；dr直线与圆相交. （2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x（或关于y）的一元二次方程，设其判别式为，则0直线与圆相离；0直线与圆相切；

222220直线与圆相交.

4．直线被圆截得弦长的求法：（1）几何法：运用弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，计算弦长AB=2r2d2. 5．两圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为r1,r2，则dr1r2两圆相离；dr1r2两圆外切；|r1r2|dr1r2两圆相交；d|r1r2|两圆内切；

d|r1r2|两圆内含．

6．如果P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点， 则PP(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2． 12二、典例分析

例1．求下列各圆的方程：

（1）圆心为点M(5,3),且过点A(8,1); (2) 过三点A(2,4),B(1,3),C(2,6).

解：（1）(x5)(y3)25；（2）xy10y200.

3

2222

例2.根据下列条件求圆的方程： （1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；

（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程.解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：x+y-1=0.解方程组xy10,得圆心C的坐标为（4，-3）.又圆的半径r=|OC|=5,

2x3y102

2

所以所求圆的方程为（x-4）+(y+3)=25.

22

（2）设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0 ①将P、Q点的坐标分别代入①得：

4D2EF20D3EF10②③2

令x=0，由①得y+Ey+F=0

2

2

2

④

由|y1-y2|=43，所以（y1-y2）=(y1+y2)-4y1y2=E-4F=48 ⑤

解②、③、⑤组成的方程组得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，

2222

故所求圆的方程为x+y-2x-12=0或x+y-10x-8y+4=0.

例3. 已知点P（x，y）是圆(x+2)+y=1上任意一点.求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.

解：圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=

652

2

3(2)401232426. 5∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=

2

2

1161，最小值为d-r=-1=. 555例4.圆x+y=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.（1）当=

3时,求AB的长； 4（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.

解 （1）当=时，kAB=-1，直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0. 故圆心（0，0）到AB的距离d=

001212,从而弦长|AB|=2830.

22（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=-2，y1+y2=4.

x12y128,由22 x2y28,两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0， ∴kAB=

1y1y21，即x-2y+5=0. .∴直线l的方程为y-2=（x+1）

2x1x22四、练习题(近三年期未考试题)

1．在空间直角坐标系中点P（1，2，3）关于平面xoy对称点的坐标是(C)

A （-1，2，3） B （1，-2，3） C （1，2，-3） D （-1，-2，-3） 2．已知两圆方程为xy2x8y80,xy4x4y10，则两圆的位置关系

4

2222

是

A 内切 B 外切 C 相交 D 相离

3．已知过点M(-3，-3) 的直线l被圆xy4y210所截得的弦长为45，则直线l的方程是（ A ）

A x2y90或2xy30 B 2xy90或x2y30 C x2y90或2xy90 D 2xy30或x2y30 4．直线xy10被圆xy2x4y10截得的弦长是 ______. 5．已知点A（2，3，5），B（3，1，4），则AB __________________.

6．已知点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2）；点P在△ABC的内切圆上运动，则

2222PAPBPC的最小值是 72 .

7.（本题满分12分）已知圆经过点A（1，1），B（2，-2），且圆心在直线xy10上，求此圆的方程。

8.（本题满分14分）已知圆C过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2） （1）求圆C的方程；

（2）求圆C的圆心坐标及半径。

解：（1）设圆的方程为xyDxEyF0，则 1分

22222F0DEF20 6分 4D2EF200D8解得E6 9分

F0所求圆的方程是xy8x6y0 10分 （2）圆的方程化为(x4)(y3)25 12分 所以圆心坐标是（4，-3），半径是5 14分 或解：（1）设圆的方程为(xa)(yb)r (r0) 1分

2222222 5

a2b2r2222则(a1)(b1)r 6分 (a4)2(b2)2r2a4解得b3 11分

r5所求方程为(x4)(y3)25 12分 22（2）所求圆的圆心坐标是（4，-3），半径是5

6