一元函数的换元积分法

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一元函数的换元积分法

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BACHELOR ’S THESIS 中文摘要

不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为复杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常称为换元法）。该法

可分为两类，即第一类和第二类换元法。

关键词：一元函数；不定积分；换元法

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BACHELOR ’S THESIS 目 录

中文摘要 .................................................................................................................... 0 引言 ............................................................................................................................ 1 1. 换元积分法 .......................................................................................................... 1

1.1第一类换元积分法................................................................................................................ 1 1．2第二类换元积分法.............................................................................................................. 3 1．3求三角函数R(sinx,cosx) 的不定积分 ....................................................................... 10

总结 .......................................................................................................................... 12 参考文献 .................................................................................................................. 13 致谢 .......................................................................................................................... 14

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BACHELOR ’S THESIS 引言

换元积分法是把积分化为可以利用积分公式的一个重要方法。其形式有两种。第一类换元法和第二换元法。第一类换元法是由g(u)的原函数而获得f(x)的原函数主要采取的方法便是“凑”的方法。第二换元法是已知f(x)有原函数而用来得到g(u)的原函数，它是第一换元法的可逆过程。

1. 换元积分法

定义：我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其它形式来求函数

的不定积分，这种方法称为换元积分法。

1.1第一类换元积分法

定理1：（第一类换元积分法）若函数u(x)在[a,b]可导，且(x)，

u[,]有F(u)f(u)，则函数f[(x)](x存)在原函数F[(x)]，即]f[(x)(xd)xF[(x)] c（1）

证法只需证明 {F[(x)]}f[(x)](x)

证明：由复合函数的求导法则，有{F[(x)]}F(u)(x)=f(u)(x)f[(x)]

(x) 。

第一类换元积分法指出，求（1）式等号左端的不定积分，设(x)u则化为求不定积分f(u)du，若f(u)存在原函数F(u)，则f(u)du=F(u)c

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BACHELOR ’S THESIS 最后在将u(x)代入上式等号的左，右两端，就得到所求的不定积分。

f[(x)](x)dxF[(x)]c 由于(x)dxd(x)，第一类换元积分法可表为

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)=F(u)cu(x)F[(x)]c；

第一类换元积分法的一般步骤：

若某积分g(x)dx可化为f[(x)](x)dx的形式，且f(u)du比较容易积分，那么可按下列方法和步骤来计算所给积分

（1）凑微分：设法将积分 g(x)dx变形为f[(x)](x)dx的形式，从而可得： g(x)dx=f[(x)](x)dx=f[(x)]d(x)

（2）作变量代换：作变量代换u(x)，则du(x)dxd(x)，从而将积分变为g(x)dx=f[(x)](x)dx=f(u)du 并计算该积分；

（3）将变量回代：根据所作代换，用(x)替换积分结构中的u，从而求得结构得原积分的结果。

即： g(x)d(x)f(u)duF(u)|u(x)(x)uf(u)du

cF[(x)]c 。

注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法叫做凑微分法。 例1： 求不定积分 I1(1x)5dx 与 I2(1x)100dx 解：用线性质可直接求得

123252I1(15x10x10x5xx)dx

51035327222=xx5x4xxx2c1

3372 若用求I1的方法来计算I2，显然是不可想象的为此，可用第一类换元法来计算：

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BACHELOR ’S THESIS (1x)12x；

I22x(1x)100(1x)dx 2[(x1)1](1x)100d(1x)

1xu2(u1)u100du

11021101uu)c2 = 2(10210112(1x)102(1x)101c2 51101若用计算I2的方法来计算I1

21应得 I1(1x)7(1x)6c3；

73例2：求 dx 2xpxq解：二次三项式x2pxq在实数范围内无解，所以设x2pxq有一对共

pp2p2轭复根iu，这时xpxq(x)q(x)2+u2 其中

2242p2对这一情形有 uq41xdxdxarctanc =x2pxq(x)2u2uup12c； arctanp2p2qq44x1．2第二类换元积分法

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BACHELOR ’S THESIS 定理2：（第二类换元积分法） 若函数x(t)在[,]可导，a(t)b，且(t)0 。函数f(x)在[a,b]有定义，t[,]，有G(t)f[(t)](t) 则函数f(x)在[a,b]存在原函数，且f(x)G[1(x)]c 。

证明：已知t[,]有(t)0，则函数x(t)存在可导的反函数

t1(t)由复合函数和反函数的求导法则，有

{G[1(x)]}G(t).[1(x)]f[(t)](t)=f[(t)]f(x) 。

xd)xG[x(])1c第二类换元积分法指出，求f(式等号左端的不定积分，

1 (t)()]t()t设x(t)，则化为求不定积分f[(t)](t)dt。若f[存在原函数G(t)，

则f[(t)](t)dtG(t)c最后将t1(t)代入上式等号右端，就得到所求的不定积分f(x)dxG[1(t)]c由于 (t)dtd(t)

第二类换元积分法可表为

f(x)dxx(t)f[(t)(t)]dtG(t)c

G[1(x)]c；

t1(x)例3：求 a2x2dx (a0) 解：利用三角变换去根式：令xasint (x则 dxacostdt，tarcsin； axa

a2根据公式 a2x2dxa2a2sint.acostdt

f[(t)]2t2)

a x

a2x2 (t)dt 4

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BACHELOR ’S THESIS a2costcostdta2cos2tdt

a2a2 =(1cos2t)dt(dtcos2tdt)

22a21a2a2 =(tsin2t)ctsin2tc

2224为把t回代成x的函数，根据xasint作一辅助直角三角形

a2x2如图可知cost 代入上式得

a例4： 求a2xx2axdxarcsinax2c

2a222dx

1x1x分析：被和函数中有两个不同的根号，作变换时应考将两个极号同时去掉或变成其它可积出来的情形 。

t212) 解：令 x(2tt212t212t2t21t41) dxdt=3dt 于是1x(22tt2t2t从而有 dx

1x1x1t41.3dt =22t1t12t12t2t2tt41(t1)(t21)dtdt =2t2t22t32t3 5

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BACHELOR ’S THESIS =

1111111(1)dt(tlnt2)c 232ttt2t2tt21因为 x，

2tt211x 所以x1xt

2t故得 dx

1x1x1111+c x1xln(x1x)22x1x2(x1x)x111x(1x)x(1x)c =xln(x1x)2222解法2：先作恒等变形有

dx1x1x1x1x(1x)2(1x)2dx

=1x1xdx

2x112x22=(11x)dx xx11x=xdx （1）

22x令t11x2tdt 从而有 于是xt21x，x2，dx22t1(t1)x1x2t2dtdt dx=2dt222222x(t1)t1(t1)t11112()dt t12t1t1 =ln 6

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BACHELOR ’S THESIS =lnt11t12dtdt1dt(t1)2t212(t1)2

1t1111=ln()c 2t12t1t11=ln21xx111()c

1xx21x1x11xx=ln(1xx)x(1x)c （2）

将（2）代入（1）得到

1dxx1xln(x1x)1x1x222x(1x)c

例5：求 dtxa22， a0，xa

secttant，dt解法1：令xasect，t(0,)(,)，于是dxa22x2a2atan2tatant。其中当t(0,)时取正号，t(,)时取负号。

22dxx2a2asecttantdt=sectdtlnsecttantc 。

atantxx2a2clnxx2a2c，xa 当lnaaxx2a2clnxx2a2c，xa又因当 xa 时有 当lnaalnxxaln22xax22xln2a2x222xxa 7

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BACHELOR ’S THESIS lna2xx2a2lnxx2a2lna2

dxx2a2所以对所有xa均有例6：求 lnxx2a2c.

1xdx 1x解：由于1x1x1x1xdx1xdx令1xdx1x1xt

11x24dxI

1x22t24t2dt2dt2t2lnc1 222tt2t221x2ln1x2c1

1x211x24dx1x211令xsec

221tan2sec1sec3secd 23sec23sec128secsec3secd 2sec3134dtanlnsectan

223cos1dtan132 tanlnsectan42212tan22

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BACHELOR ’S THESIS 13tanlnsectan2ln222tan2tan221c2 12xx1c2

2xx13x1xln2x12x(1x)2ln2I21xx1x2ln1x1x221x1x3 2x22xln2x(1x)2x1c (cc1c2)

例7：试用多种方法求不定积分dxx4x2 解法1：相继使用第一，第二换元积分法，得到

dx121dud()（令usect）

2x2422u112()1x2xx21secttant1dtlnsecttantc 2tant211xlnuu21clnc

22224x解法2：由于12xdx

x(2x)2x2(1t2)4t22x8t2xdxdt因此又可令t由此解出x，，22221t1t(1t)2x1t21t28tdt并得到 tdt1t2 2(1t)24t2(1t2)21t11lncln2t122x2xc

2x2x9

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BACHELOR ’S THESIS 1xlnc ；

2224x1．3求三角函数R(sinx,cosx) 的不定积分

R(sinx,cosx)dx 常常有多种方法，其中有一种是万能的，尽管这种方法

不是最简便的。 设tanx2t (x)有x2arctant dxdt 221txxx2sincos2tan2222t sinx21t2x2x2xsincos1tan222xxxcos2sin21tan21t2222 cosx2xxx1tcos2sin21tan22222t1t22,)dt 有 R(sinx,cosx)dxR(1t21t21t2显然，上式等号右端的被积函数是有理函数，因此三角函数R(sinx,cosx)存在被等函数的原函数。焕元tanxt。称为关于R(sinx,cosx)的万能换元。 21r2dx (0r1,x) 例8：求12rcosxr2x21t2dt，cosx解：设tant有x2arctant dx 2221t1t1r2dx 12rcosxr21r22dt 21t21t212rr1t2 10

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BACHELOR ’S THESIS 2(1r2)2(1r)dtdt(1r)2(1r)2t21r(1r)2t21r1r1rxtc2arctan(tan)c 1r1r2在某些特殊情形下，要会选择更方面的变量替换。例如：

2arctan

(1)R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)可令tcosx。 (2)R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)可令tsinx。 (3)R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)可令ttanx。 cos2xdx 44sinxcosx解：本题属上述特殊情形（3）令ttanx则有

例9：求cos2xsin2x1tan2xsin4xcos4xdxtan4x1d(tanx)

1121tdttdt 411t2tt21(t)1tdt (令ut)

1t(t)22t2du111()du =u2222u2u2=122lnu2c

u2sec2x2tanx=lnc ； 222secx2tanx1

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总结

此论文中主要介绍解不定积分过程中有难易程度的有些问题所利用的一种方法—换元积分法，其主要形式有两种，第一类换元法和第二类换元法和它们之间的关系。还有介绍求三角函数不定积分的一种方法—万能换原法。通过利用这些方法解决了计算不定积分过程所遇到的故障。

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参考文献

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[2] 李成章. 数学分析（上）[M]. 北京科学出版社，1999.5: 208 . [3]刘勇 . 数学分析新讲[M]. 北京大学出版社，1990： 210.

[4] 赵显曾. 数学分析的方法与题解[M]. 陕西师范大学出版社，2005：[5] 吴良森. 数学分析学习指导书上册[M]. 北京高等教育出版，2008：[6] 吴良森. 数学分析习题精解[M]. 北京科学出版社，2002： 157.

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～ 246. 231. 学 士 学 位 论 文

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致谢

经过几个月的忙碌和学习，本次毕业论文涉及已经接近尾声。作为一 个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有指导教予了我悉心的指导。除了敬佩热米拉老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作，最后还要感谢大学五年来所有的数学系的老师，是在他们的教诲下，掌握了坚实的专业知识基础，为我以后的杨帆远航注入了动力 此致

敬礼

木塔里甫·艾思尔 2008年4月30日

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