平面几何难题一则

平面几何难题一则

有初三学生中考前两天在QQ上问我一道几何题，我看后立刻回复给她：“此题较难，这时你不要攻难题，不要管它，赶急复习自己的。” 现在中考已过。我把研究此题的结果，发表如下，回答这位学生，也供论坛里有兴趣的朋友看看。

有没有更好的方法？欢迎指正。

问题：

如图1，△AOB与△DOE均为等腰直角三角形，B,O,E在同一直线上，AO=B0=10，DO=EO=6，现将Rt△DOE绕点O顺时针旋转60°，得到△D1OE1，D与D1对应，连接AD1,BE1，过点O作OC⊥BE1，交BE1于点C，交AD1于点F，求CF的长.

解答：

第一步，证明点F是线段AD1的中点.

过点A、D1分别作直线OF的垂线，垂足分别为M、N，如图2，

∵△OND1≌△OCE1，且△OMA≌△OCB，

∴AM=DN(=OC)，∴可知△FND1≌△FMA，

∴AF=D1F.

第二步，计算AD1的长.

在△AOD1中，依题意，∠AOD1＝60°，过点D1作DT⊥OA，垂足为T，如图3，

由OD1=6，得D1T=3√3，于是AT=10-3=7，所以AD1^2=27+49=76.

第三步，计算OF的长.

OF是△AOD1的一条中线，根据定理“平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和”，则有

2(OA^2+OD1^2)=AD1^2+(2×OF)^2

即 2(100+36)=76+4×OF^2,

解得 OF=7.

第四步，计算△OBE1的面积.

过点E1作BE的垂线，垂足为H，如图4，

由∠AOD1＝60°，知∠BOE1＝120°，

∴∠HOE1＝60°，

由OE1=6，得E1H=3√3，于是△OBE1的面积=(1/2)OB×E1H=(1/2)10×3√3=15√3.

第五步，计算BE1的长.

由第四步知，OH=3，故BH=13，

∴BE1^2=BH^2+E1H^2=169+27=196，

∴BE1=14

第六步，计算OC的长.

△AOD1的面积=(1/2)BE1×OC，

∴OC=(30√3)/14=(15√3)/7.

最后第七步，作答.

∴OF=OC+OF=7+(15√3)/7.

用解析几何的方法会快点，不过是高中才学这种知识。

O做原点，CF就是y=kx

A,D坐标可以算出A(0，10),D(6cos30°，6sin30°)

B,E1同理，B（-10,0），E1(6cos60°，6sin60°).BE1的斜率算出来，因为CF垂直BE1，CF斜率k为BE1斜率的倒数。

三条直线都确定，C、F的坐标用两直线求交点，最后求个距离，over

这题放高中挺合适，处置做太累