最新随机过程习题及答案

⼀、1.1设⼆维随机变量(,)的联合概率密度函数为：

试求:在时,求。解：

当时，＝＝

1.2 设离散型随机变量X服从⼏何分布：

试求的特征函数，并以此求其期望与⽅差。解：

所以：

2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有⼀个⽩球，两个任取⼀球后放回，对每 对应随机变量⼀个确定的t

=时取得⽩球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(

.维分布函数族试求这个随机过程的⼀2.2 设随机过程，其中是常数，与是

相互独⽴的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为

试证明为宽平稳过程。解：（1）与⽆关（2），

所以（3）

只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）⽅差函数）协⽅差函数；（）均值函数；（（

2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。试求它们的互协⽅差函2.5，

试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和⾃相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t tR t m U B N A X X 及则且⽴为多少？

3.1⼀队学⽣顺次等候体检。设每⼈体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他⼈所需时间相互独⽴，则1⼩时内平均有多少学⽣接受过体检？在这1⼩时内最多有40名学⽣接受过体检的概率是多少（设学⽣⾮常多，医⽣不会空闲）

解：令()N t 表⽰(0,)t 时间内的体检⼈数，则()N t 为参数为30的

poisson 过程。以⼩时为单位。 则((1))30E N =。40300

(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N ⼈乘坐后出发；2路公共汽车在有2N ⼈乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车⽐2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解：

法⼀：（1）乘坐1、2路汽车所到来的⼈数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1N T 表⽰1()N t =1N 的发⽣时刻，2

N T 表⽰2()N t =2N 的发⽣时刻。111

1111111()exp()(1)!N N

N T f t t t N λλ-=-- 222

1222222()exp()(1)!N N

N T f t t t N λλ-=--1212121221

112,12|12211122212(,)(|)()exp()exp()(1)!(1)!

N N N N N N

N

N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--==----12212121112211122210012()exp()exp()(1)!(1)!NN

t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞--<=----??

（2）当1N =2N 、1λ=2λ时，12121()()2

N N N N P T T P T T <=>=

法⼆：（1）乘车到来的⼈数可以看作参数为1λ+2λ的泊松过程。令1Z 、2Z 分别表⽰乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则1Z 、2Z 分别服从参数为1λ、2λ的指数分布，现在来求当⼀个乘客乘坐1路汽车后，下⼀位乘客还是乘坐1路汽车的概率。2

12211122210

()exp()exp()z p P Z Z dz z z dz λλλλ∞=<=--??112λλλ=+。

故当⼀个乘客乘坐1路汽车后，下⼀位乘客乘坐2路汽车的概率为1-p 212λλλ=

+

上⾯的概率可以理解为：在乘客到来的⼈数为强度1λ+2λ的泊松过程时，乘客分别以112λλλ+概率乘坐公共汽车1，以212λ

λλ+的概率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：121111111211212(1=()(

)N N N N k N k k N P C λλλλλλ+----=++∑路汽车⽐2路汽车先出发）（2）当1N =2N 、1λ=2λ时21211111

11111(1=()()2222N N N k N k k k k N k N P CC -------====∑∑路汽车⽐2路汽车先出发）3.3设{(),0}i N t t ≥，(1,2,,)i n =L 是n 个相互独⽴的Poisson 过程，参数分别为

i λ(1,2,,)i n =L 。记T 为全部n 个过程中，第⼀个事件发⽣的时刻。（1）求T 的分布； （2）证明1{()(),0}n i i N t N t t ==≥∑是Poisson 过程，参数为1ni i λλ==∑；

（3）求当n 个过程中，只有⼀个事件发⽣时，它是属于1{(),0}N t t ≥的概率。解：（1）记第i 个过程中第⼀次事件发⽣的时刻为1i t ，1,2,...,i n =。则1min{,1,2,...,}i T t i n ==。由1i t 服从指数分布，有111111

{}1{}1{min{,1,2,...,}}1{,1,2,...,}1{}1{1(1)}1exp{}i i ni i i n

nt

i i i P T t P T t P t i n t P t t i n P t t et λλ=-==≤=->=-=>=->==->=---=--∏∑∏

（2）⽅法⼀：由{(),1,2,...,}i N t i n =为相互独⽴的poisson 过程，对于,0s t ?≥。11111{()()}{[()()]}{()(),,1,2...,}(exp(()))!()exp(())!n ni in ni ni i i iiiinnn ni i i i i n ni n

i i i P N t s N t n P N t s N t n P N t s N t n nn i n s

s n s s n λλλλ=∑=∑=====+-==+-==+-====-=-∑∑∑∑∑∏∑∑

这⾥利⽤了公式11

(...)!!in ni nnn

i n i i n n λλλ=∑=++=∑∏所以1

{()(),0}n i i N t N t t ==≥∑是参数为1n

i i λλ==∑的poisson 过程。⽅法⼆： ○1当0h →时，11111

{()()1}{[()()]1}{(())(1())}[()]()ni i i nn i j i j j inn

i i i i P N t h N t P N t s N t h o h h o h h o h h o h λλλλ===≠==+-==+-==+-+=+=+∑∑∏∑∑○

2当0h →时， 111111

{()()2}{[()()]2}1{[()()]2}1(1())()1(1())()

()ni i i ni i i n nj i i j n n

i i i i P N t h N t P N t s N t P N t s N t h o h h o h h o h h o h o h λλλλ======+-≥=+-≥=-+-<=--+-+=--+-+=∑∑∑∏∑∑得证。

（3）11{()1|()1}{()1,()0,2,...,}/{()1}i P N t N t P N t N t i n P N t ======= 1111121/...ni i i nnttti i i nteee

t λλλλλλλλ=---==∑==++∑∏

3.4 证明poisson 过程分解定理：对于参数为λ的poisson 过程{(),0}N t t ≥，01i p <<，11r

i i p ==∑，1,2,,i r =L ，可分解为r 个相互独⽴的poisson 过程，参数分别为i p λ，1,2,,i r =L 。

解：对过程{(),0}N t t ≥，设每次事件发⽣时，有r 个⼈对此以概率12,,...,r p p p 进⾏记录，且11ri i p ==∑，同时事件的发⽣与被记录之

间相互独⽴，r 个⼈的⾏为也相互独⽴，以()i N t 表⽰为到t 时刻第i 个⼈所记录的数⽬。现在来证明{(),0}i N t t ≥是参数为i p λ的poisson 过程。

00{()}{()|()}{()}()(1)()!()!

i i i n m n m mntm ni i n mp t

i P N t m P N t m N t m n P N t m n t Cp p em n p t em λλλλ∞=+∞

-+=-====+=+=-+=∑∑

独⽴性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个⼈记录， ⼀个以概率p ，⼀个以概率1p -记录，则1{(),0}N t t ≥是参数为p λ的poisson 过程，2{(),0}N t t ≥是参数为(1)p λ-的poisson过程。121121212121212

112211121211121212121212{(),()}{(),()}{()}{()|()}()(1)()!

()!()(1)()()(1)!!(k k k k k t k k k k k k t k k k k t P N t k N t k P N t k N t k k P N t k k P N t k N t k k t e C p p k k k k t e p p k k k k t ep p k k pt λλλλλλλ+-++-+-=====+==+==+=-++=-+=-=12(1)121122)((1))!!{()}{()}k k t p t p t e e

k k P N t k P N t k λλλ----===得证。

3.5 设{(),0}N t t ≥是参数为3的poisson 过程，试求 （1）{(1)3}P N ≤； （2）{(1)1,(3)2}P N N ==； （3）{(1)2|(1)1}P N N ≥≥解：（1）33303{(1)3}13!k

k P N e e k --=≤==∑ （2）{(1)1,(3)2}{(1)1,(3)(1)1}P N N P N N N ====-=369{(1)1}{(3)(1)1}3618P N P N N e e e ---==-===（3）3

3

{(1)2}14{(1)2|(1)1}{(1)1}1P N e P N N P N e

--≥-≥≥==≥- 3.6 对于poisson 过程{(),0}N t t ≥，证明s t <时，{()|()}P N s k N t n ===(1)()n k k n s sk t t -??- 解：(){(),()}{()|()}{()}{(),()()}{()}{()()}{()}{()}(())()()!!()!()!()!!()n k kt s s nt n k k n

n k k P N s k N t n P N s k N t n P N t n P N s k N t N s n k P N t n P N t N s n k P N s k P N t n t s s e en k k t e

n t s s n n k k t n t s s k λλλλλλ-------=======-=-==-=-===--=-=

-??-= (1)()n k k n k kt t n s s k t t --??=-

3.7 设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是参数为1λ，2λ的Poisson 过程，另

12()()()X t N t N t =-，问{()}X t 是否为Poisson 过程，为什么？解：不是

12()()()X t N t N t =-，()X t 的⼀维特征函数为：121212121122(()())()()()()12001200

1212()()()()()()!!()()!!exp{(iu

iu iu N t N t iuN t iuN t iuX t X t k k t tiuk

iuk k k iu k iu ktt k k t e

t t e t

iu iu f u E e E e E e e t t ee e e k k e t e t ee k k e e e e

e t e t λλλλλλλλλλλλλλλλ--∞∞--==∞

∞--==---=====?==+-+∑∑∑∑)}t

参数为λ的Poisson 过程的特征函数的形式为exp{1}iu e t λ-，所以()X t 不是poisson 过程。

3.8 计算1T ，2T ，3T 的联合分布 解：

123123123()3,,123123(,,)()()()x x x X X X X X X f x x x f x f x f x e λλ-++== 123110(,,)0111001J t t t -?? ?=-= ? ???

1231233,,123,,121321233123(,,)(,,)(,,)00T T T X X X t

f t t t f t t t t t J t t t e t t t λλ-=--?<<

3.9 对0s >，计算[()()]E N t N t s +g 。 解：222222[()()][()(()())][()][()][(()())][()]

()E N t N t s E N t N t s N t E N t E N t E N t s N t E N t t s t t t st tλλλλλλλ+=+-+=+-+=?++=++

3.10 设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已经有⽆数患者等候，

⽽每个专家只能为⼀名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是相互独⽴的指数分布。则8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。