已知
O是ABC内的一点,
BOC,AOC,AOB的面积分别为
SA,SB,SC,求证:
SAOA
SBOB
AO
SCOC
0
OA与BC边相交于点D则
如图2延长
BD
B
C
DC
SABDSACD
DC
OBBC
SBSB
SC
SBODSCODSABDSBODSACDSCOD
SCSB
图1
A
OD
BD
OCBC
SCSB
SC
O
OBOC
B
D
C
ODOA
图2
SBODSBOA
SCODSCOA
SBODSBOA
SCODSCOA
SB
SA
SC
OD
SASBSC
OA
SASB
SC
OA
SBSB
SC
OB
SCSB
SC
OC
SAOASBOBSCOC0
推论
O是ABC内的一点,且
COA
x
OA
y
OB
z
OC0,则
SBOC:S
:
S
AOB
x:y:z
有此定理可得三角形四心向量式
O是ABC的重心
S
BOC
:S
COA
:S
AOB
1:1:1OAOBOC0
O是ABC的内心
S
BOC
:S
COA
:S
AOB
a:b:caOAbOBcOC0
O是ABC的外心
S
BOC
:S
COA
:S
AOB
sin2A:sin2B:sin2C
sin2COC
0
sin2AOAsin2BOB
O是ABC的垂心
S
BOC
:S
COA
:S
AOB
tanA:tanB:tanC
tanCOC
0
tanAOA
C
tanBOB
O
A
D
B
证明:如图
O为三角形的垂心,
COA
tanA
CD
,tanBADCDDB
tanA:tanBDB:AD
SBOC:SS
同理得
BOC
DB:AD
:S
COA
tanA:tanBtanB:tanC,S
AOB
BOC
SCOA:SAOB
BOC
:
SAOBtanA:tanC
S
:
S
COA
:StanA:tanB:tanC
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
4.2三角形“四心”的相关向量问题
一.知识梳理:
四心的概念介绍:
(1) 重心:中线的交点,重心将中线长度分成(2) 垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;(3) 内心:角平分线的交点(内切圆的圆心)(4) 外心:中垂线的交点(外接圆的圆心)
与“重心”有关的向量问题
1 已知G是△ABC所在平面上的一点,若GA
,角平分线上的任意点到角两边的距离相等;,外心到三角形各顶点的距离相等。
2:1;
GBGC0,则G是△ABC的( )
.
A.重点B.外心C.内心D.垂心
如图⑴.
C
A'
G
A
图⑴
P
B
M
A
B
C
O
图⑵
2已知O是平面上一定点,
A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
),则P的轨迹一定通过△ABC的( ).
OPOA(ABAC),(0,
A.重点B.外心AP
C.内心(AB
AC),当
D.垂心
(0,
)时,由于
【解析】由题意
(ABAC)表示BC边上
的中线所在直线的向量,所以动点
P的轨迹一定通过△ABC的重心,如图⑵.
(λ
)
3 .O是△ABC所在平面内一点,动点P满足
∈(0,+∞)),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(A.内心
B.重心
C.外心
D.垂心
解:作出如图的图形AD⊥BC,由于∴
由加法法则知,P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心故选:B.
=
sinB=sinC=AD,
与“垂心”有关的向量问题3
P是△ABC所在平面上一点,若
B.外心
C.内心
PAPBPBPC
PCPA,则P是△ABC的( )
A.重点D.垂心
【解析】由PAPB
PBPC,得PBPA(PC即PBCA)0,
0,所以PB⊥CA.同
理可证PC⊥AB,PA⊥BC.∴
P是△ABC的垂心.如图⑶.
CE
MH
B
A
B
C
P
A
P
F
O
图⑶
4已知O是平面上一定点,
A,B,C
AC
图⑷
是平面上不共线的三个点,动点
P满足
OPOA
ABABcosB
,
ACcosC
(0,则动点P的轨迹一定通过△ABC),
的( ).
A.重点B.外心C.内心D.垂心
【解析】由题意
AP
ABABcosB
ACACcosC
,
由于
ABABcosBABBCABcosB
ACACcosCACBCACcosC
BC
0,
即
BCCB
0,所以AP表示垂直于BC的向量,即P点
在过点
A且垂直于BC的直线上,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心,如图⑷.
5若
H为△ABC所在平面内一点,且
222222
HABCHBCAHCAB
则点H是△ABC的( )
A.重点B.外心C.内心D.垂心
2222
证明:
HA(HA
HBHB)BAHB
CA
CABC
A
(CACB)BACB)BA0
AB
0HC
B
图6
H
得(HA即(HC同理AC
HC)BAHB,BC
C
HA,
故H是△ABC的垂心与“内心”有关的向量问题6已知
I为△ABC所在平面上的一点,且ABc,ACb,BCa
.若
aIAbIBcIC0,则I是△ABC的( )
.A.重点
B.外心C.内心D.垂心
B
C
O
a
c
I
C
P
A
B
A
b
图⑸
【解析】∵IB
图⑹
IAAB,ICIAAC,则由题意得(abc)IAbABcAC0,
∵bABcACACABABACACAB
ABAB
ACAC
,
∴AI
bcab
c
ABAB
ACAC
.∵
ABAB
与
ACAC
分别为AB和AC方向上的单位向量,
∴AI与∠BAC平分线共线,即同理可证:
AI平分BAC.
ACB.从而I是△ABC的内心,如图⑸.
BI平分ABC,CI平分
7已知O是平面上一定点,
A,B,C是平面上不共线的三个点,动点ACAC
P满足
OPOA
ABAB
,
(0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC的
( ).
A.重点B.外心C.内心D.垂心
【解析】由题意得
AP
ABAB
ACAC
,∴当
(0,)时,AP表示BAC的平分
线所在直线方向的向量,故动点
P的轨迹一定通过△ABC的内心,如图⑹. △
ABC
所=
在
的
平
面
内
:
8若O在
,则O是△ABC
的(A.垂心
)B.重心
C.内心
D.外心
是单位向量
解:∵向量的模等于1,因而向量
∴向量、和等都是单位向量
∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形,
∵
可得AO在∠BAC的平分线上
同理可得OB平分∠ABC,OA平分∠ACB,∴O是△ABC的内心.故选:C.
与“外心”有关的向量问题
8已知O是△ABC所在平面上一点,若
OA
2
OB
2
OC,则O是△ABC的( ).
2
A.重点B.外心C.内心D.垂心
C
BO
O
A
BM
P
A
C
图⑺
【解析】若
图⑻
2
OA
2
OBOC,则OA
2
222
OBOC,∴OAOBOC,则O是
△ABC的外心,如图⑺。
9
已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
ACACcosC
OP
OB
2
OCABABcosB
,
(0,),则动点P的轨迹一定通过
△ABC的( )。
A.重点
B.外心C.内心D.垂心
【解析】由于
OB
OC
2
过BC的中点,当(0,)时,
ABACABcosB
ACcosC
示垂直于BC的向量(注意:理由见二、4条解释。),所以
P在BC垂直平分线上,动点的轨迹一定通过
△ABC的外心,如图⑻
四心的相互关系
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用
设△ABC的外心为O,则点H为△ABC的垂心的充要条件是OHOAOBOC。
2.三角形外心与重心的向量关系及应用
设△ABC的外心为O,则点G为△ABC的重心的充要条件是
OG
13(OA
OB
OC)
3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H,则O、G、H三点共线(O、G、三点连线称为欧拉线),且OG12
GH。
相关题目
10.设△ABC外心为O,重心为G.取点H,使.
求证:(1)H是△ABC的垂心;
(2)O,G,H三点共线,且OG:GH=1:2.【解答】证明:(1)∵△ABC外心为O,∴又∵∴则
=
?
=
=0
表
P
H
即AH⊥BC
同理BH⊥AC,CH⊥AB即H是△ABC的垂心;(2)∵G为△ABC的重心∴即
=3
即O,G,H三点共线,且即O,G,H三点共线,且OH=3OGOG:GH=1:=3
=3
+
=
2
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