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平面向量与三角形四心问题-精品.pdf

来源:一二三四网
平面向量基本定理与三角形四心

已知

O是ABC内的一点,

BOC,AOC,AOB的面积分别为

SA,SB,SC,求证:

SAOA

SBOB

AO

SCOC

0

OA与BC边相交于点D则

如图2延长

BD

B

C

DC

SABDSACD

DC

OBBC

SBSB

SC

SBODSCODSABDSBODSACDSCOD

SCSB

图1

A

OD

BD

OCBC

SCSB

SC

O

OBOC

B

D

C

ODOA

图2

SBODSBOA

SCODSCOA

SBODSBOA

SCODSCOA

SB

SA

SC

OD

SASBSC

OA

SASB

SC

OA

SBSB

SC

OB

SCSB

SC

OC

SAOASBOBSCOC0

推论

O是ABC内的一点,且

COA

x

OA

y

OB

z

OC0,则

SBOC:S

:

S

AOB

x:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

O是ABC的重心

S

BOC

:S

COA

:S

AOB

1:1:1OAOBOC0

O是ABC的内心

S

BOC

:S

COA

:S

AOB

a:b:caOAbOBcOC0

O是ABC的外心

S

BOC

:S

COA

:S

AOB

sin2A:sin2B:sin2C

sin2COC

0

sin2AOAsin2BOB

O是ABC的垂心

S

BOC

:S

COA

:S

AOB

tanA:tanB:tanC

tanCOC

0

tanAOA

C

tanBOB

O

A

D

B

证明:如图

O为三角形的垂心,

COA

tanA

CD

,tanBADCDDB

tanA:tanBDB:AD

SBOC:SS

同理得

BOC

DB:AD

:S

COA

tanA:tanBtanB:tanC,S

AOB

BOC

SCOA:SAOB

BOC

:

SAOBtanA:tanC

S

:

S

COA

:StanA:tanB:tanC

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

4.2三角形“四心”的相关向量问题

一.知识梳理:

四心的概念介绍:

(1) 重心:中线的交点,重心将中线长度分成(2) 垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;(3) 内心:角平分线的交点(内切圆的圆心)(4) 外心:中垂线的交点(外接圆的圆心)

与“重心”有关的向量问题

1 已知G是△ABC所在平面上的一点,若GA

,角平分线上的任意点到角两边的距离相等;,外心到三角形各顶点的距离相等。

2:1;

GBGC0,则G是△ABC的( )

A.重点B.外心C.内心D.垂心

如图⑴.

C

A'

G

A

图⑴

P

B

M

A

B

C

O

图⑵

2已知O是平面上一定点,

A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足

),则P的轨迹一定通过△ABC的( ).

OPOA(ABAC),(0,

A.重点B.外心AP

C.内心(AB

AC),当

D.垂心

(0,

)时,由于

【解析】由题意

(ABAC)表示BC边上

的中线所在直线的向量,所以动点

P的轨迹一定通过△ABC的重心,如图⑵.

(λ

3 .O是△ABC所在平面内一点,动点P满足

∈(0,+∞)),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(A.内心

B.重心

C.外心

D.垂心

解:作出如图的图形AD⊥BC,由于∴

由加法法则知,P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心故选:B.

=

sinB=sinC=AD,

与“垂心”有关的向量问题3

P是△ABC所在平面上一点,若

B.外心

C.内心

PAPBPBPC

PCPA,则P是△ABC的( )

A.重点D.垂心

【解析】由PAPB

PBPC,得PBPA(PC即PBCA)0,

0,所以PB⊥CA.同

理可证PC⊥AB,PA⊥BC.∴

P是△ABC的垂心.如图⑶.

CE

MH

B

A

B

C

P

A

P

F

O

图⑶

4已知O是平面上一定点,

A,B,C

AC

图⑷

是平面上不共线的三个点,动点

P满足

OPOA

ABABcosB

ACcosC

(0,则动点P的轨迹一定通过△ABC),

的( ).

A.重点B.外心C.内心D.垂心

【解析】由题意

AP

ABABcosB

ACACcosC

由于

ABABcosBABBCABcosB

ACACcosCACBCACcosC

BC

0,

BCCB

0,所以AP表示垂直于BC的向量,即P点

在过点

A且垂直于BC的直线上,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心,如图⑷.

5若

H为△ABC所在平面内一点,且

222222

HABCHBCAHCAB

则点H是△ABC的( )

A.重点B.外心C.内心D.垂心

2222

证明:

HA(HA

HBHB)BAHB

CA

CABC

A

(CACB)BACB)BA0

AB

0HC

B

图6

H

得(HA即(HC同理AC

HC)BAHB,BC

C

HA,

故H是△ABC的垂心与“内心”有关的向量问题6已知

I为△ABC所在平面上的一点,且ABc,ACb,BCa

.若

aIAbIBcIC0,则I是△ABC的( )

.A.重点

B.外心C.内心D.垂心

B

C

O

a

c

I

C

P

A

B

A

b

图⑸

【解析】∵IB

图⑹

IAAB,ICIAAC,则由题意得(abc)IAbABcAC0,

∵bABcACACABABACACAB

ABAB

ACAC

∴AI

bcab

c

ABAB

ACAC

.∵

ABAB

ACAC

分别为AB和AC方向上的单位向量,

∴AI与∠BAC平分线共线,即同理可证:

AI平分BAC.

ACB.从而I是△ABC的内心,如图⑸.

BI平分ABC,CI平分

7已知O是平面上一定点,

A,B,C是平面上不共线的三个点,动点ACAC

P满足

OPOA

ABAB

(0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC的

( ).

A.重点B.外心C.内心D.垂心

【解析】由题意得

AP

ABAB

ACAC

,∴当

(0,)时,AP表示BAC的平分

线所在直线方向的向量,故动点

P的轨迹一定通过△ABC的内心,如图⑹. △

ABC

所=

8若O在

,则O是△ABC

的(A.垂心

)B.重心

C.内心

D.外心

是单位向量

解:∵向量的模等于1,因而向量

∴向量、和等都是单位向量

∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形,

可得AO在∠BAC的平分线上

同理可得OB平分∠ABC,OA平分∠ACB,∴O是△ABC的内心.故选:C.

与“外心”有关的向量问题

8已知O是△ABC所在平面上一点,若

OA

2

OB

2

OC,则O是△ABC的( ).

2

A.重点B.外心C.内心D.垂心

C

BO

O

A

BM

P

A

C

图⑺

【解析】若

图⑻

2

OA

2

OBOC,则OA

2

222

OBOC,∴OAOBOC,则O是

△ABC的外心,如图⑺。

9

已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足

ACACcosC

OP

OB

2

OCABABcosB

(0,),则动点P的轨迹一定通过

△ABC的( )。

A.重点

B.外心C.内心D.垂心

【解析】由于

OB

OC

2

过BC的中点,当(0,)时,

ABACABcosB

ACcosC

示垂直于BC的向量(注意:理由见二、4条解释。),所以

P在BC垂直平分线上,动点的轨迹一定通过

△ABC的外心,如图⑻

四心的相互关系

1.三角形外心与垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O,则点H为△ABC的垂心的充要条件是OHOAOBOC。

2.三角形外心与重心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O,则点G为△ABC的重心的充要条件是

OG

13(OA

OB

OC)

3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H,则O、G、H三点共线(O、G、三点连线称为欧拉线),且OG12

GH。

相关题目

10.设△ABC外心为O,重心为G.取点H,使.

求证:(1)H是△ABC的垂心;

(2)O,G,H三点共线,且OG:GH=1:2.【解答】证明:(1)∵△ABC外心为O,∴又∵∴则

=

?

=

=0

P

H

即AH⊥BC

同理BH⊥AC,CH⊥AB即H是△ABC的垂心;(2)∵G为△ABC的重心∴即

=3

即O,G,H三点共线,且即O,G,H三点共线,且OH=3OGOG:GH=1:=3

=3

+

=

2

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