一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）一个三角形的两边长分别是4和6，其第三边边长可能是（ ） A．1 B．3
C．10 D．11
3．（3分）五边形的外角和等于（ ） A．180° B．360° C．540° D．720°
4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（ ）
A．BD=AD B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD
5．（3分）如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD=∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件，正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．∠BDE=∠CDE C．AB=AC D．BD=CD
6．（3分）下列运算正确的是（ ） A．﹣3a2•2a3=﹣6a6 B．4a6÷（﹣2a3）=﹣2a2 C．（﹣a3）2=a6 D．（ab3）2=ab6 7．（3分）分式﹣A．﹣
B．
可变形为（ ） C．﹣
D．
8．（3分）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（ ） A．2+y2 B．2﹣y C．2++1 D．2﹣2+1
9．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），由图中面积关系可以直接得到的公式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．a2+b2=（a+b）2﹣2ab C．（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
10．（3分）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（﹣2a2）（a﹣3）= ． 12．（4分）因式分解：ab2﹣a= ．
13．（4分）点P与Q（﹣2，3）关于轴对称，则线段PQ的长为 ． 14．（4分）若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数为 ． 15．（4分）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．
16．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．
三、解答题（一）（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）化简，求值：（﹣1）﹣（+2）2，其中=﹣2． 18．（6分）（1）解方程：
+
=4．
（2）解不等式组：．
19．（6分）如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N在OB上，且PM=PN．求证：EM=FN．
三、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 20．（7分）先化简，再求值：（且a为整数．
21．（7分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分线段AC． （1）求证：△BCE是等边三角形． （2）若BC=3，求DE的长．
﹣a﹣2）÷
．其中a与2，3构成△ABC的三边，
22．（7分）某车间按计划要生产450个零件，由于改进了生产设备，该车间实际每天生产的零件数比原计划每天多生产20%，结果提前5天完成任务，求该车间原计划每天生产的零件个数？
三、解答题（三）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 23．（9分）（1）填空： （a﹣b）（a+b）= （a﹣b）（a2+ab+b2）= （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算：39﹣38+37﹣…+33﹣32+3．
24．（9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点E，F分别在
BC，AC上，且AF=CE．
（1）填空：∠A的度数是 ． （2）探究DE与DF的关系，并给出证明．
25．（9分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形．若点P以1cm/s的速度从点B出发，同时点Q以1.5cm/s的速度从点C出发，都按逆时针方向沿△ABC的边运动，运动时间为6秒． （1）试求出运动到多少秒时，直线PQ与△ABC的某边平行；
（2）当运动到t1秒时，P、Q对应的点为P1、Q1，当运动到t2秒时（t1≠t2），P、Q对应的点为P2、Q2，试问：△P1CQ1与△P2CQ2能否全等？若能，求出t1、t2的值；若不能，请说明理由．
广东省惠州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一个图形是轴对称图形； 第二个图形不是轴对称图形； 第三个图形是轴对称图形； 第四个图形轴对称图形； 共3个， 故选：C．
2．（3分）一个三角形的两边长分别是4和6，其第三边边长可能是（ A．1 B．3
C．10 D．11
【解答】解：设第三边长为，由题意得： 6﹣4＜＜6+4， 则2＜＜10． 故选：B．
3．（3分）五边形的外角和等于（ ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【解答】解：五边形的外角和是360°． 故选：B．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（） ）
A．BD=AD B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD 【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD． 无法确定BD=AD．
故B、C、D正确，A错误． 故选：A．
5．（3分）如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD=∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件，正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．∠BDE=∠CDE C．AB=AC D．BD=CD
【解答】解：在△ABD与△ACD中，∵∠CAD=∠BAD，AD=AD， ∴根据ASA只要证明∠ADC=∠ADB即可， ∴可以添加∠BDE=∠CDE即可， 故选：B．
6．（3分）下列运算正确的是（ ） A．﹣3a2•2a3=﹣6a6 B．4a6÷（﹣2a3）=﹣2a2 C．（﹣a3）2=a6 D．（ab3）2=ab6
【解答】解：A、﹣3a2•2a3=﹣6a5，故A错误； B、4a6÷（﹣2a3）=﹣2a3，故B错误； C、（﹣a3）2=a6，故C正确； D、（ab3）2=a2b6，故B错误； 故选：C．
7．（3分）分式﹣A．﹣
B．
可变形为（ ） C．﹣=﹣
D． =
，
【解答】解：﹣故选：D．
8．（3分）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（ ） A．2+y2 B．2﹣y C．2++1 D．2﹣2+1
【解答】解；A、2+y2，无法因式分解，故A选项错误； B、2﹣y，无法因式分解，故B选项错误； C、2++1，无法因式分解，故C选项错误； D、2﹣2+1=（﹣1）2，故D选项正确． 故选：D．
9．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），由图中面积关系可以直接得到的公式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．a2+b2=（a+b）2﹣2ab C．（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab 【解答】解：阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2； 因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2． 故选：A．
10．（3分）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
【解答】解：根据题意得：a+b=∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70； 故选：B．
=7，ab=10，
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（﹣2a2）（a﹣3）= ﹣2a3+6a2 ． 【解答】解：（﹣2a2）（a﹣3）=﹣2a3+6a2． 故答案为：﹣2a3+6a2．
12．（4分）因式分解：ab2﹣a= a（b+1）（b﹣1） ． 【解答】解：ab2﹣a， =a（b2﹣1）， =a（b+1）（b﹣1）．
13．（4分）点P与Q（﹣2，3）关于轴对称，则线段PQ的长为 6 ． 【解答】解：点P与Q（﹣2，3）关于轴对称则P（﹣2，﹣3）， 则线段PQ的长为6， 故答案为：6．
14．（4分）若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数为 4 ． 【解答】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180=360， 解得n=4．
故这个多边形的边数为4． 故答案为：4．
15．（4分）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AD=AE=2，AC=AB=5， ∴CE=BD=AB﹣AD=3， 故答案为3．
16．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 110°或70° ．
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°； 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣20°=70°． 故答案为：110°或70°．
三、解答题（一）（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）化简，求值：（﹣1）﹣（+2）2，其中=﹣2． 【解答】解：（﹣1）﹣（+2）2 =2﹣﹣2﹣4﹣4 =﹣5﹣4，
当=﹣2时，原式=﹣5×（﹣2）﹣4=10﹣4=6．
18．（6分）（1）解方程：（2）解不等式组：
+．
=4．
【解答】解：（1）去分母得：﹣5=4（2﹣3），
解得：=1，
经检验=1是分式方程的解； （2）
∵由①得，＜2， 由②得，≥﹣1，
∴不等式组的解集是：﹣1≤＜2．
19．（6分）如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N在OB上，且PM=PN．求证：EM=FN．
，
【解答】证明：∵点P在∠AOB的平分线上，PE丄0A于E，PF丄OB于F， ∴PF=PE，
在Rt△PEM和Rt△PEN中
，
∴Rt△PEM≌Rt△PEN（HL）， ∴EM=FN．
三、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 20．（7分）先化简，再求值：（且a为整数． 【解答】解：原式==
•
﹣a﹣2）÷．其中a与2，3构成△ABC的三边，
•
=﹣a2+2a，
∵a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数， ∴a为2、3、4，
当a=2时，a﹣2=0，不行舍去； 当a=4时，a﹣4=0，不行，舍去； 当a=3时，原式=﹣3．
21．（7分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分线段AC． （1）求证：△BCE是等边三角形． （2）若BC=3，求DE的长．
【解答】证明：（1）在△ABC中，
∵∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣30°=60°， ∵DE垂直平分AC， ∴EC=EA，
∴∠ECA=∠A=30°， ∴∠BCE=60°，
∴△BCE是等边三角形； （2）由（1）得，EC=BC=3， Rt△ECD中，∵∠ECD=30°， ∴DE=EC=
22．（7分）某车间按计划要生产450个零件，由于改进了生产设备，该车间实际每天生产的零件数比原计划每天多生产20%，结果提前5天完成任务，求该车间原计划每天生产的零件个数？
【解答】解：设该车间原计划每天生产的零件为个， 由题意得，解得=15，
经检验，=15是原方程的解．
答：该车间原计划每天生产的零件为15个．
﹣
=5，
．
三、解答题（三）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 23．（9分）（1）填空： （a﹣b）（a+b）= a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）= a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= a4﹣b4
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）= an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算：39﹣38+37﹣…+33﹣32+3． 【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=an﹣bn； （3）原式=
故答案为：（1）a2﹣b2； a3﹣b3；a4﹣b4；（2）an﹣bn
24．（9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点E，F分别在BC，AC上，且AF=CE．
（1）填空：∠A的度数是 45° ． （2）探究DE与DF的关系，并给出证明．
=
=
．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠A=45°， 故答案为：45°； （2）DE=DF，DE⊥DF， 证明：连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点， ∴CD=AD=BD，CD⊥AD， ∴∠DCE=∠A=45°，
∵AF=CE，
∴△DCE≌△DAF（SAS）， ∴DE=DF，∠ADF=∠CDE， ∴∠ADF+∠FDC=∠CDE+∠FDC， ∵∠CDA=90°， ∴∠EDF=90°， ∴DE=DF，DE⊥DF．
25．（9分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形．若点P以1cm/s的速度从点B出发，同时点Q以1.5cm/s的速度从点C出发，都按逆时针方向沿△ABC的边运动，运动时间为6秒． （1）试求出运动到多少秒时，直线PQ与△ABC的某边平行；
（2）当运动到t1秒时，P、Q对应的点为P1、Q1，当运动到t2秒时（t1≠t2），P、Q对应的点为P2、Q2，试问：△P1CQ1与△P2CQ2能否全等？若能，求出t1、t2的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）①如图1中，PQ∥AB时，△PCQ是等边三角形， ∴CP=CQ， ∴6﹣t=1.5t， t=2.4（秒），
②如图2中，PQ∥AC时，△BPQ是等边三角形， ∴BQ=BP，∵AB=CB， ∴PC=AQ， ∴6﹣t=1.5t﹣6， ∴t=4.8（秒）．
综上所述，当t=2.4或4.8秒时，直线PQ与△ABC的某边平行．
（2）如图，若△P1CQ1与△P2CQ2全等，则CP1=CQ2，CQ1=CP2
则有：，
解得，不符合题意，
∴△P1CQ1与△P2CQ2不全等；
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