振型参与质量的简明推导

无阻尼多自由度体系在地震作用下的运行方程为：

[M]{𝑦 }+[K]{y}=−[M]{1}𝑦0

令{y}=[]{q}，则有 𝑦 = Φ {𝑞 }，代入式(1)有

[M] Φ {𝑞 }+[K] Φ {q}=−[M]{1}𝑦0

两边同时右乘[]T，有

Φ 𝑇[M] Φ {𝑞 }+ Φ 𝑇[K] Φ {q}=− Φ 𝑇[M]{1}𝑦0

[M]ϕ{𝑞 }+[K]ϕ{q}=− Φ 𝑇[M]{1}𝑦0

其中[M]与[K]均为对角阵。故式(3)可写作

𝑇𝑇

{𝜙}𝑇, s=1~N s[M]{𝜙}𝑠𝑞 s+{𝜙}s[K]{𝜙}s𝑞s=−{𝜙}s[M]{1}𝑦0

𝐾

{𝜙}𝑇[M]{1}

s

(1)

(2)

(3) (4)

(5) (6)

𝑞 s+𝑀s𝑞s=−{𝜙}𝑇s[M]{𝜙}𝑦0, s=1~N

s

𝑠

定义振型参与系数（modal participation factor，刺激係数）

{𝜙}𝑇s[M]{1}

𝛽s=− {𝜙}𝑇s[M]{𝜙}𝑠

相应地，s{}s称为振型参数向量（刺激係数），与振型归一化方法无关。

另有展开定理如下。设{𝑥}= s𝛼s{𝜙}s，两边同时右乘{𝜙}Ts[M]，根据振型正交性有，

𝑇

{𝜙}𝑇s[M]{𝑥}=𝛼s{𝜙}s[M]{𝜙}s

(7)

(8) (9)

{𝜙}𝑇s[M]{𝑥}

𝛼s=−

{𝜙}𝑇[M]{𝜙}s𝑠

对比式(7)和式(9)可知，

{1}= 𝛽s{𝜙}s

s

(10)

结构总质量

𝑚i= 1 T M 1 = 𝛽s 𝜙 𝑇𝑠 M 𝛽s 𝜙 s

i

s

s

(11)

2 𝑇 2

= 𝛽s𝜙𝑠M𝜙s= 𝛽s𝑀s

s

s

2

可见，以振型参与向量s{}s为振型向量得到的振型质量𝛽s𝑀s与振型归一化方法无产，且其和等于结构总质量，可作为振型参与质量。