考点03 等腰直角三角形构造三垂直模型2021学年八年级数学上册期末考点全等三角形辅助线解题方法

考点3：等腰直角三角形构造三垂直模型

1．△ABC=45°，AD与BE为△ABC（2020·江苏赣榆实验中学月考）如图，已知△ABC中，的高，交点为F，CD=4，则线DF=___________．

2．（2020·四川期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B． C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、 E，若BD=4，CE=2，则DE=___．

3．（2020·铜陵市第二中学月考）如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，已知BE⊥a于点E，DFa于点F．若BE3，DF8，则线段EF的长为______．

4．（2020·万杰朝阳学校初二月考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________．

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5．（2020·江苏期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则BCD 的面积为_____cm2．

二、解答题

6．（2020·虎林市实验中学期中）在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．

7．（2020·奈曼旗新镇中学月考）如图所示，在ABC和DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE． （1）求证：BC=BD；

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（2）若BD=10厘米，求AC的长．

8．AB＝CA，（2019·内蒙古期中）已知：在ABC中，∠BAC=90°，直线m经过点A，BD⊥直线m于点D，CE⊥直线m于点E．求证：△BDA△AEC；

9．（2020·临沂商城实验学校初二月考）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．

（1）求证：MN＝AM＋BN；

（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．

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10．（2020·辽宁初一期末）在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由； （2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由．

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参考答案

1．4

解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠ADB=∠BEA=90°，

∴∠CAD+∠AFE=90°，∠BFD+∠DBF=90°， ∵∠AFE=∠DFB， ∴∠CAD=∠FBD，

∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，

∴DE=AD+AE=2+4=6；

∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD，

在△BDF和△ADC中

故答案为：6． 3．11

解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∵BE⊥a，DFa， ∴∠DFA=∠AEB=90°， ∴∠FAD+∠ADF=90°， 又∵∠FAD+∠BAE=90°， ∴∠ADF=∠BAE， ∴△AEB≌△DFA， ∵BE3，DF8， ∴BE=AF=3，DF=AE=8， ∴EF=AF+AE=3+8=11；

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∴∠DBA=∠CAE， ∵CE⊥DE， ∴∠AEC=90°， 在△BDA和△AEC中，

ABDCAEBDAAEC， ABAC∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴AD=CE=2，AE=BD=4，

FBDDAC， BDADBDFADC∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴DF=DC=4， 故答案为：4． 2．6

解：∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵BD⊥DE， ∴∠BDA=90°， ∴∠BAD+∠DBA=90°，

故答案为11． 4．5

解：如图，过点D作DEOB于点E； DEODOMC，

DOECOMCOMCMO， DOEOMC；

DOEOMC(AAS)，

DEOC1，CMOE；

ABC为等腰直角三角形，

B45，BDE45，

BEDE1，OE7115，

CMOE5，

由题意得：ODOM； 在DOE与OMC中，

故答案为5．

DOEOMCDEOOCM， ODOM5．8．

解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，

∵∠ABC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠HCD+∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠HCD， 在△ABC和△CHD中，

BACHCDABCCHD ， ACCD∴ABC≌CHD（AAS）， ∴DH＝BC＝4， ∴BCD的面积＝

11BCDH448（cm2）， 22答案第2页，总2页

故答案为：8． 6．【详解】

（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB，

∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， ∵AC=BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）解：DE＝BE﹣AD，理由如下： ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， ∵AC=BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝BE﹣AD．

7．解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°， ∴∠ABC+∠DEB=90°，

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ADCCEBDACECB， ACCB∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE+CD＝AD+BE；

（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°，

∵∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠A=90°， ∴∠A=∠DEB， 在△ABC和△EDB中，

ACB＝DBC， A＝DEBAB＝DE∴△ABC≌△EDB（AAS）， ∴BD=BC；

（2）∵△ABC≌△EDB， ∴AC=BE，

∵E是BC的中点，BD=10厘米， ∴BE=

11BC＝BD＝5厘米． 228．【详解】

BDm,CEm，

ADBCEA90，

ACECAE90， BAC90，

BADCAE180BAC90， BADACE，

ADBCEA在BDA和AEC中，BADACE，

ABCABDAAEC(AAS)．

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9．解：(1)∵AM⊥MN于点M，BN⊥MN 于点N，

∴∠AMC=∠CNB=90°， ∴∠MAC+∠ACM=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACM+∠NCB=90°， ∴∠MAC=∠NCB， 在△ACM和△CBN中，

AMCCNBMACNCB\\ ACBC∴ACM≌△CBN， ∴AM=CN，CM=BN， ∴MN=MC+CN=AM+BN． (2)题(1)中的结论不成立，

同题(1)证明可知：ACM≌△CBN，∴AM=CN，CM=BN， ∴MN=CN-CM=AM-BN，

10． 【详解】 （1）全等，

理由：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠DAC+∠DCA＝∠BCE+∠DCA， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△DAC与△ECB中，

DAC∵BCEADCCEB90， ACBC∴△DAC≌△ECB（AAS）； （2）全等，

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理由：

∵∠ACB＝90°，AD⊥MN， ∴∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCE， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ACD与△CBE中，

DACECB∵ADCCEB， ACBC∴△ACD≌△CBE（AAS）．

答案第6页，总3页