雷州市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）A．4

B．2

C．

）

，﹣3，﹣2

）

D．2

2． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（

A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（

3． 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣

），∠AOC=α，若|BC|=1，则

cos2

﹣sin

cos

﹣

的值为（

）

A．B．C．﹣D．﹣

）

4． 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（

A．123 B．163 C．203 D．3235． 已知函数f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（

）

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A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）　

6． 由直线

C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

AB1CD

7． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（

）

A．

2B．C．D．

8． 已知曲线C:y4x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于P,Q两点，且FP2FQ0，则OPQ的面积等于（

）

A．22 B．32 C．9． 设集合

3232 D．24,,则( )

ABCD

10．设x，y∈R，且满足A．1率是（

）

B．2

C．3

，则x+y=（

D．4

）

11．如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心

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A．B．C．D．

）条件

C．充要

D．既不充分也不必要

12．“pq为真”是“p为假”的（ A．充分不必要

B．必要不充分

二、填空题

13．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为　　　　　　． ①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则

的最大值为

；

④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．

⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则

•

=5，则△ABC的形状是直角三角形．

的直线与抛物线C相

14．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为

=　　　　　　．．

15．若函数f(x)的定义域为1,2，则函数f(32x)的定义域是 16．已知ab1，若logablogba10，abba，则ab= ▲ ．317．(x)的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.

1x8三、解答题

18．（本小题满分12分）已知点Aa,0,B0,ba4,b4,直线AB与圆

M:x2y24x4y30相交于C,D两点, 且CD2,求.

（1）a4Ab4的值；（2）线段AB中点P的轨迹方程；（3）ADP的面积的最小值.

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19．（本小题满分12分）已知函数f(x)13sinxcosxcos2x.

2（1）求函数yf(x)在[0,]上的最大值和最小值；2（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足c2，a3，f(B)0，求sinA的值.1111]

20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)xa(aR).

（1）当a1时，解不等式f(x)2x11；

（2）当x(2,1)时，x12xa1f(x)，求的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)（1）求数列an的通项公式；

12x1，数列an满足：a12，an1f（nN）.xan1（2）设数列an的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn.

Sn第 4 页，共 18 页

【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.

22．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，...。

，其中

，集合

..。

（1）当（2）设、

，

，

，..。，则

.

，，

，，...，

时，用列举法表示集合；

、

，

，

，...，.证明：若

23．（本小题满分12分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4xsin C＋6≥0对一切实数x恒成立.

（1）求cos C的取值范围；

（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.

【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.

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24．如图，已知椭圆C： +y2=1，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且线

段AB的中点E在直线y=x上（Ⅰ）求直线AB的方程

（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM•ON为定值．

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雷州市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x，则故选：A．

【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．　

2． 【答案】C

【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是故选：C．

【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．　

3． 【答案】 A

【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（又∠AOC=α，∴∠AOB=∴sin（

﹣α）=

﹣（

=﹣（=﹣sin﹣

cos

﹣=

﹣α）]=sin

．=

（2cos2，

﹣1）﹣sinα=

cosα﹣sinα

．﹣α）]=cos

，cos（

﹣α）﹣cos

sin（

﹣α）

cos（

﹣α）+sin

sin（

﹣α）

﹣α，∴cos（

，﹣﹣α）=

），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，﹣sin（

﹣α）=﹣

，

，

，．

，解得x=4．

∴正方体的棱长为4，

，

∴cosα=cos[=

+

∴sinα=sin[=∴=

故选：A．

﹣cos2

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【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．　

4． 【答案】C【解析】

考点：三视图．5． 【答案】 B

【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，∴mx＜2lnx，即＜令h（x）=

在[1，e]上有解，

，

，则h′（x）=

∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，∴h（x）max=h（e）=，∴＜h（e）=，∴m＜．

∴m的取值范围是（﹣∞，）．故选：B．

【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．　

6． 【答案】D

【解析】由定积分知识可得7． 【答案】A

【解析】解：由已知中几何体的直观图，

我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；

，故选D。

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而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确．故选：A．

【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．　

8． 【答案】C【解析】

∴(x11,y1)2(x21,y2)(0,0)，∴y12y20③，联立①②③可得m∴y1y2∴S21，8(y1y2)24y1y232．

132OFy1y2．22y1y24y122y122（由，得或）

y2y012y22y22考点：抛物线的性质．9． 【答案】C

【解析】送分题,直接考察补集的概念,10．【答案】D

【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，

,故选C。

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∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，设f（t）=t3+2t+sint，

则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．

由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，故选：D．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．　

11．【答案】A

【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：∵a2=b2+c2，∴c=

，

=

，

∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．

【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．　

12．【答案】B【解析】

试题分析：因为p假真时，pq真，此时p为真，所以，“pq 真”不能得“p为假”，而“p为假”时p为真，必有“pq 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.

二、填空题

13．【答案】 ：①②③

【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；

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对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则斜率，其最大值为

，③正确；

=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的

对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜

，即A+B＞

﹣A），

，B＞

﹣A，

则cosB＜cos（

即cosB＜sinA，故④不正确．

对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，

取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵由则即则又BC=5则有

由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．

则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．故答案为：①②③14．【答案】　　．

【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为

的直线与抛物线C相交于A，B两点，

直线AO与l相交于D，∴直线AB的方程为y=联立

（x﹣），l的方程为x=﹣，，解得A（﹣

，

P），B（，﹣

）

，

=

|，

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∴直线OA的方程为：y=，

联立，解得D（﹣，﹣）

∴|BD|==，

∵|OF|=，∴ ==．

故答案为：．

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．　

15．【答案】,2

2【解析】

试题分析：依题意得132x2,x,2.

2考点：抽象函数定义域．16．【答案】43【解析】

101101（舍）试题分析：因为ab1，所以logba1，又logablogba3logalogba3logba3或3，

b1



1因此ab3，因为abba，所以b3bbb3bb3,b1b3,a33，ab43考点：指对数式运算17．【答案】70r8r【解析】(x)8的展开式通项为Tr1C8x()r(1)rC8rx82r，所以当r4时，常数项为

31x1x第 12 页，共 18 页

(1)4C8470.

三、解答题

18．【答案】（1）a4b48；（2）x2y22x2,y2；（3）426．【解析】

试题分析：（1）利用CD2，得圆心到直线的距离d2，从而2b2aabab222，再进行化简，即可求

ax2解a4A代入①，化简即可求得线段AB中点P的轨b4的值；（2）设点P的坐标为x,y，则by21b1迹方程；（3）将面积表示为SADPaA4a4b8ab2a4b46，再利用基本

224不等式，即可求得ADP的面积的最小值.

1b1aA4a4b8ab2a4b462a4b46426,224当ab422时, 面积最小, 最小值为426.

（3）SADP考点：直线与圆的综合问题.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为SADPa4b46，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题.

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19．【答案】（1）最大值为，最小值为【解析】

3213；（2）.142试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简f(x)sin(2x再利用f(x)Asin(x)b(0,||6)1)的性质可求在[0,]上的最值；（2）利用f(B)0,可得B,

22再由余弦定理可得AC,再据正弦定理可得sinA.1

试题解析：

（2）因为f(B)0，即sin(2B611)，∴2B，∴B∵B(0,)，∴2B(,666623又在ABC中，由余弦定理得，

1b2c2a22cacos492237，所以AC7.

32321ba73由正弦定理得：，即，所以sinA.

14sinBsinAsinAsin3考点：1.辅助角公式；2.f(x)Asin(x)b(0,||)12)性质；3.正余弦定理.

【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.

20．【答案】（1）xx1或x1；（2）(,2].

第 14 页，共 18 页

【解析】

试

题解析：（1）因为f(x)2x11，所以x12x11，即x12x11，

当x1时，x12x11，∴x1，∴x1，从而x1；

1x1时，1x2x11，∴3x3，∴x1，从而不等式无解；21当x时，1x2x11，∴x1，从而x1；

2综上，不等式的解集为xx1或x1.

当

（2）由x12xa1f(x)，得x1xa2xa1，因为x1xaxax12xa1，

所以当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1；当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1记不等式(x1)(xa)0的解集为A，则(2,1)A，故a2，所以的取值范围是(,2].

考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.21．【答案】

【解析】（1）∵f(x)2x1112，∴an1f()2an. xxan（5分）

即an1an2，所以数列{an}是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴ana1(n1)d22(n1)2n. （2）∵数列{an}是等差数列，

(a1an)n(22n)nn(n1)，221111∴. （8分）Snn(n1)nn11111∴TnS1S2S3Sn∴Sn第 15 页，共 18 页

11111111()()()()122334nn11n. （12分）1n1n122．【答案】

【解析】23．【答案】【

解

析

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】

24．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），∵点A在椭圆C上，∴

整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则

，

，

直线AP方程为：y+=（x+），

第 17 页，共 18 页

联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=直线BP的方程为：y+1=

，

，

，

联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=∴OM•ON==2•|

|xM|

|xN||•|

|

=||

=||

=|=．

|

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　

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