数学专题——整式的加减
课程解读
一、学习目标：
1. 了解整式、单项式、多项式的有关概念；
2. 知道什么是同类项，怎样合并同类项；
3. 熟练掌握整式加减的运算法则，能够进行整式的化简求值。
二、重点、难点：
重点：合并同类项和整式的加减运算
难点：单项式和多项式次数的区别，去括号法则。
三、考点分析：
从近几年全国各地的中考试卷来看，考查整式加减运算这部分内容的试题分值大约在6~8分之间，主要考查同类项的概念以及化简求值，多以选择题和计算题的形式出现，对这部分内容的考查在大多数中考试卷中出现的题目难度不大，属低档题，只要细心运算，很容易得分。
典型例题
知识点一：单项式、多项式、同类项的有关概念
例1. 填空题：
（1）若manb是关于a、b的一个五次单项式，且系数为9，则－m＋n＝__________；
（2）多项式2y4－y3＋3y2－y＋1是__________次__________项式，常数项是__________，三次项是__________。
思路分析：
1）题意分析：这两道小题考查的是单项式和多项式的概念；
2）解题思路：（1）关于a、b的五次单项式的系数为9，说明m＝9，n＋1＝5，即n＝4．所以－m＋n＝－9＋4＝－5．（2）这是一个四次五项式，常数项是1，三次项是－
y3；
答案：（1）－5；（2）四 五 1 －y3。
解题后的思考：正确解答本题的关键是要弄清楚单项式的次数、多项式的次数等有关概念，多项式的每一项都要包括它前面的符号。
例2. 选择题：
（1）下列运算正确的是（ ）
A. m5＋m5＝2m5 B. m5－m5＝m
C. a2＋a3＝2a6 D. x2＋x3＝x5
（2）如果3x2n－1ym与－5xmy3是同类项，则m和n的取值是（ ）
A. 3和－2 B. －3和2 C. 3和2 D. －3和－2
思路分析：
1）题意分析：本题考查同类项的概念和合并同类项；
2）解题思路：（1）合并同类项时，应为系数相加减，而字母及字母的指数则保持不变，故B不对，而C、D中的a2与a3、x2与x3不是同类项，不能合并．（2）根据同类项的概念可知，2n－1＝m，m＝3，进而可求m、n的值；
答案：（1）A；（2）C。
解题后的思考：对同类项概念的理解要注意两个相同，一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同。
小结：解答与整式概念有关的题目时应注意三点：一、对于单项式的系数，应先把单项式写成数字因数与字母因数的积的形式，再确定符号；二、多项式的项应包括它前面的符号，多项式的次数是指多项式中次数最高项的次数，而不是所有项的次数之和；三、判断两项是否为同类项时，不仅要看这两项所含字母是否相同，还要看相同字母的指数是否相同，与所含字母的顺序无关。
知识点二：整式加减及化简求值问题
例3. 下列运算正确的是（ ）
A. －3（x－1）＝－3x－1 B. －3（x－1）＝－3x＋1
C. －3（x－1）＝－3x－3 D. －3（x－1）＝－3x＋3
思路分析：
1）题意分析：本题考查去括号法则的运用；
2）解题思路：选项D中－3（x－1）＝－3x＋3的运算是正确的，故选D。
答案：D
解题后的思考：括号前如果有负因数，去掉括号后，括号内的各项都要乘这个负因数。
思路分析：
1）题意分析：先去括号化简，再对a取任一使原式有意义的值代入求值；
2）解题思路：因为式子中有多重括号，化简时通常选择先去小括号，再去中括号，最后去大括号的顺序运算；
当a＝0时，原式＝0－0－4＝－4。
解题后的思考：若括号前是“－”号，在去括号时，括号里的各项都应变号。
例5. 先化简，再求值．3－2xy＋3yx2＋6xy－4x2y，其中x＝－1，y＝－2。
思路分析：
1）题意分析：先对3－2xy＋3yx2＋6xy－4x2y合并同类项，然后化简，最后再代入求值；
2）解题思路：这类求值问题比较简单，化简后直接代入求值即可；
解答过程：3－2xy＋3yx2＋6xy－4x2y
＝3＋4xy－x2y
当x＝－1，y＝－2时，
原式＝3＋4×（－1）×（－2）－（－1）2×（－2）＝13。
解题后的思考：同类项所含的字母要相同，相同字母的次数要相同，但与字母的排列顺序无关。
小结：解答整式加减运算类题目时应注意两点：一、整式加减运算实际上就是合并同类项，应将系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数则保持不变；二、去括号时，如果括号前是“－”号，那么括号里的各项就都要变号，如果括号前有数字因数，那么应把该数字因数先与括号里的各项相乘，然后再去括号。
知识点三：数学思想方法
1. 逆向思维：若两个单项式是同类项，那么合并同类项后的结果还是单项式；反过来，若两个单项式的和是单项式，那么这两个单项式是同类项，可以根据同类项的意义来解题。
例6. 已知单项式ambm＋2与5a3bn的和是一个单项式，求nm的值。
思路分析：
1）题意分析：本题考查合并同类项的逆运用；
2）解题思路：由于单项式ambm＋2与5a3bn的和是一个单项式，从而说明ambm＋2与
5a3bn是同类项；
解答过程：由题意可知：m＝3，m＋2＝n，
所以n＝5。
当m＝3，n＝5时，nm＝53＝125。
解题后的思考：要求nm的值，必须要根据已知条件先求出m、n的值，本题中能判断出ambm＋2与5a3bn是同类项是解题的关键。
2. 整体思想：不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式子，再代入求值．
解题后的思考：本题应用“整体代入法”，把“整体”当成一个新的字母，再求关于这
个新字母的代数式的值．本题中是把3y2－2y当成一个整体。
例8. 已知m2－mn＝7，mn－n2＝－2，求m2－n2及m2－2mn＋n2的值。
思路分析：
1）题意分析：要求的式子m2－n2和m2－2mn＋n2中均含有两个字母m和n；
2）解题思路：对所求代数式进行变形，找出变形后的式子和已知式子的联系便可求解；
解答过程：当m2－mn＝7，mn－n2＝－2时，
m2－n2＝（m2－mn）＋（mn－n2）＝7＋（－2）＝5； m2－2mn＋n2＝（m2－mn）－（mn－n2）＝7－（－2）＝9。
解题后的思考：本题还可以从另外一个角度考虑，应用方程思想，把m2－mn＝7，
mn－n2＝－2中的m2和n2看成未知数，其他的看成已知数，从而解得m2＝7＋mn，n2
＝mn＋2，再将其代入所求代数式求值即可。
小结：在整式的化简求值问题中，有些题目采用整体代入的解题策略，可使计算简便；有些题目则需要采用逆向思维的方法才能解决问题。
预习导学
寒假专题——一元一次方程
一、预习新知
1. 等式的性质和一元一次方程的解法；
2. 一元一次方程应用题。
二、预习点拨
探究与反思
探究任务一：一元一次方程
【反思】（1）等式有哪些性质？
（2）怎样解一元一次方程？
探究任务二：实际问题与一元一次方程
【反思】（1）一元一次方程应用题的常见类型有哪些？
（2）解一元一次方程应用题的一般步骤是什么？
同步练习
（答题时间：60分钟）
一、选择题．
1. x3表示（ ）
A. 3x B. x＋x＋x
C. x·x·x D. x＋3
A. 有4个单项式，2个多项式
B. 有5个单项式，3个多项式
C. 有7个整式 D. 有3个单项式，2个多项式
3. 如果2－（m＋1）a＋an－3是关于a的二次三项式，那么m、n应满足的条件是（ ）
A. m＝1，n＝5 B. m≠1，n＞3
C. m≠－1，n为大于3的整数 D. m≠－1，n＝5
4. 已知一个多项式与3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，则这个多项式是（ ）
A. －5x－1 B. 5x＋1
C. －13x－1 D. 13x＋1
三、解答题．
15. 计算：
（1）2a－（5a－3b）＋（7a－b）；
（2）（2xy－3y＋5x）－（4y＋6x－3xy）；
（3）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）；
（4）2（a2－2a－3）－（－2a＋3a2）＋3（1－a）。
试题答案
一、选择题：
1. C
3. D 解析：由题意得n－3＝2且m＋1≠0，解得n＝5且m≠－1。
4. A 解析：这个多项式是（3x2＋4x－1）－（3x2＋9x）＝－5x－1。
5. B
6. B 解析：因为a－b的相反数是2b－a，所以（a－b）＋（2b－a）＝0，即b＝0。
7. D 解析：5－a＋3b＝5－（a－3b）＝5－（－3）＝8。
8. D 解析：由已知条件得（－3）5a＋（－3）3b＋（－3）c－5＝7，通过变形得35a＋33b＋3c＝－12．当x＝3时，原式＝35a＋33b＋3c－5，再把变形后的式子的值整体代入即可。
二、填空题：
9. a
10. 答案不唯一，例如x2y3．
11. 6
12. 5x2－13x－7
13. －2 解析：2a＋ab－5＝（2＋b）a－5．因为式子的值与a无关，故2＋b＝0，所以b＝－2。
14. 0 解析：由同类项的定义可知m＋1＝4，n＋2＝3，解得m＝3，n＝1，故3xm＋1y3－mx4yn＋2＝3x4y3－3x4y3＝0。
三、解答题：
15. 解：（1）原式＝2a－5a＋3b＋7a－b＝4a＋2b；
（2）原式＝2xy－3y＋5x－4y－6x＋3xy＝5xy－7y－x；
（3）原式＝8xy－3x2－5xy－6xy＋4x2＝－3xy＋x2；
（4）原式＝2a2－4a－6＋2a－3a2＋3－3a＝－a2－5a－3。
17. 解：由题意得－（a－1）＝0，－（b＋3）＝0，即：a－1＝0，b＋3＝0，所以
a＝1，b＝－3。
18. 解：因为2a2－3ab＝23，所以8a2－12ab＝92，所以12ab＝8a2－92．因为4ab＋b2＝9，所以12ab＋3b2＝27，所以12ab＝27－3b2．由此得8a2－92＝27－3b2，即8a2＋3b2＝119．或由2a2－3ab＝23，4ab＋b2＝9得2a2＝23＋3ab，b2＝9－4ab，代入8a2＋3b2得，8a2＋3b2＝4（23＋3ab）＋3（9－4ab）＝119。
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