第一讲找规律
给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 开篇小练习：
1、有一列数，观察规律，并填写后面的数，－5，－2，1，4，_______，________，________。 2、有一组数为：1,,,,,,__________ 3、小凡在计算时发现，11×11=121，111×111=12321，1111××吗?答案是___________________________。 4、四个同学研究一列数：1，－3，5，－7，9，－11，13，……照此规律，他们得出第n个数分别如下，你认为正确的是（） n1(1)(2n1) A.2n－1B.1－2nC.(1)(2n1)D.n12113411561…找规律得到第11个数是_________,第n个数是75、如图，是用积木摆放一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有 块积木，第n个图形中共有 块积木． 6、观察数列1，1，2，3，5，8，x，21，y，……，则2x-y=____________ 1234567822,24,28,216,232,264,2128,2256,…，请你根据上7、观察下列各式：述规律，猜想8的末位数字是_________. 328、观察下列各式：11 10333312310________
……猜想：
典型例题：
一、数字排列规律题
1、下面数列后两位应该填上什么数字呢？23581217____ 2、请填出下面横线上的数字。 112358____21
3、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第100
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个数是什么？
4、有一串数字36101521___第6个是什么数？
5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（）. A．1
B．2
C．3
D．4
6、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为_________个． 7、一组按规律排列的数：，，
143921713，，，……请你推断第9个数是． 1625368、已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62； ④13＋23＋33＋43＝102；…………由此规律知，第⑤个等式是． 9、观察下列各式；①、12+1=1×2；②、22+2=2×3；③、32+3=3×4；………请把你猜想到的规律用自然数n表示出来。 10、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4；②、1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子 11、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 12、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。 第1行1 第2行－2 3 第3行－4 5 －6 第4行7 －8 9 －10 第5行11－12 13 －14 15
13、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于． 14、观察下列各算式：
1+3=4=2的平方，1+3+5=9=3的平方，1+3+5+7=16=4的平方… 按此规律
（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值？
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（2）推广：1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少？ 二、几何图形变化规律题
1、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●………… 从第1个球起到第2005个球止，共有实心球个．
2、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含n的代数式表示）。
3、（2005年宁夏回族自治区）“◆”代表甲种植物，“★”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植.按此规律第六个图案中应种植乙种植物_________株. ★★★★ ★★★◆◆◆ ★★◆◆★★★★ ◆★★★◆◆◆ ★★◆◆★★★★ 图1★★★◆◆◆ 图2★★★★（第四题） 4、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）． （1）当n=5时，共向外作出了个小等边三角形 （2）当n=k时，共向外作出了个小等边三角形（用含k的式子表示）． 5、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子枚（用含有n的代数式表示） ……… 6、观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形。
7、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．
…n=3 n=4 n=5
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．
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8、观察数表，根据其中的规律，在数表中的内填入适当的数。
1 1-1 1-21 1-331 1-46-41 1-5-105-1 1-6-2015-61 三、根据已知等式探究规律 1、已知下列等式： ①13＝12； ②13＋23＝32； ③13＋23＋33＝62； ④13＋23＋33＋43＝102； 由此规律知，第⑤个等式是． 2、观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____ 3、已知下列等式： ①13=12②13+23=32 ③1+23+33=62④13+23+33+43=102…… 由此规律可知，第⑤个等式是
4、观察下列等式：21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；26=64；27=128；…… 用你发现的规律确定22007的个位数学数字是
分析：观察计算结果的末位数字，依次按2，4，8，6循环出现。而2007÷4=501……3，故22007的个位数字与23的个位数字相同，所以2的个位数字是8 19.研究下列等式，你会发现什么规律？ 1×3+1=4=22
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2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 …
设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来. 5、探索规律
可写成
可写成
,
,可写成
可写成
（1）把这个规律用含有n的式子写出来； （2）计算952． 6、
四、与数阵有关的问题 1、（下图所示是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出c4个数则： d（1）、a、c的关系是：__________________； （2）、当a＋b＋c＋d＝32时，a＝__________． 日一二三四五六 123456 78910111213 ab2、上面给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（） A．69 B．54 C．27 D．40 14151617181920 21222324252627 28293031 3、将连续的自然数1至36按下图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a，用含有a的代数式表示这9个数的和为。
4、上图的数阵是由全体奇数排成
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；（3）这九个数之和能等于2006吗？，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。 五、与视图、展开图有关的问题
1、如图是几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，
图中有规精心整理
2 1 1 2 精心整理
则这个几何体的主视图为（）
2、下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何体中，小正方体的个数是（） A、7B、6C、5D、4 B A
C D
3、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如上图，是一个正方体的平面展开图，若图中“锦”为前面，“似”为下面，“前”为后面，则“祝”表示正方体的面．
4、下图可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是 （A）、7（B）、8（C）、9（D）、10 1 6 2 4 15 5、如图，P的半圆后得到图形P2，1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为23 然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,L,Pn,L，记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2；S3；并猜想得到SnSn1n2。 精心整理
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