微专题26 解析几何中的最值与范围问题
1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题． 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题．
3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题．
4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用．
题组一 考题导航
利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆的相关范围问题 1. 方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是________. y
2. 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.则的最大值为________；y－x的最小
x值为________；x2＋y2的最小值为________．
1. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
题组二 构造函数模型解决点点(点线)距离的最值问题 x2y2 1. 已知A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，F是椭圆的右焦点，点P在
3620椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF.设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于MB，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为________．
x22
1. 已知双曲线为C：－y＝1，P为双曲线C上的任意一点．设点A的坐标为(3，0)，
4则PA的最小值为________．
题组三
根据条件构造不等关系求离心率的范围问题
1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________．
xy2
1. 椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上的任意一点，
ab
2
→→且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2 ，3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是_______． 题组四 构造函数模型解决与线段的定比分点及面积相关的范围或最值问题 x2y2 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别
ab→
为F1、F2，P为椭圆C上的一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆C于另一点Q，设PF112→
＝λF1Q.若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈，，求实数λ的取值范围．
22
x22
1. 如图，已知动直线l：y＝kx＋m与椭圆＋y＝1交于A，B两点．
4(1) 若动直线l：y＝kx＋m又与圆x2＋(y－2)2＝1相切，求实数m的取值范围； →→
(2) 若动直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，且满足PB＝2AP，O为坐标原点．求△AOB面积的最大值，并指出此时k的值．
冲刺强化训练(26)
x2y2
1. 已知双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．
4k
→→
2. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点M满足MF1·MF2＝0，则椭圆离心率的取值范围是________.
x→→
3. 如图，M为椭圆＋y2＝1上任意一点，P为线段OM的中点，则PF1·PF2的最小值
3为________．
x2
4. 设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大
10
2
2
2
距离是________．
x2y2
5. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P
ab是椭圆上的一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是________.
6. 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：4x－3y－2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4，0)为圆心，r为半径的圆C有公共点，则r的最小值是________．
x2y2
7. 双曲线2－2＝1 (a＞0，b＞0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上的一点，且
abPF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．
x2y2→→
8. 若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP
43的最大值为________．
9. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－33)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1→→
上存在一点Q，满足OP＝3OQ，则实数k的最小值为________.
x2y2
10. 椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个
ab不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
x2y22
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，长轴ab2长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.
1AP
(1) 若直线l的斜率为，求的值；
2AQ→→
(2) 若PQ＝λAP，求实数λ的取值范围．
x2y23
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，
ab2A1、A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点
为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q.
(1) 求直线OP的方程；
PQ(2) 求的值；
QA1
(3) 设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E于B，C两点，分别交圆A2于M，N两点，记△OBC和△OMN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值．
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