(六)不定方程

一个方程含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程。如果不限定解的性质，不定方程一般具有无穷多组解。

不定方程中，最基本的是二元一次不定方程，例如 6x4y  36。 解二元一次不定方程一般分为3个步骤： (1) 把方程中的系数约化成最简比； (2) 找出方程的一组特解； (3) 通过一组特解找出方程所有的解。 含有更多未知数的方程，我们一般先把它转化成二元一次不定方程，然后再求解。

例如我们来解： 6x4y  36 先化简系数，得到：

3x2y  18

可以用x来表示出y：

y183x2

经过试验，找到它的一组整数解是不难的，如： x4，y3

这组解也可以用其他的方法得到（例如余数分析法）。 通过这个方法，我们可以得到所有满足条件的解： x0，y9 x2，y6 x4，y3 x6，y0

我们注意：在原来的方程中，在原来解的基础上，我们把x增加2，y减小3，就可以使等式重新成立。这样就可以找到另一组解了：

x6，y0

类似地，当x减小2时，y要加上3才行，这也是方程的另一组整数解： x2，y6

这样我们可以用下面的式子来表示所有满足这个方程的整数解：

x42k，y33k，其中k可以是任何整数。 类似地，我们可以写出方程3x2y18的所有解： x62k，y9±3k（k为任何数）

例1 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？ [分析与解答]

设1分、2分、5分的硬币各为x, y, z 个 则可以列得不定方程x2y5z100 z的取值范围为0～20之间的整数。

当z取20，18，16，…，0时，对应y有1，6，11，…，51种取值，故分别有1，6，11，…，51个解；

当z取19，17，15，…，1时，对应y有3，8，13，…，48种取值，故分别有3，8，13，…，48个解。

由（1611…51）（3813…48）541知，共有541种凑法。 [评注]

此题与上题类似，也是先确定某个未知数的一组值，然后根据每个值的情况来求解其他未知数的值的数目。

要记住：三元一次方程，如果确定了两个未知数的值，那么第三个的值也确定。

例2 现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？ [分析]

设需要载重量7吨、5吨的卡车分别为x、y台，则： 7x5y73

只需求出这个不定方程的自然数解，然后算出运费最省的方案。 [解答]

设需要载重量7吨、5吨的卡车分别为x、y台，则 7x5y73：

32x5

是整数，用试验方法可以得出在1至9的自然数中，x只能是4，9．

计算运费：

所以用9辆7吨卡车、2辆5吨卡车运费最省． [评注]

此题也是两个未知数的不定方程，需要检验的情况较多，需要逐个验证。不过要注意，最后题目要求并不是列出所有解，而是求总运费最省的解的方案。

例3 一辆匀速行驶的骑车，起初看路标上的数字是一个两位数xy，过了一个

小时路标上的数字变为yx，又行驶了一个小时后路标上的数字是三位数x0y，求每次看到的数字和汽车速度。 [分析]

由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程，又因为x、y代表某一位数字，它们只能取1至9这几个自然数（首位不能是0），这样可以求出这个方程的解．

10yx（10xy）100xy（10yx） 10yx10xy100xy10yx 9y9x99x9y 18y108x y6x

因为x、y都只能取1，2，…，9，所以x1，y6．汽车的速度为 611645（公里/小时）

因此第一次看到的数字是16，第二次看到的数字是61，第三次看到的数字是106，汽车的速度是45公里/小时． [评注]

此题涉及到一定的物理知识，匀速运动每段单位时间内行驶的路程一样。清楚这个条件之后，列方程求解也比较简单了。

例4 中国民间问题：如果一只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅．某人用20只兔可换得鸡鸭鹅共30只，问其中鸡鸭鹅各多少只？ [分析]

设鸡、鸭、鹅分别为x、y、z只．那么有：xyz30，其中x只鸡可换得

去解． [解答]

设鸡鸭鹅分别为x、y、z只，得：

②式去分母，同乘237，得 21x28y30z840 ③ ①30③得 9x2y60

所以其中鸡鸭鹅分别为2，21，7或4，12，14或6，3，21只．

[评注]此题也是三个未知数的不定方程，需要检验的情况较多，过程也比较长，需要有足够的耐心。

例5 有三种书，每本价格分别为3角、4角和5角，现有2元钱。问这三种书各买多少本，恰好把钱用完？ [分析]

设这三种书分别为x、y、z本．由题意列出方程为3x4y5z20，先确定系数最大的未知数的取值范围，然后将这个未知数的每一个值代入原方程，把原方程化成二元一次不定方程，再求其自然数解． [解答]

设这三种书分别为x、y、z本，则： 3x4y5z20 ①

当z1时代入①得 3x4y15

当z2时代入①得 3x4y10

所以这个不定方程有两组解：

答：这三种书分别买1本、3本、1本或2本、1本、2本，恰好把钱用完． [评注]

此题也是三个未知数的不定方程，不过它只有一个方程的约束条件。这就需要先限定一个未知数的一组值，然后对每一个值列出一个新的二元不定方程。进而求解。过程一般来说也比较麻烦，一定不要遗漏情况。

例6 求不定方程3x+2y  x·y的自然数解．

[分析]：先将原方程变形，注意用一个未知数表示另一个未知数，得 3xx·y2y y（xz）3x

y．

[解答]：将原方程变形为：

到

所以原不定方程的自然数解为：

[评注] 这种含有xy的乘积的方程，一般先用一个未知数表示另一个未知数，然后根据整除性限定未知数范围。进而通过穷举和检验的方法求解。

例7 设x与y分别表示两个两位整数，并且满足方程100xy2xy，求x与y分别是多少？ [分析] 先将原方程变形如下：

[解答]

要使

502x1

是整数，就有2x1是50的约数，只需列举50得两位奇约数进行

试验.50的两位奇约数只有25，所以就有

2x125； 解得：x13

[评注]

这种分母中含有未知数的方程，一般先根据整除性限定未知数范围。进而通过穷举和检验的方法求解。

例8 已知x与y是两个不同的两位质数，且为整数，问x和y各是多少？ [分析]

初看本题不是解不定方程的问题，但可采用与上题类似的方法解决.

由于x与y是不同的质数，所以x与xy一定互质，这就说明xy一定是198的约数，列举出198的所有约数：198，99，66，33，22，18，11，9，6，3，2，1.由已知条件，xy还应满足下列条件： （1）xy不是一位数； （2）xy是偶数；

（3）xy是两个不同质数之和.

由以上条件不难发现应有xy66，由此可得四组解（不计x与y的顺序）：

[评注]

这种表达式分子分母都含有未知数的方程，一般先用一个未知数表示另一个未知数，然后根据整除性限定未知数范围。进而通过穷举和检验的方法求解。

例9 百鸡问题：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

[分析与解答]

设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组

的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 上面方程组的下式×3－上式 得到14x8y200，即7x4y100 则x=

4(25y)7

，可见x必须要能被4整除。且x[1007]14

故x可以取4,8,12，得到三组解如下：

x4,y18,z78x8,y11,z81 x12,y4,z84即翁、母、雏各有4，18，78个或者8，11，81个或者12，4，84个。 [评注]

此题为典型的三元不定方程问题。需要检验的情况较多，需要逐个验证。求解方法也采用比较典型的消元法和试验法。

作业题1 篮子里有煮蛋、茶蛋和皮蛋共30个，价值24元，已知煮蛋每个0.6元，茶蛋每个1.00元，皮蛋每个1.20元。问：篮子中最多有几个皮蛋？ [解答]

设煮蛋、茶蛋和皮蛋各x, y, z个，则可以列方程组

xyz300.6x1.00y1.20z24(1)(2)

将(1)(2)得到

0.4x0.20z6，即z2x300，得到x15 将1.2(1)(2)得到

0.6x+0.2y12，即3xy60，得到x20

则x取值16, 17, 18, 19的四种情况下，分别解出一组解如下：

x16x17x18x19y12y9y6 y3 z2z4z6z8可见最多有8个皮蛋。

作业题2 商店里的白糖有4千克、3千克和1千克三种不同包装，一位顾客要买15千克白糖。问：售货员给这位顾客白糖可以用多少种不同方法？ [解答]

这是典型的三元一次不定方程问题。

设4千克，3千克，1千克的包装各有x, y, z袋 列方程得4x3yz15

可见3yz154x0，则x4，可以取0,1,2,3 x0时y有0,1,2,3,4,5共6种取法 x1时y有0,1,2,3共4种取法 x2时y有0,1,2共3种取法 x3时y有0,1共2种取法 故总取法数为643215。