中考数形结合思想

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：Ⅰ、借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；Ⅱ、借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质

一、借助数轴解数与式的问题

[例1](山西·2006中考)实数a,b在数轴上的位置如图所示, ab(ba)2化简:=__________.

·a ·0 ·b

二、借助平面直角坐标系解函数问题 [例2]如图

（1），某抛物线y=ax2+bx+c交x轴交于A、B两点，A（1，0），B（5，0），当x____________时，y=0.当x_____________时y>0，当x____________时，y<0.

（2）如图（2）直线y=kx+b交x轴于A点，交y轴于B点，且A（-3，0）、B（0，2），则直线解析式为___________________，根据图象直接写出当x__________时；y>0，当x_____时，y<0；当x_____时，y=0.

（3）如图（3）某抛物线y1=ax2+bx+c与某直线y2=kx+b交于A、B两点，且A（-4，3）、B（2，1）。当___________时y1>y2；当______________时y1=y2；当_____________时y1三、利用图形理解代数恒等式

【例3】[2007年辽宁十二市] 图①是一个边长为(mn)的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ） A、(mn)2(mn)24mn B、(mn)2(m2n2)2mn C、(mn)22mnm2n2 D、(mn)(mn)m2n2

四、借助直角三角形解三角比问题

[例4](南京·2007中考)如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从

A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:21.41,31.73)

C

30

45

A B

例3

五、借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题

[例5](上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该

湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、

B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖

的半径.

O · B · D ·· A

C 例4图2

【巩固练习】

1、一次函数y2x3的图象不经过第 象限

2、如果正比例函数ykx的图象经过第一、三象限，那么直线

ykx3经过第_______象限。

3、若直线y=kx+b经过一、三、四象限,则k_____0,b_____0. 4、若反比例函数y=

中,y随x的增大而减小,则m的取值范

围是_________,它的图象在笫_________象限.

5、如果反比例函数y=mx2m+3m－6的图象在二、四象限内,那么

m的值为_____. 6、若反比例函数y=

的图象在一、三象限内,则b的取值范围

是_________.

y127、把抛物线

2x向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，

所得抛物线的解析式为 。

8、 若二次函数yax2bxc的图象如图所示，则ac___0（填

“>”或“=”或“<”）。 9、（1）根据下面图形填空：

123n______________.

（2）根据下面图形填空：135(2n1)_________. y Ôª863.64

2x ·Ö10、某地向北京打长途电话，设通话时间x

02468£¨4£©（分钟），需付话费y（元），通话3分

钟以内话费为3.6元，请你根据图示（4）中y随x的变化图象，找出通话5分钟，需付话费 元。

11、正比例函数y1k1x与反比例函数y2k2(x0)在同一平面

x直角坐标系中的图象如图所示，则当y1y2时x的取值范围是_________．

y O x 第11题第12题

12、已知函数y12x2，当1x1时，y的取值范围是（ ）

53（A）

2y32

（B）2y52 3（C）2y532 （D）2y52 13、在同一坐标系内，直线l1：y=（k-2）x+k和l2：y=kx的位置

可能为（ ）

14、一次函数y=kx+b的图象经过点(m,1)和(-1,m)其中m>-1则k、

b应满足（ ）

（A）k>0且b>0 （B）k>0且b<0 （C）k<0且b>0 （D）k<0且b<0

15、如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数

y=kx2+bx-1的图象大致是（ ）

16、 当k0时，反比例函数

ykx和一次函数ykxk的图象大

致是（ ）

y y y y O x O x O x O x A B C D

17、如果一次函数ykxbk0,b0的图象经过第二、三、

四象限，那么（ ）

（A）k0且b0 （B）k0且b0 （C）k0且b0 （D）k0且b0

18、 若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则直线y=bx-c

不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限

C、第三象限 D、第四象限

19、如果函数yax2bxc中，

a0,b0,c0,那么它的图象是（ ）

（A）经过第一、二、三、四象限

（B）经过第二、三、四象限，但不经过第一象限 （C）经过第一、三、四象限，但不经过第二象限 （D）经过第三、四象限，但不经过第一、二象限

20、 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子

中正确的是（ ） A．b+c＞0 B．a+b＜a+c C．ac＞bc D．ab＞ac

21、 已知y是x的函数，y与x-1成正比例，如果这个函数的图

象经过点(a，a)(a≠0)，那么它的图象大致是 （ ） y y y y L1 L2 L2 O O x xO x O x LL11LL1 2（D） （A） （B） （C） L2

10、（09广西梧州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例

函数yk（k0）图象上的两点，若xx10x2，则有（ ）A．y10y2 B．y20y1

C．y1y20

D．y2y10

22、如图6-2，点A在反比例函数y=

kx的图象上，AB垂直于x轴，若S△AOB=4，•那么这个反比例函数的解析式为________．

s（千米） 18 乙 甲 O 0.5 1 2 2.5 t（小时）23、甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到

B

地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图6所示，根据图中提供的信息，有下列说法：

（1）他们都行驶了18千米； （2）甲在途中停留了0.5小时； （3）乙比甲晚出发了0.5小时； （4）相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5）甲、乙两人同时到达目的地． 其中，符合图象描述的说法有( ) A．2个 B．3个 C．4个D．5个

k24、设双曲线y=x与直线y=-x+1相交于点A、B， O 为坐标

原点，则∠AOB是 （ ）

A、锐角 B、直角 C、钝角 D、锐角或钝角

225、一次函数yaxc与yaxbxc，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） A B C D

26、[2007年甘肃] 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为

b的小正方形纸板后，将其裁成四

个相同的等腰梯形（如图甲），然

后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）

A 、a2-b2=(a-b)2 B、(a+b)2=a2+2ab+b2 C、(a-b)2=a2-2ab+b2 D、a2-b2=(a+b)(a-b)

27、如图，点B坐标为（7，9） ⊙B的半径为3， AB⊥y轴，

垂足为A，点P从A点出发沿射线AB运动，速度为每秒一个单位，设运动的时间t（s）：

（1）当点P运动到圆上时，求t值，并直接写出此时P点坐标。 （2）若P运动12s时，判断直线OP与⊙B的位置关系，并说明

你的理由。

（3）点P从A点出发沿射线AB运动的过程中，请探究直线OP

与⊙B有哪几种位置关系，并直接写出相应的运动时间t的取值范围。

y A B O x

28、图1是一个长为2 m、宽为2 n的长方形，沿图中虚线用剪刀

均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。 (1)、比较这两幅图，说出它们的相同点与不同点吗； (2)、图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少? (3)、请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积；

(4)、观察图2，写出三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量

关系吗? m

m

n m n n

n

m m

图1

n

n 图2

29、（09年北京）如图，A、B两点在函数ymxx0的图象上.

（1）求m的值及直线AB的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格

点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

30、二次函数yax22bxc和y212(a1)x2(b2)xc3在同一坐标系中的图象如图。 （1）哪个函数的图象过B、C、D三点？

（2）若BO=AO，BC=DC，且点B、C的横坐标分别是1、3，求

这两个函数的解析式。

31、某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对二月份至

七月份的该商品的销售和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图），每件商品的成本Q（元）与时间t的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图）（说明：图①、图②中的每一个实心黑点所对应的纵坐标，分别指相应月份的售价和成本） 请你根据图像提供的信息回答：

（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价－成本）是多

少元？

（2）求图中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间

的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t

（月）之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？