初一数学 方程、方程组、不等式专题 经典复习教案 含习题和答案

★重点 一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

一．中考要求

1．了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程（数字系数）

2．能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力．

3．了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次方程组（数字系数人能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性． 4．了解二元一次方程组的图象解法，初步体会方程与函数的关系．

5．了解解二元一次方程组的“消元”思想．从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想．

6. 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．

7．经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质．

8．理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想． 9．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 10．初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别．

二、重要概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2、分类：

一次方程

整式方程 二次方程 高次方程 有理方程 方程 分式方程

无理方程

二.解方程的依据—等式性质 1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c≠0) 三.解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。 2． 二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法；②加减法 四.一元二次方程

1．定义及一般形式：axbxc0(a0) 如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式? 答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列. 2．解法：⑴直接开方法

（2）配方法（注意步骤和推导求根公式）

2

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(3)公式法：x1,2bb24ac2(b4ac0)

2a(4)因式分解法（特征：左边=0）

说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化成一元二次方程的标准形式。

3．根的判别式：b24ac

2当b24ac＞0时,一元二次方程axbxc0(a0)有两个不相等的实数根.

反之亦然.

当b24ac=0时,一元二次方程axbxc0(a0)有两个相等的实数根. 反

之亦然.

当b24ac＜0时,一元二次方程axbxc0(a0)没有的实数根. 反之亦

然.

22bcx2,x1x2

aa2逆定理：若x1x2m,x1x2n，则以x1,x2为根的一元二次方程是：xmxn0。

2225．常用等式：x1x2(x1x2)2x1x2

22 (x1x2)(x1x2)4x1x2

4．根与系数顶的关系：x1五、分式方程 1．分式方程

⑴定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。如：

121 2xx32

去分母 ⑵基本思想：

分式方程 整式方程

如何将分式方程化为整式方程？答：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，

3x62x27） x1x2⑷ 验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方

程的增根。

（5）解分式方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验 六、无理方程

⑴定义

⑵基本思想： 无理方程 乘方 有理方程 ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，2x917x）⑷验根及方法

七、一元一次不等式（组）

1． 定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2． 一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。 3． 一元一次不等式组：

4． 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

22

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⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac⑷（传递性）a>b,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）

x3(x2)4例题：不等式组12x

1x4解：解不等式（1）得 x1

3解不等式（2）得 x<

23 所以不等式组的解集是 1x<

27．应用举例（归纳起来主要有下列问题）

（1）题目中含有明显的特征词“不少于、不超过、不大于、小于、大于等”； （2）“不空也不满”问题； （3）哪个旅行社更优惠问题； （4）方案问题。

八、 列方程（组）解应用题

㈠概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

㈡常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt

C A B ⑴相遇问题(同时出发)： 相遇处 ←乙 甲→

s甲+s乙=sAB;t甲t乙

⑵追及问题（同时出发）：

A s甲sACs乙;t甲(AB)t乙(CB)

甲→ (甲)→ A 若甲出发t小时后，乙才出发，乙→ B 乙→ （相遇处）

B （相遇处）

而后在B处追上

C

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甲，则

s甲s乙;t甲tt乙

⑶水中航行：v顺船速水速;v逆船速水速 2． 配料问题：溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂

3．增长率问题：分析方法:逐年逐月的分析方法.ana1(1r)n1

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 四．易错点提醒

易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为O的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。（消元降次）

易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错. 易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错. 易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况.

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错.

易错点7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。 易错点8：各种等量关系分析与理解，基本等量关系有： （1）路程=速度时间

（2）工作总量=工作效率工作时间

（3）总价=单价数量 标价折数=售价 售价-进价=利润=进价利润率 总利润=单利润数量 （4）新数=基数（1+增长率）

成比例线段平行四边形一组对边平行且相等（5）几何基本等量关系是 面积公式三角函数直角三角形勾股定理易错点9：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。

易错点10：语言与解析式的互化

1.如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、„„ 2.又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

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3.注意从语言叙述中写出相等关系。如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。

五．典型例题

(一）基础篇

x＋1x－1

1．解方程－＝1有下列四步，其中开始出现错误的一步是( B )

24

A．去分母，得2(x＋1)－(x－1)＝4 B．去括号，得2x＋2－x－1＝4 C．移项，得2x－x＝4－2＋1 D．合并同类项，得x＝3

2．“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是( A )

A．x(1＋30%)×80%＝2 080 B．x·30%·80%＝2 080 C．2 080×30%×80%＝x D．x·30%＝2 080×80%

3．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是( A ) A．100元 B．105元 C．108元 D．118元

4．(2010年广东湛江)学校组织一次有关世博的知识竞赛，共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都倒扣1分，小时最终得76分，那么他答对16 题．

5.已知关于x的方程9x－3＝kx＋4有整数解，求满足条件的所有整数k. 解：合并同类项(9－k)x＝7.因为x，k均为整数，所以9－k＝1,7，－1或－7，∴k＝8,2,10,16. 6．江南生态食品加工厂收购了一批质量为10 000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2 000千克．求粗加工的该种山货质量．

解：设粗加工的质量为x，则精加工的质量为3x＋2 000，列式3x＋2 000＋x＝10 000，

解得x＝2 000(千克) 答：粗加工的质量为2 000千克

1－x1

7．解分式方程：＋2＝，可知方程的( D )

x－22－x

A．解为x＝2 B．解为x＝4 C．解为x＝3 D．无解

8．如图2－1－1，海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前从台湾采购苹果的成本价格．

解：设该公司今年从台湾采购苹果的成本价格为x元/千克，则“三通”前苹果的成本价格为2x元/千克，根据题意列方程，得

100 000100 000

－＝20 000，解得x＝2.5.经检验，x＝2.5是原方程的解．当x＝2.5时，2xx2x

＝5.

答：实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/千克．

9．(2012年贵州安顺)张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？

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300－120120

解：设原计划每天铺设管道x米，依题意，得＋＝27，解得x＝10.经检验，

x1＋20%x

x＝10是原方程的根．

答：原计划每天铺设管道10米.

x＝1，ax＋by＝1，10．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求a，b的值． y＝－2x－by＝3解：将x＝1，y＝－2代入二元一次方程组，得 a－2b＝1， ①由②，得b＝1. 将b＝1代入①，得a－2＝1.∴a＝3.即a＝3，b＝1. 1＋2b＝3. ②

11．为了增强学生体质，某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图2－1－3，线段l1，l2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y(单位：千米)随时间x(单位：分钟)变化的函数图象．根据图象，解答下列问题：

图2－1－3

(1)分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式； (2)求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？

1

解：(1)线段l1过原点，设l1的解析式为y＝kx.将点(60,10)代入得10＝60k，k＝.

6

1

∴长跑的同学行进路程与时间的函数表达式为y＝x.

6

设l2的解析式为y＝kx＋b，将点(20,0)，(40,10)代入，得

1k＝2，0＝20k＋b

解得∴骑自行车的同学行进路程与时间的函数表达式为 10＝40k＋b，b＝－10.1

y＝x－10. 2

(2)联立以上两个方程组得：

1y＝x，6x＝30，

解得：即长跑的同学出发了30分钟后，骑自行车的同学就追

1y＝5.y＝x－10，2



上了长跑的同学．

（二）提高篇

1．(2010年广东茂名)已知关于x的一元二次方程x2－6x－k2＝0(k为常数)． (1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设x1，x2为方程的两个实数根，且x1＋2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值． 证明：∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－k2)＝36＋4k2>0，

∴方程有两个不相等的实数根．

(2)解：由根与系数的关系，知：x1＋x2＝6，x1x2＝－k2.

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∵x1＋2x2＝14，∴x1＝－2，x2＝8.∴－k2＝－16，∴k＝±4. 2．(2012年黑龙江绥化)先化简，再求值：

5m－3

m＋2－÷，其中m是方程x2＋3x－1＝0的根． 2

m－23m－6m

m－3m2－9m－3m－2

解：原式＝÷＝·

3mm－2m－23mm－2m＋3m－3111

＝或或2. 2

3mm＋33m＋3m3m＋9m

∵m是方程x2＋3x－1＝0的根，∴m2＋3m－1＝0.∴m2＋3m＝1或m(m＋3)＝1，

1

∴原式＝

3

3．解不等式组，并把解集在如图2－2－3所示的数轴上表示出来． x－3x－2≤4， ①

1＋2x

＞x－1. ②3

图2－2－3

解：由①，得x≥1.由②，得x<4 .

∴原不等式组的解集是1≤x<4，如图D3.

图D3

xx＋1＋＞0，23

4．(2010年湖北荆门)试确定实数a的取值范围，使不等式组5a＋44

x＋3＞3x＋1＋a恰有两个整数解．

xx＋1＋>0， ①23

解：不等式组5a＋44

x＋3>3x＋1＋a. ②

2

解不等式①，得x>－.解不等式②，得x<2a.

5

21

所以不等式组的解集为－522x－a<1，

5．若不等式组的解集为－1＜x＜1, 那么(a＋1)(b－1)＝__________.

x－2b>3

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2x－a<1，a＋1a＋1

解：不等式组的解集为2b＋3＜x＜，∴2b＋3＝－1, ＝1.∴a＝1，b

22x－2b>3

＝－2.∴(a＋1)(b－1)＝－6.

6．某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元．

(1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？ (2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问：应选购甲种小鸡苗至少多少只？

(3)相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡苗的总费用最小，问：应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？

解：设购买甲种小鸡苗x只，那么乙种小鸡苗为(2 000－x)只． (1)根据题意列方程，

得2x＋3(2 000－x)＝4 500.解这个方程，得x＝1 500. ∴2 000－x＝2 000－1 500＝500， 即购买甲种小鸡苗1 500只，乙种小鸡苗500只． (2)根据题意，得2x＋3(2 000－x)≤4 700，解得x≥1 300，即选购甲种小鸡苗至少为1 300只． (3)设购买这批小鸡苗总费用为y元，

根据题意，得y＝2x＋3(2 000－x)＝－x＋6 000.又由题意，得94%x＋99%(2 000－x)≥2 000×96%.解得x≤1 200.

因为购买这批小鸡苗的总费用y随x增大而减小，所以当x＝1 200时，总费用y最小．乙种小鸡为2 000－1 200＝800(只)，即购买甲种小鸡苗为1 200只，乙种小鸡苗为800只时，总费用y最小，最小费用为4 800元．

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