第二讲：整式及因式分解

知识点：

1、代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则； 2、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算；

3、因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。 教学目标：

1、了解代数式的概念，会列简单的代数式；理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值；

2、理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；

3、掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算；

4、能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式）进行运算；

5、掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算； 6、理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。 教学重难点：

1、掌握整式有关运算法则，并能熟练地进行运算； 2、掌握整数指数幂的运算；

3、提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。 教学过程： 1．知识要点：

考点1．代数式的有关概念：

1）代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子。单独的一个数或者一个字母也是代数式；

2）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值；求代数式的值可以直接代入、计算；如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。

考点2．整式的有关概念：

1）单项式：由数与字母，字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或者一个字母也是单项式；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做系数。 ．

2）多项式：几个单项式相加组成的代数式，叫做多项式；一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数；不含字母的项叫做常数项。

注意：常数的次数为0，如－5的次数是0；字母x的次数是1而不是0；单项式

4xy4的系数包括前面的符号，如的系数为；

77备注：单项式和多项式统称为整式

3）多项式的降幂排列与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列；把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列；给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列； 考点3 同类项、合并同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。常数项都是同类项。

把多项式中的同类项合并为一项叫做合并同类项；合并同类项时同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 注意：（1）同类项是不要考虑字母的排列顺序，如－7xy与yx 是同类项； （2）只有同类项才能合并，如x2x3不能合并。 考点4．整式的运算： 1）整式的加减：

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项。 2）整式的乘除： ①幂的运算：

amanamn(m,n是整数) amanamn(a0,m,n是整数)

nnn(am)namn(m,n是整数） (ab)ab(n是整数）

anan10p ()n(n是整数） a1(a0) ap(a0,p为正整数） bba②单项式相乘(除)：把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质；

③多项式乘(除)以单项式：先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加；(ab)mambm;

a2abaab

④多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(ab)(cd)acadbcbd ⑤乘法公式： (ab)(ab)ab22

(ab)a2abb22

考点5 因式分解：

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。分解因式的常用方法有： (1)提公因式法

如多项式ambmcmm(abc),其中m叫做这个多项式各项的公因式，

m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。 (2)运用公式法，即用 a2b(ab)(ab) a222abb(ab)22

(3)十字相乘法

2 对于二次项系数为l的二次三项式xpxq, 寻找满足ab=q，a+b=p

的a，b，如有，则x2pxq(xa)(xb);对于一般的二次三项式

ax2bxc(a0),寻找满足 a1a2＝a，c1c2＝c, a1c2＋a2c1＝b的a1，a2，c1，

c2，如有，

则ax2bxc(a1xc1)(a2xc2).

(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行；分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号. ※(5)求根公式法：如果ax2bxc0(a0),有两个根x1，x2，那么

axbxca(xx1)(xx2). 备注：因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；

(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不 再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这些统称分解彻底．

(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．

注意提取公因式法、运用公式法的要点：

多项式因式分解往往需要对一些隐含的公因式(如互为相反数的因式)进行调整变形，其依据是乘方的符号法则，变形时一般要进行观察，需要调整项的标准有两个：(1)使需要调整的项尽量少；(2)尽量调整指数为偶数的项，这样可以减少符号变化带来的麻烦及错误；平方差公式主要运用于二项式的因式分解，完全平方公式主要运用于三项式的因式分解．

2题型分类 深度剖析

题型一 整式的加减运算

【例1】 (1)计算：a23a2＝( )

A．3a2 B．4a2 C．3a4 D．4a4

(2)下列运算正确的是( )

A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋b

C．－2(a－b)＝－2a－2b D．－2(a－b)＝－2a＋2b

(3)计算：3(2xy－y)－2xy

探究提高

整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号．只要算式中

没有同类项，就是最后的结果．

知能迁移1 (1)(2011·义乌)下列计算正确的是( ) A．x2x4x6 B．2x＋3y＝5xy C．x6x3x2 D．x3x6

2(2)(2011·台北)化简(－4x＋8)－3(4－5x)，可得下列哪一个结果？ ( ) A．－16x－10 B．－16x－4 C．56x－40 D．14x－10

题型二 同类项的概念及合并同类项

【例2】 (1)若单项式2x2ym与xny3是同类项，则m＋n的值是________．

(2)若4xayx2yb3x2y，则a＋b＝________.

探究提高

1.判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相

关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项． 2.只有同类项才可以合并。

知能迁移2 (1)单项式xabya1与3x2y是同类项，则a－b的值为( )

A．2 B．0 C．－2 D．1

(2)下列各式中，与x2y是同类项的是( ) A．xy2 B．2xy C．x2y D．3x2y2

题型三 幂的运算

【例3】 (1)计算a4a3a2＝( )

A．a3 B．a4 C．a5 D．a6

(2)计算－x2·x·x＝________.

32探究提高

1.幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则．

2.在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．

知能迁移3 (1)(2011·威海)下列运算正确的是( ) A．a3a2a6 B．x3x6 C．x5x5x10 D．ababa3b3

523

2)计算：3a2a5＝________；y3y5＝________； 2a2＝________.

224题型四 整式的混合运算及求值

【例4】 (本题5分)先化简，再求值：

1 3xx2x1x13x2x，其中x＝.

2

探究提高

注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．

知能迁移4 (1)(2011·温州)化简：a(3＋a)－3(a＋2)．

(2)已知x2－5x＝14，求(x－1)(2x－1)－x1＋1的值

2

题型五 乘法公式

【例5】 (1)计算(a＋b)(a－b)＋ab－2a2的值， 其中a＝3，b＝－

21； 2

(2)已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，且x>y，求x－y的值．

探究提高

1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则.

2.在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： (1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； (2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； (3)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (4)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.

注意公式的变式及整体代入的思想．

12知能迁移5 (1)(2011·衡阳)先化简，再求值：x1＋x(x -2)，其中x＝－；

2

(2)已知x－y＝7，x＋y＝5，求xy的值．

题型六 因式分解的意义

【例1】 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )

A．aba22abb2 B．a22a1aa11

21、 C. a21aa D. a2b2abab

a探究提高

熟练地掌握因式分解的意义．因式分解是将一个多项式化成几个整式积的

形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解。

知能迁移1 下列多项式的分解因式，正确的是( )

A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax) B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)

D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)

题型七 提取公因式法分解因式

【例2】(1)多项式6xy－2xy2＋4xyz中各项的公因式是 __________．

(2)分解因式：

①－4x3y2＋28x2y－2xy＝___________________；

②6a2xy－3ayx＝___________________.

23

探究提高

1.当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉. 2.首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正. 3.公因式也可以是多项式．

知能迁移2 (1)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提公因式(m－1)后，余下的部分是( )

A．m＋1 B．2m C．2 D．m＋2 (2)分解因式：xy－3(x＋y)．

2题型八 运用公式法分解因式

【例3】 (1)下列多项式中，能用公式法分解因式的是( ) A．x2－xy B．x2＋xy C．x2y2 D．x2y2 (2)分解以下各多项式：

①9x216y2 ②x129 ③16x472x2y281y4

探究提高

1.用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项.

2.用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．

知能迁移3 分解因式：

(1)4a21； (2)25xy－9xy；

22 (3)

12a＋a＋1 (4)x3－6x2＋9x 4题型九 综合运用多种方法分解因式

【例4】 给出三个多项式： x2＋x－1； x2＋3x＋1； x2－x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．

探究提高

1.具有一定的开放性．

2.灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．

知能迁移4 因式分解：

(1)a5－a (2)(x＋2)(x＋4)＋x2－4

(3)(2011·芜湖)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝____________；

(4)在实数范围内分解因式：x4－4.

题型十 因式分解的应用

【例5】 (1)若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是( ) A．8 B．16 C．2 D．4

(2)已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值．

(3)如果多项式2x3＋x2－26x＋k有一个因式是2x＋1，求k的值．

探究提高

1.利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值.

2.一个问题有两个未知数，只有一个条件，考虑到已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解.

3.逆向思维，推出多项式分解后的几个因式，采用系数求等的方法列方程组

1求解，或者利用恒等变形的性质，设2x＋1＝0，x＝－代入原式，可求得k.

2

知能迁移5 (1)(2011·衡阳)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2n2的值为_________ ．

(2)若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断△ABC的形状．

易错警示：

试题 分解因式：

(1)20m3n－15m2n2＋5m2n； (2)4x2－16y2；

(3)m(a－b)＋n(b－a)； (4)－3x2＋18x－27.