河北省石家庄市2013届高三一模试题数学文

河北省石家庄市2013届高三一模试题数学文试题

第I卷

一、选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.复数z1i,则1zz对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象跟 D.第四象限 2.若集合A{xZ|22x28}，B{xR|x22x0}，则A(CRB)所含的元素

个数为（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3.某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐 与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、„、60，选取的这6名学生的编号可能是（ ）

9. A. 1,2,3,4,5,6 B. 6，16，26，36，46，56 C. 1,2，4，8，16，32

D. 3,9,13 ,27,36,54

已知双曲线的一个焦点与抛物线x2

=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x4y=0,则 该双曲

线的标准方程为（ ）

A. x2y2 x2y2 y2x2 y2x2 9161 B.1691 C.9161 D. 1691 5.设l、m是两条不同的直线，，是两个不同的平面,有下列命题：

11.①l//m,m//,则l//

② l//,m//则 l//m

③丄β，l丄，则l丄β ④l丄，m丄,则l//m 其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

6.执行右面的程序框图，输出的S值为（ ） A. 1 B. 9

C. 17

D. 20

7.已知等比数列{an}，且a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10）的值为（ ） A. 4 B. 6

C. 8

D. -9

8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的 概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表 示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数 为一组，代表射击4,次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ） A. 0.85

B. 0.8

C. 0.75

D. 0.7

巳知点(x,y)在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3, 52)是 使得z=ax-y取得最大值的最优解,则实数a的取值范围为（ ） A. a12 B. a0 C. a112 D.2a0 10.已知函数f(x)|sin(2x6)|，下面说法正确的是（ ） A.函数的周期为4 B.函数图象的一条对称轴方程为x3 C.函数在区间[23,56]上为减函数 D.函数是偶函数 已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥

的外接球的表面积为（ ） A.4 B.12 C.163 D. 643 12.[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]=2，[-4.1] =-5，已

知f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是（ ）

4

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II 卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量a(1,2),b(x,1)，ua2b,v2ab,且u//v，则实数x的值是_____.

14.若f(x)1x2(x1)2x(x则f11)f(log=________. 2(6)15. 已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时’过点P引圆

(x1)2112(y4)22的切线，则此切线段的长度为_______. 16已知数列{a1213214321n}1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,„，依它的10项的规律，则aa100___ 99三、解答题：本大题共70分（其中17—21每题12分，22题10分）． 17.已知a，b，c分别为ΔABC三个内角A，B， C的对边长，(2cb)cosAacosB (I)求角A的大小；(II)若a=2，ΔABC的面积为1，求b，c.

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，

ABC=ADC=90°BAD=1200,AD=AB=1,AC 交 BD于 O 点.

求证:平面PBD丄平面PAC;

(II)求三棱锥D-ABP和三棱锥P-PCD的体积之比.

19.为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对1OO名男生和100名女生进行了不记 名的问卷调查.得到了如下的统计结果： 表1:男生上网时间与频数分布表

表2:女生上网时间与频数分布表

(I)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；

(II)完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性 别有关”？ 表3 ：

18. (I)

23.在平面直角坐标系x0y中，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C

2220.椭圆xa2yb21(ab0)的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.

(I)若ΔABF2为正三角形，求椭圆的离心率； (II)若椭圆的离心率满足0e512,0为坐标原点，求证AOB为钝角.

21.已知函数f(x)=ex

+ax-1(e为自然对数的底数).

(I)当a=1时,求过点（1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(II)若f(x)=x2

在(0,1 )上恒成立,求实数a的取值范围.

的极坐标方程为: sin2cos (I)求曲线l的直角坐标方程；

x2t若直线l的参数方程为222（t为参数），直线L与曲线C相交于A、B两点求y2t|AB|的值.

24. 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当a=1时，解不等式f(x)>3;

(II)不等式f(x)1在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

(II)

一、选择题 A卷答案

1-5 DCBCA 6-10 CACAB 11-12 DB B卷答案

1-5 DBCBA 6-10 BABAC 11-12 DC 二、填空题

13563713．2 14．36 15. 2 16 .24

二 解答题

17.解：(Ⅰ)法一：由(2cb)cosAacosB及正弦定理得： (2sinCsinB)cosAsinAcosB„„„„„2分 则2sinCcosAsinBcosAsinAcosBsin(BA)

ABC,sin(AB)sinC

2sinCcosAsinC

cosA2由于sinC0，所以，2 „„„„„„ 4分

A又0A，故

4. „„„„„„„„ 6分

或解：(Ⅰ)由(2cb)cosAacosB及余弦定理得：

222222(2cb)bca2bcaacb2ac „„„„„„„„„ 2分整理得：b2c2a22bc

b2c2a2cosA22bc2 „„„„„„„„ 4分

又0AA，故

4. „„„„„„„„„ 6分

1bcsin(Ⅱ) ABC的面积S=2A=,

故bc=22 ① „„„„„„„ 8分

根据余弦定理

a2b2c22bccosA 和=2， P 可得c2b2=6„„ ② „„„„„„„ 10分 解①②得

b2b2A c2或者c2. „„„„„„„„ 12分 O

D 18．解：证明：(Ⅰ)

ABCADC90,ADAB,AC为公共边，B

C

RtABCRtADC ，„„„„„„„ 2分

则BO=DO,

又在ABD中，ABAD,所以ABD为等腰三角形.

ACBD ,„„„„„„„„ 4分

而PA面ABCD，PABD， 又PAACA,BD面PAC，

又BD面PBD，平面PAC平面PBD.„„„„„„„„ 6分 (Ⅱ) 在RtABC中，AB1，BAC60，则BC3, SABD1ABADsin12002

1211332=4，„„„„„„„„8分 S1BCD2BCCDsin600

12333332=4,„„„„„„„10分

1VSDABPVPABDV=3ABDPAS1BPCDVPBCD1ABDS33BCDPASBCD . „„„„„„„12分

19.解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数,

x30 依据题意有750100，„„„„„„„4分

解得：x225 ，

所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人.„„„„„„„ 6分 （Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表： 上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 合计 130 70 200 „„„„„ 8分

2200(60304070)2K2002.198 其中10010013070912.706„„„„„„10分

因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.„„„„„„„12分

20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知AF1AF2BF1BF22a，ABC周长为4a， 因为ABF2为正三角形，所以

AF2BF2，AF1BF1，

F1F2为边AB上的高线，„„„„„„„„„„2分

2c4acos3003，

ec∴椭圆的离心率

a33.„„„„„„„ 4分

5115（Ⅱ）设A(x1,y1)，

B(x2,y0e2)因为

21a.，c，所以2„„„„6分1y2①当直线AB与x轴垂直时，a22b，b4b421ya2，

OAOBx1x2y1y21a2, 42(a232)25a3a14235a2=a2a， 因为

2，所以OAOB0， AOB为钝角.„„„„„„„„„8分

x2y2②当直线AB不与轴垂直时，设直线AB的方程为：yk(x1)，代入a2b21，

整理得：

(b2a2k2)x22k2a2xa2k2a2b20， 2a2k2a2k2a2b2x1x2b2a2k2，x1x2b2a2k2

OAOBx1x2y1y2

x21x2y1y2x1x2k(x11)(x21) x1x2(1k2)k2(x1x2)k2

(a2k2a2b2)(1k2)2a2k4k2(b2a2k2)b2a2k2

k2(a2b2a2b2)a2b2b2a2k2

k2(a43a21)a2b2b2a2k2„„„„„„10分

令m(a)a43a21， 由 ①可知 m(a)0，

AOB恒为钝角.„„„„„„12分

21．解：（Ⅰ）当a1时，f(x)exx1，f(1)e，f(x)ex1，f(1)e1，函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为ye(e1)(x1) 即y(e1)x1 „„„„„„ 2分 设切线与x、y轴的交点分别为A，B．

令x0得y1，令y0得x1e1，∴A(1e1,0)，B(0,1) S△OAB121e1112(e1)．

1在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为

2(e1) „„„„„„„4分

1x2ex（Ⅱ）由f(x)≥x2a≥得x， 令

h(x)1x2ex1exxxxx， (x)11ex(x1)(x1)(x1exh) x2x2x2

令k(x)x1ex，„„„„„„„„ 6分 k(x)1ex，

∵x(0,1)，∴k(x)1ex0，k(x)在x(0,1)为减函数

∴k(x)k(0)0 ，„„„„„„„„8分

又∵x10，x20

h(x)(x1)(x1ex)0∴x2

∴h(x)在x(0,1)为增函数，„„„„„„„„„„10分 h(x)h(1)2e，

因此只需a≥2e． „„„„„„„„„„„„„12分 22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD＝∠BMF， 所以A,Q,M,B四点共圆，„„„„„3分 所以PAPBPMPQ.„„„„„„5分

(Ⅱ)∵PAPBPCPD ,

∴PCPDPMPQ ，

又 CPQMPD , 所以CPQ~MPD，„„„„„7分∴PCQPMD ,则DCBFMD,„„„„„„8分

∵BADBCD，

∴BMDBMFDMF2BAD,

BOD2BAD,

所以BMDBOD.„„„„„„„10分

23.解：(Ⅰ)依题意

2sin2cos„„„„„„3分 得：

y2x 曲线C21直角坐标方程为：yx.„„„„„„„5分

x22t2(Ⅱ)把y22t代入

y2x整理得： t22t40„„„„„„7分

0总成立，

t1t22 ，t1t24

ABt1t2(2)24(4)32„„„„„„10分

另解：

(Ⅱ)直线l的直角坐标方程为y2x，把y2x代入

y2x得： x25x40„„„„„„7分

0总成立，x1x25，x1x24

AB1k2x1x22(5244)32„„„„„„„10分

x2724. 解：(Ⅰ)x22x23x解得3 1x2 2x2x23解得x

x11 2x22x3x解得3„„„„„„„3分 (,1)(7,不等式的解集为33)„„„„„„5分

3x22a,x2f(x)x2a2,2xa(Ⅱ)a2时，3x22a,xa；

3x6,xa2时，f(x)23x6,x2；

3x22a,xf(x)ax2a2,ax2a2时，3x22a,x2；

f(x)的最小值为f(2)或f(a)；„„„„„„8分

f(a)1则f(2)1，解得a1或a3.„„„„„„10分