【专题点拨】
图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。
【解题策略】
有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算.
【典例解析】
类型一：三角形折叠问题
例题1：（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．4 B． C．3D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴
=
，
=
，只要求出BM、BD即可解决问题．
∴=∴CD=
，
，BD=BC﹣CD=
，
∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA，
∴=，即=，
∴DM=，MB=BD﹣DM=，
∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴
=
，
∴BE=故选B．
==．
变式训练1：
（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为 （用含a的式子表示）．
类型二： 平行四边形折叠问题
例题2：（2016·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿
AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小
为_______．
【考点】平行四边形的性质
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD＝∠DAE＝20°，∠AED＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°． 变式训练2：
(2016河北3分）如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
，，
第13题图 A．66°
类型三：矩形折叠问题
例题3：（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
B．104°
C．114°
D．124°
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm， ∵BE：EC=2：1， ∴CE=BC=3cm
∴在Rt△ECH中，EH=EC+CH， 即（9﹣x）2=32+x2， 解得：x=4，即CH=4cm． 故选（B）
2
2
2
变式训练3：
（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
类型四：菱形折叠问题
例题4：（2016·四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△
OGD
；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中
正确的结论个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】四边形综合题．
【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；
②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；
③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；
④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF； ⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；
⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°， 故①正确．
∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°， ∴AE=EF＜BE， ∴AE＜AB，
∴＞2，
故②错误． ∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高， ∴S△AGD＞S△OGD， 故③错误．
∵∠EFD=∠AOF=90°， ∴EF∥AC， ∴∠FEG=∠AGE， ∵∠AGE=∠FGE， ∴∠FEG=∠FGE， ∴EF=GF， ∵AE=EF， ∴AE=GF， 故④正确．
∵AE=EF=GF，AG=GF， ∴AE=EF=GF=AG， ∴四边形AEFG是菱形， ∴∠OGF=∠OAB=45°， ∴EF=GF=∴BE=
OG， ×
OG=2OG．
EF=
故⑤正确．
∵四边形AEFG是菱形， ∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°， ∴△OGF时等腰直角三角形． ∵S△OGF=1， ∴OG2=1，解得OG=
，
∴BE=2OG=2∴AE=GF=2， ∴AB=BE+AE=2
2
，GF===2，
+2，
+2）=12+8
2
∴S正方形ABCD=AB=（2，故⑥错误．
∴其中正确结论的序号是：①④⑤． 故选B．
【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
变式训练4：
（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为
﹣1 ．
类型五：圆的折叠问题
例题5：（2015•聊城）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使
和
都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（ ）
A.
1123 B. C. D. 23352. 解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO， ∵OD=AO，
∴∠OAD=30°， ∴∠AOB=2∠AOD=120°， 同理∠BOC=120°， ∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOC=×⊙O面积． 故选：B．
变式训练5：
（2016·山东省德州市·4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
【能力检测】
1. （2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 ．
2. （2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
3. （2016·浙江省绍兴市·5分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为 ．
4. （2016·重庆市A卷·4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=
．则四边形ABFE′的面积是多少？
5. （2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【参考答案】 变式训练1：
（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为 3a （用含a的式子表示）．
【解析】翻折变换（折叠问题）．由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．
【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE， 则BE=EF=a， ∴BF=2a， ∵∠B=30°， ∴DF=BF=a，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a； 故答案为：3a． 变式训练2：
(2016河北3分）如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
第13题图 A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
【解析】平行线的性质，折叠关系。
【解答】：因为ＡＢ∥ＣＤ，∠１＝∠Ｂ＇ＡＢ，由于折叠，∠BAC=∠B＇AC＝２２°，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝１８０°－∠ＡＣＢ－∠ＣＡＢ＝１１４°。
变式训练3：
（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°， 则NG=AM，故AN=NG， 则∠2=∠4， ∵EF∥AB， ∴∠4=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°， ∴∠DAG=60°． 故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．
变式训练4：
（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为
﹣1 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．
【分析】过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，得到2MD=AD=CD=2，从而得到∠FDM=60°，∠FMD=30°，进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可．
【解答】解：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=， ∴FM=DM×cos30°=∴MC=∴EC=MC﹣ME=故答案为：
=
， ，
﹣1． ﹣1．
变式训练5：
（2016·山东省德州市·4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是
﹣
．
【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．
【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=
，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．
【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=， 在RT△AOC中，∵OA=1，OC=， ∴cos∠AOC=
=，AC=
，
=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=∴∠AOB=2∠AOC=120°， 则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB ==
﹣
，
﹣×
×
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM =π×1﹣2（=
﹣
．
﹣
．
2
﹣）
故答案为：
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
【能力检测】
1. （2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 ．
【解析】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．
【解答】解：解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2， ∴点C到x轴的距离为1+2×横坐标为2， ∴A（2，
+1），
=
+1，
第2016次变换后的三角形在x轴上方， 点A的纵坐标为
+1，
横坐标为2-2016×1=-2014，
所以，点A的对应点A′的坐标是(-2014，故答案为：(-2014，
+1)．
+1)
2. （2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠， ∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°． ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得， DE+BE=BD，
即CD+4=（8﹣CD）， 解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC+CD=AD， 即3+6=AD， 解得：AD=
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3. （2016·浙江省绍兴市·5分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为 2
或4﹣2
．
【解析】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明△DFM是等腰直角三角形即可利用DF=EC下方时，由∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E，
得到DF1=DE，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=90°，AD=BC， ∵AB=4，AD=BC=2， ∴AD=AE=EB=BC=2，
DM解决问题，当直线l在直线
∴△ADE、△ECB是等腰直角三角形， ∴∠AED=∠BEC=45°， ∴∠DEC=90°， ∵l∥EC， ∴ED⊥l， ∴EM=2=AE，
∴点A、点M关于直线EF对称， ∵∠MDF=∠MFD=45°， ∴DM=MF=DE﹣EM=2∴DF=
DM=4﹣2
﹣2， ．
当直线l在直线EC下方时， ∵∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E， ∴DF1=DE=2
，
或4﹣2．
．
综上所述DF的长为2故答案为2
或4﹣2
4. （2016·重庆市A卷·4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=
．则四边形ABFE′的面积是多少？
【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N． ∵四边形ABCD是正方形，
，
）=1+
，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+
+1，S△DFE′=S△DEE′=
，
．
，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC， ∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，
根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE， ∴DE=DE′，AE=AE′， ∴AD垂直平分EE′， ∴EN=NE′，
∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=∴AM=EM=EN=AN=1，
∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB， ∴EN=EO=1，AO=∴AB=
AO=2+
+1， ，
∴S△AEB=S△AED=S△ADE′=×1（2+∵DF=EF， ∴S△EFB=
，
，
∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△AEE′=
∴S四边形AEFE′=2S△ADE﹣S△DFE′=
∴S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB=
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．
5. （2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0； ②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况： ①x≥﹣3时，显然y=x+3；
②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b． 在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，
则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）． 把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b， 得
，解得
，
∴y=﹣x﹣3．
综上所述，新函数的解析式为y=
（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上， ∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=上， ∴k=1×4=4，y=．
∵点D是线段AC上一动点（不包括端点）， ∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1． ∵DP∥x轴，且点P在双曲线上， ∴P（∴PD=
，m+3）， ﹣m，
；
∴△PAD的面积为 S=（
﹣m）×（m+3）=﹣m﹣m+2=﹣（m+）+
2
2
，
∵a=﹣＜0，
∴当m=﹣时，S有最大值，为又∵﹣3＜﹣＜1， ∴△PAD的面积的最大值为
； ，
②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形．
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