一、选择题
1． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ A．
）
13 B．
2 3B．相交
C．1
）
D．22． 垂直于同一条直线的两条直线一定（ A．平行
A. 充分必要条件 C. 必要不充分条件
C．异面D．以上都有可能
）
3． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（
B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
））
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.4． 已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ A．3﹣4iB．3+4iC．﹣3﹣4iD．﹣3+4i
5． cos80cos130sin100sin130等于（ A．3 2B．
，c=
1 21C．
2）
D．326． 若a=ln2，b=5xdx，则a，b，c的大小关系（
A．a＜b＜cBB．b＜a＜cCC．b＜c＜aD．c＜b＜a
7． 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（ A．1
B．2
C．3
D．4
）
8． 设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（
）
A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜3
9． 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（
）
A．ex+1B．ex﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1
10．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A．3
）B．
C．
D．
二、填空题
11．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ．
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①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则
的最大值为
；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．
⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且12．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：度．
13．对于函数yf(x),xR,,“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是 ．•
=5，则△ABC的形状是直角三角形．：2，则这个二面角的平面角是 14．设x，y满足约束条件
15．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________．
16．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．已知向量=（
，1），=（cos，
），记f（x）=
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移的零点个数．
个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）﹣k在
18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
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平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为
，求AG的长．
19．（本小题满分10分）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C1的参数方
＝
程为xcos t（t为参数），圆C2的普通方程为x2＋y2＋23x＝0.
y＝1＋sin t{)（1）求C1，C2的极坐标方程；
（2）若l与C1交于点A，l与C2交于点B，当|AB|＝2时，求△ABC2的面积．
20．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
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21．已知椭圆（Ⅰ）求椭圆
的方程；
交于
、
的离心率，且点在椭圆上．
（Ⅱ）直线与椭圆面积的最大值．
两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)
（x1，y1）22．（本小题满分12分）已知过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A（x2，y2）和B（x1＜x2）两点，且AB=（I）求该抛物线C的方程；
（II）如图所示，设O为坐标原点，取C上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．
Sy29．2OxR第 4 页，共 16 页
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新华区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的一个四面体ACED1,其中ED11，∴该三棱锥的体积为(12)22． 【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
3． 【答案】A.
【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]，显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A.4． 【答案】B
解析：∵（3+4i）z=25，z=∴=3+4i．故选：B．5． 【答案】D【解析】
试题分析：原式cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos303．213122，选B．3==3﹣4i．
考点：余弦的两角和公式.6． 【答案】C【解析】解：∵b=5c=
=xdx=
a=ln2＜lne即，，
，
∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．
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故选：C．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．
7． 【答案】A
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，即a=1，b=0．∴a+b=1．故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
8． 【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
9． 【答案】D
【解析】解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，
而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．
10．【答案】B
【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|≥|MF|=
=
．
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即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B．
．
【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．
二、填空题
11．【答案】 ：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则斜率，其最大值为
，③正确；
=
，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜
，即A+B＞
﹣A），
，B＞
﹣A，
则cosB＜cos（
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵由则即则又BC=5则有
由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
，
=
|，
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故答案为：①②③
12．【答案】 75 度．
【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部时，如
图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，
由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：故答案为：75．
2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．：
【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．
13．【答案】必要而不充分【解析】
2试题分析：充分性不成立，如yx图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，yf(x)是奇函数，
|f(x)||f(x)||f(x)|，所以y|f(x)|的图象关于y轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
2.等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．14．【答案】 ﹣6 ．
【解析】解：由约束条件
，得可行域如图，
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使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．故答案为：﹣6．
15．【答案】
【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1）＝2×1＋（－2＋t）·（－1）＝4－t＝2，∴t＝2.答案：2
16．【答案】 ①②④ ．
【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2kx）=2kf（x）．
①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…
一般地当x∈（2m，2m+1），则
∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，
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∴2n=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（1）∵向量=（∴f（x）=∴最小正周期T=2kπ﹣则4kπ﹣
≤+
cos+=4π，
，，k∈Z．
，4kπ+
]，k∈Z；
个单位得到函数解析式为
=
，1），=（cos，sin+cos+=sin（+
），记f（x）=）+，
．
≤2kπ+
≤x≤4kπ+
故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣（2））∵将函数y=f（x）=sin（+：y=g（x）=sin[（x﹣∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣∵x∈[0，
]，可得：﹣
）≤1，）+≤，
+
）+的图象向右平移
）+，
）]+ =sin（﹣）+﹣k，
≤x﹣≤π，
∴﹣≤sin（x﹣∴0≤sin（x﹣
∴若函数y=g（x）﹣k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，]．
∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在
的零点个数是0；
的零点个数是2；
的零点个数是1．
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【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．
18．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），所以
=（﹣4，﹣1，t），
=（4，4，0），
=（0，1，t）．…
设平面ACE的法向量为=（x，y，z），由
=0，
=0，得
，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为所以|cos＜即
所以AG=1或AG=
＞|=
=
=
，…
．，
，解得t2=1或．…
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【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．【答案】
＝
【解析】解：（1）由C1：xcos t（t为参数）得
y＝1＋sin tx2＋（y－1）2＝1，即x2＋y2－2y＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C1的极坐标方程，由圆C2：x2＋y2＋23x＝0得
ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C2的极坐标方程．（2）由题意得A，B的极坐标分别为A（2sin α，α），B（－23cos α，α）．∴|AB|＝|2sin α＋23cos α|
＝4|sin（α＋π）|，α∈[0，π），
3
由|AB|＝2得|sin（α＋π）|＝1，
32
∴α＝π或α＝5π.
26
当α＝π时，B点极坐标（0，π）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π，
226此时l的方程为y＝x·tan5π（x＜0），
6
即3x＋3y＝0，由圆C2：x2＋y2＋23x＝0知圆心C2的直角坐标为（－3，0），
|3×（－3）|
∴C2到l的距离d＝＝3，（3）2＋322
∴△ABC2的面积为S＝1|AB|·d
2
3＝1×2×＝3.
222
即△ABC的面积为3.
2
{)20．【答案】
2
【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．令f′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，
第 13 页，共 16 页
则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，又x﹣1＞0，则k＜设h（x）=
对任意x∈（1，+∞）恒成立，，则h′（x）=
．
设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）的最小值hmin（x）=h（x0）=
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）=∴k＜hmin（x）=x0．∵3＜x0＜4，∴k≤3．
∴k的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．
21．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（Ⅰ）由已知 点
在椭圆上，
，，解得
．．
=x0．
所求椭圆方程为(Ⅱ)设当直线
，的斜率
时，
，
的垂直平分线过点
,
的斜率存在．
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当且仅当当直线
的斜率
消去
由
．
时， 设得： ①
时，
．
， ，
的中点为
由直线的垂直关系有，化简得 ②
由①②得又
到直线
的距离为
，
时，
由即综上：22．【答案】
，时，
；
，解得
；
．
；
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
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因
16256222256为y1y2，y20，化简得y1y2 ，所以yy322y3264，12222yyy22225622当且仅当y2＝16，y2=±4时等号成立. 2即y2y2y141圆的直径OS=x+y=+y12=(y12+8)2-64,因为y12≥64，所以当y12＝64即y1=±8时，
164（16，±8）．OSmin85，所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为
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