华师大版八年级上册数学期末考试试卷
一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列说法中，正确的是（ ）
A．（﹣6）2的平方根是﹣6 B．带根号的数都是无理数 C．27的立方根是±3 D．立方根等于﹣1的实数是﹣1 2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（a2b）3=a6b3 C．a8÷a2=a4
D．a+a=a2
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 4．如图，在数轴上表示实数
的点可能是（ ）
试题
A．点P B．点Q C．点M D．点N
5．下列结论正确的是（ ）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等 B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 D．两个等边三角形全等
6．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 7．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法： ①点P在∠BAC的平分线上； ②点P在∠CBE的平分线上； ③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上． 其中正确的是（ ）
试题
试题
）试题
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
8．如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）
A．4.8 B．8
C．8.8 D．9.8
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠CBA交AC于点E，过E作ED⊥AB于D点，当∠A= 时，ED恰为AB的中垂线．
10．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 cm．
试题
试题
11．分解因式：2a3﹣4a2b+2ab2= ．
12．如图，△ACB中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB=12，CD=6，则S△ABD为 ．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
14．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积= ．
15．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从
试题
试题
下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 秒钟．
三、解答题（共75分） 16．计算题 （1）
（2）﹣3x2•（﹣2xy3）2
（3）a2（a﹣1）+（a﹣5）（a+5）
（4）[（ab+1）（ab﹣1）﹣2a2b2+1]÷（﹣ab）
17．已知：a﹣b=﹣2015，ab=﹣
18．先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），其中a=
，b=﹣1．
，求a2b﹣ab2的值．
﹣
+
试题
试题
19．如图，某公司举行开业一周年庆典时，准备在公司门口长13米、高5米的台阶上铺设红地毯．已知台阶的宽为4米，请你算一算共需购买多少平方米的红地毯．
20．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立
一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ； （2）在图②中画△DEF，使DE、EF、DF三边的长分别为
、
、
，并判断这个三角形的形状，说明理由．
21．某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立
试题
试题
定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表 进球数（个） 8 7 6 5 4 3
人数
2 1 4 7 8 2
请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 ；
（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ，该班共有同学 人；
（3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%，请求出参加训练之前的人均进球数．
22．如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
试题
试题
23．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
试题
试题
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列说法中，正确的是（ ）
A．（﹣6）2的平方根是﹣6 B．带根号的数都是无理数 C．27的立方根是±3 D．立方根等于﹣1的实数是﹣1 【考点】立方根；平方根；无理数．
【分析】根据平方根及立方根的定义，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、（﹣6）2=36，36的平方根是±6，原说法错误，故本选项错误； B、带根号的数不一定都是无理数，例如C、27的立方根是3，故本选项错误；
D、立方根等于﹣1的实数是﹣1，说法正确，故本选项正确； 故选D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（a2b）3=a6b3 C．a8÷a2=a4
D．a+a=a2
是有理数，故本选项错误；
试题
试题
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方及同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可． 【解答】解：A、a3•a2=a5，故本选项错误； B、（a2b）3=a6b3，故本选项正确； C、a8÷a2=a6，故本选项错误； D、a+a=2a，故本选项错误． 故选B．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解答】解：如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确； 如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；
试题
） 试题
如果∠A：∠B：∠C=1：3：2， 设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， 则x+3x+2x=180°， 解得，x=30°， 则3x=90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确； 如果a2：b2：c2=9：16：25， 则如果a2+b2=c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确； 故选：B．
4．如图，在数轴上表示实数
的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【考点】估算无理数的大小；实数与数轴． 【分析】先对【解答】解：∵
进行估算，再确定≈3.87，
是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
试题
试题
∴3＜∴
＜4， 对应的点是M．
故选C
5．下列结论正确的是（ ）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等 B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 D．两个等边三角形全等 【考点】全等三角形的判定．
【分析】熟练运用全等三角形的判定定理解答．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证． 【解答】解：A、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，有可能是相似形，故选项错误； B、一条斜边对应相等的两个直角三角形，只有两个元素对应相等，不能判断全等，故选项错误；
C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，确定了顶角及底边，即两个等腰三角形确定了，可判定全等，故选项正确； D、两个等边三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，故选项错误． 故选C．
试题
试题
6．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故选：C．
7．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法： ①点P在∠BAC的平分线上； ②点P在∠CBE的平分线上； ③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上． 其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
试题
试题
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等， ∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确； 点P在∠CBE的平分线上，故②正确； 点P在∠BCD的平分线上，故③正确；
点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④． 故选A．
8．如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）
A．4.8 B．8 C．8.8 D．9.8
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从
试题
试题
B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求． 【解答】解：
从B向AC作垂线段BP，交AC于P， 设AP=x，则CP=5﹣x，
在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2， 在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2， ∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2， ∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2 解得x=1.4， 在Rt△ABP中，BP=
∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8． 故选D．
=
=4.8，
试题
试题
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠CBA交AC于点E，过E作ED⊥AB于D点，当∠A= 30° 时，ED恰为AB的中垂线．
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【分析】求出∠CBA，求出∠EBA=∠A=30°，得出BE=AE，根据三线合一定理求出BD=AD，即可得出答案． 【解答】解：当∠A=30°时，ED恰为AB的中垂线， 理由是：∵BE平分∠CDA， ∴∠CBE=∠DBE， ∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠CBA=60°，
∴∠EBD=∠CBE=∠CBA=30°， 即∠A=∠EBA， ∴BE=AE， ∵ED⊥AB， ∴BD=AD，
试题
试题
即当∠A=30°时，ED恰为AB的中垂线， 故答案30°．
10．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 6或8 cm． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解． 【解答】解：①6cm是底边时，腰长=（20﹣6）=7cm， 此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm， 能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边=20﹣6×2=8cm， 此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm， 能组成三角形，
综上所述，底边长为6或8cm． 故答案为：6或8．
11．分解因式：2a3﹣4a2b+2ab2= 2a（a﹣b）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
试题
试题
【分析】根据因式分解的方法即可求出答案． 【解答】解：原式=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2 故答案为：2a（a﹣b）2
12．如图，△ACB中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB=12，CD=6，则S△ABD为 36 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE=DC=4，再根据三角形的面积计算公式得出△ABD的面积．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵BD平分∠ABC， 又∵DE⊥AB，DC⊥BC， ∴DE=DC=4，
∴△ABD的面积=•AB•DE=×12×6=36． 故答案为：36．
试题
试题
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．
【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案为：15．
试题
试题
14．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积= 50 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到OE=OF=OD=5，然后根据三角形面积公式和S△ABC=S△OAB+S△OBC+S
△OAC
得到S△ABC=（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为20代入计算即可．
【解答】解：作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图， ∵点O是△ABC三条角平分线的交点， ∴OE=OF=OD=5， ∴S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC =OD•AB+OE•BC+OF•AC =（AB+BC+AC）
试题
试题
=×20 =50．
故答案为：50．
15．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5 秒钟．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在
试题
试题
直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB=（2）展开底面右面由勾股定理得AB=
=
cm；
=5cm；
所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．
三、解答题（共75分） 16．计算题 （1）
﹣
+
（2）﹣3x2•（﹣2xy3）2
（3）a2（a﹣1）+（a﹣5）（a+5）
（4）[（ab+1）（ab﹣1）﹣2a2b2+1]÷（﹣ab） 【考点】实数的运算；整式的混合运算．
【分析】（1）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果； （3）原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
试题
试题
（4）原式中括号中利用平方差公式化简，合并后利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=0.5﹣+=0.5﹣1.5=﹣1； （2）原式=﹣3x2•4x2y6=﹣12x4y6； （3）原式=a3﹣a2+a2﹣25=a3﹣25；
（4）原式=（a2b2﹣1﹣2a2b2+1）÷（﹣ab）=（﹣a2b2）÷（﹣ab）=ab．
17．已知：a﹣b=﹣2015，ab=﹣【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】首先把代数式因式分解，再进一步代入求得数值即可． 【解答】解：∵a2b﹣ab2=ab（a﹣b）， ∴ab（a﹣b）=（﹣2015）×（﹣
18．先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），其中a=【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】根据平方差公式和单项式除单项式的法则化简，然后代入数据计算求值． 【解答】解：（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），
，b=﹣1．
）=2016．
，求a2b﹣ab2的值．
试题
试题
=a2﹣4b2﹣b2， =a2﹣5b2， 当a=
，b=﹣1时，
）2﹣5×（﹣1）2=2﹣5=﹣3．
原式=（
19．如图，某公司举行开业一周年庆典时，准备在公司门口长13米、高5米的台阶上铺设红地毯．已知台阶的宽为4米，请你算一算共需购买多少平方米的红地毯．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】首先可利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为12米，则通过观察梯子可知需买红地毯的总长度为12+5=17米．
【解答】解：依题意图中直角三角形一直角边为5米，斜边为13米，根据勾股定理另一直角边长：毯的长为12+5=17米，红地毯的宽则是台阶的宽4米，所以面积是：17×4=68平方米． 答：共需购买68平方米的红地毯．
20．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
、
、
=12米，则需购买红地
，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立
试题
试题
一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上
；
、
、
，并判断这个三角形的形状，说明理由．
（2）在图②中画△DEF，使DE、EF、DF三边的长分别为
【考点】作图—复杂作图；二次根式的应用；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可求出△ABC的面积；
（2）利用勾股定理和网格特点分别画出△DEF，然后根据勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形． 【解答】解：（1）△ABC的面积=3×3﹣×1×3﹣×2×1﹣×2×3=； 故答案为；
（2）如图2，△DEF为所作， △DEF为直角三角形．理由如下： ∵DE=
，EF=
，DF=
，
试题
试题
∴DE2+EF2=DF2，
∴△DEF为直角三角形．
21．某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表 进球数（个） 人数
2
1
4
7
8
2
8
7
6
5
4
3
请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 5 ；
（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 10% ，该班共有同学 40 人；
（3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%，请求出参加训练之前的人均进球数．
试题
试题
【考点】扇形统计图；统计表．
【分析】（1）根据加权平均数的求解方法列式进行计算即可得解；
（2）根据各部分的百分比总和为1，列式进行计算即可求解，用篮球的总人数除以所占的百分比进行计算即可； （3）设训练前人均进球数为x，然后根据等式为：训练前的进球数×（1+25%）=训练后的进球数，列方程求解即可． 【解答】解：（1）
===5；
（2）1﹣60%﹣10%﹣20%=10%，
（2+1+4+7+8+2）÷60%=24÷60%=40人；
（3）设参加训练前的人均进球数为x个，则 x（1+25%）=5， 解得x=4，
试题
试题
即参加训练之前的人均进球数是4个．
22．如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题． 【解答】证明：△ABC中， ∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM， ∵M是BC的中点， ∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
试题
试题
，
∴△BDM≌△CEM（SAS）， ∴MD=ME．
23．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【考点】全等三角形的判定．
【分析】（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可
试题
试题
得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．
【解答】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC中，AB=AC， ∴在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等； ①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况； ②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=
；
试题
试题
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为
cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
试题
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