第３５卷第５期 ２０１５年９月 杭州电子科技大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｎｇｚｈｏｕ Ｄｉａｎｚｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖ０ｌ＿３５ Ｎｏ．５ Ｓｅｐｔ．２０１５ ＤＯＩ：１０．１３９５４／ｊ．ｃｎｋｉ．ｈｄｕ．２０１５．０５．０２０ 波导与双环侧向耦合系统的透射谱特性分析 罗飞，赵超樱 （杭州电子科技大学光学研究所，浙江杭州３１００１８） 摘要：研究环间损耗和透过率对波导与双环侧向耦合系统的透射谱和相位谱特性的影响。输入和 输出关系通过传输矩阵来表示。随着透过率的增加，透射谱都是类电磁感应透明型，透射谱和相位 谱的形状发生了很大的变化。随着环３损耗的增加，透射谱从类电磁感应透明线型变为洛仑兹线 型。此处的类电磁感应透明线型可以看成是由两个洛仑兹线型相干叠加而成的。相位谱基本保持 不变。随着环２损耗的增加，透射谱都是类ＥＩＴ型，透射谱和相位谱的形状基本保持不变。 关键词：集成光学；微环谐振器；侧向耦合；透射谱 中图分类号：ＴＮ２５６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—９１４６（２０１５）０５—００９４—０４ Ｏ 引 言 微环谐振器具有尺寸小，结构简单，易于集成和具有高Ｑ模式等优点，在集成光学中备受关注 ］。 通过比较发现，现有的关于微环腔的理论 ２ 都没有考虑到环间的相互作用，从实际出发，本文在波导 双微环耦合系统的研究中，考虑了环间相互作用，进一步探索透射谱的物理特性＿５ Ｊ。本文基于波导双 微环侧向耦合系统的耦合模式方程（ｃｏｕｐｌｅｄ—ｍｏｄｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ＣＭＥｓ），得到波导双环耦合系统的透射谱 公式和相位谱公式，数值模拟微环损耗和透射率对波导双环耦合微环系统的透射谱和相位谱的影响。 通过本文研究发现，两个微环的损耗和透射率均对透射谱和相位谱有着显著的影响。 １ 理论分析 将光纤耦合器分两类：第一类是Ｎ个平行排列的光纤，并排在一个平面上，相邻光纤之间的耦合系 数相同，忽略非相邻光纤之间的耦合，称之为线形排列弱同型耦合器；第二类是Ｎ个平行排列的光纤， 并排在一个圆柱面上，首尾相连，相邻光纤之间的耦合系数不相同，忽略非相邻光纤之间的耦合，称之为 线形排列弱异型耦合器＿６ Ｊ。通过比较发现：３×３线性排列弱同型耦合器可以等价为波导双微环耦合系 统 Ｉ６ Ｊ。忽略非相邻光纤１和３之间的耦合。只考虑相邻光纤之间的耦合。设光纤１与２之间的耦合 参数为 ，光纤２和３之间的耦合参数为 。３×３线性排列弱异型耦合方程可表示为如下形式 ： Ｏａ１ Ｏｚ Ｏａ２ Ｏｚ Ｏａ３ Ｏｚ 式中，Ｋｄｄ／２和砌／２表示不相邻波导间的耦合系数，ｏ 为第 个波导的模式场。 收稿日期：２０１４—１２—０２ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１４０４０８４）；国家重点实验室开放基金资助项目（ＫＦ２０１４０１） 作者简介：罗飞（１９９１一），男，黑龙江哈尔滨人，在读研究生，光电信息技术及仪器．通信作者：赵超樱副教授，Ｅ．ｍａｉｌ： ｚｃｈｙ４９＠ｈｄｕ．ｅｄｕ．ＣＢ． 第５期 罗 飞等：波导与双环侧向耦合系统的透射谱特性分析 ９５ 令Ｏａ ／Ｏｚ＝一Ａａ ，ｉ＝１，２，３。忽略含时相位项，特征函数为ａ （ ）＝咖 （ ）ｅｘｐ［＃ ｆ］，其中ｆ＝Ｋｚ， ｍ＝１，２，３。假设 ＝（１＋Ａ）／，／１＋△ ，叼＝（１一Ａ）／４１＋Ａ ，且满足 ＋ ＝２，Ａ为耦合强度。令 Ａ ＝ｉＫｘ ，求得特征值： ，＝１／√芝， ２＝０， ３＝一１／√ｌ２ 由于具有不同的特征值，根据本征函数构建解矩阵 Ｊ： （２） ｆ，咖。（ 。） 咖。（ 。） 咖。（ ２） 咖，（ ２） 。（ ，） 、 （ｒ）：ｌ咖 （ 。）ｅ扛 咖：（ ２） 咖：（ ，） １ ，（ ，） （３） ，， （ ，） （ 。） ，（ ）、 老 。＾Ｉ２ 一去 ０２ 皇 丑 ２ ） （０）＝ｌ咖，（ ：） 咖：（。（ ）ｌ＝ ２ ，（ ，） ２ （４） （ ） 咖 （ ） 王 一 丑 ２ 令ｔ＝ＣＯ８［ｆ／２］，ｋ＝ｓｉｎ［ｆ／２１／ ＝ Ｒ（ｆ）＝Ｘ（ｆ） （０）＝ ，／Ｙ，其传输矩阵为 ： ６ 毒］ ㈥ 口 、，式中，６＝ Ｃ０８［ｆ／２］／２＋叼 ／２＝￣２ｔ／２＋’７ ／２， ＝ｔ＋１—６，ｊｋＴｉ＝、／ ＿＝ ，— ，Ｊ 叼＝ ｙ＝ 而。 文献［３］中直波导和双环是共面的，直波导与环２的底部耦合，环２的顶部与环ｌ的底部耦合。如图 １所示，本文结构中，直波导和双环是不共面的。对于环２，光束沿着顺时针方向传输，有ａ：＝ ａ２ｅｘｐ［ｊ０］ｂ：＝Ｂ：ｂ：。对于环３，光束沿着逆时针方向传输，有ａ ＝ ３ｅｘｐ［－ｊｏ］ｂ ＝Ｂ ｂ３。相移０＝ｔｏＬ／ｃ， Ｌ为环的周长。其中， ：和 ，为损耗系数，ｃ为微环的相速度，∞为非共振时的角频率。为了简化讨论，输 入和输出关系可以通过传输矩阵表示出来： ｂ ＝ ＝Ｉ 等器１ ＝含 ４ｔｌｘａ ， １ ０＝０，０＝±ｃｏｓ，［ 】 Ｊ （８） 图１ 波导双环耦合系统 为了简化，取６＝仅２ ３，ｒ＝（６＋ ２ ３）／４ａ２ ３＝１／２，则有： ０＝士ＣＯＳＩ１［（ ２／ｔ＋ＯＬ３ ）／２］ 最大峰值所在的位置，对应０＝０；最小峰值所在的位置，对应式（９）。 相位谱公式为： （９） Ｐ ： ｇｆ＼１ ｔＢ，一ＩｘＢ ＋６ ， 二堕 １２ ， 一（１０） ２ 数值模拟 纵坐标为透射谱，横坐标为由于色散而引起的频率失谐，用弧度 来表示。透过率ｔ也叫耦合传递系 杭州电子科技大学学报 ２０１５年 数，即光的振幅通过耦合部分所能传输的几率。通过改变直波导和环２之间的间隔来实现对环２损耗的 调节。通过改变环２和环３之间的间隔来实现对环３损耗的调节。 ２．１ 环２损耗 的影响 固定环３损耗 ３和透过率ｔ，改变环２损耗Ｏ／２。取 ３＝０．９９９ ９，ｔ＝０．８， ２分别取为０．６０，０．６５和 ０．７０，其透射谱和相位谱如图２（ａ）和图２（ｂ）所示。 ● ● ● ｌ －…・一 。＝０．６０ ０．８ ——０【２２＝０．６５ Ｏ．６ …・ｄ２３＝０．７０ ｏ．４ 斛 ０．２ ： 辎 量。０．２ 一—０．４ ｉ，．—０．６ ｙ － —０．８ —１ 『’ … ● ● ●一３ —２ —１ Ｏ ｌ ２ ３ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ０／弧度 ５ ４ ３ ２ １ Ｏ １（ａ） （ｂ） 图２ 环２损耗分别对透射谱和相位谱的影响 透射谱都是电磁感应透明（ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃａｌｌｙ—ｉｎｄｕｃｅｄ ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｃｙ，ＥＩＴ）线型，随着环２的损耗Ｏｔ２ 增加，最高透射峰的位置保持不变，峰值都是１。最小透射峰所在的位置发生了变化，谱宽依次变窄。同 时相位谱形状保持不变，谱宽变窄了，最高透射峰值下降。 ２．２ 环３损耗 的影响 固定环２损耗 ２和透过率ｔ，改变环３损耗 ３。取Ｏｒ２：０．８８，ｔ＝０．８， ３分别取为０．９５，０．９８和０．９９９ ９， 其透射谱和相位谱如图３（ａ）和图３（ｂ）所示。 ０胍度 （ｂ） 图３ 环３损耗分别对透射谱和相位谱的影响 随着环３的损耗 增加，透射谱从ＥＩＴ线型变为洛仑兹线型。此处的ＥＩＴ线型可以看成是由两个洛 仑兹线型相干叠加而成的。最大透射峰所在位置保持不变，峰值依次下降。最小透射谱宽变窄。相位谱形 状保持不变，但最大透射峰值下降，最小透射峰值上升。 ２．３ 透射率的影响 固定环２损耗 ：和环３损耗仅，，改变透过率 。取 ＝０．８６， ＝０．９９，ｔ分别取为Ｏ．８Ｏ，０．８５和 ０．９Ｏ，其透射谱和相位谱的图如图４（ａ）和图４（ｂ）所示。 一 Ｏ Ｏ第５期 罗 飞等：波导与双环侧向耦合系统的透射谱特性分析 ９７ 将要辎 ｅ／弧度 （ａ） Ｏ胍度 （ｂ） 图４透过率分别对透射谱和相位谱的影响 透射谱都是ＥＩＴ线型，随着透过率的增加，最小透射峰值依次下降，最大透射峰所在位置保持不变， 峰值先降后升，谱宽先窄后宽。相位谱发生了明显的变化，最大透射峰值从０．２上升到３。 ３ 结束语 本文主要从考虑微环间相互作用着手，通过调节环间损耗和透过率来调控单波导双微环耦合系统的透射 谱和相位谱。通过研究发现，通过调节环间损耗可以调控Ｅ１Ｔ谱两个极值之间的距离。为了获得较好的Ｅ１Ｔ 谱，应该取较大的环３损耗和透过率。本文研究方法同样也适用于双波导双微环耦合系统的情形。 参考文献 ［１］Ｈａｒｒｉｓ Ｓ Ｅ，Ｆｉｅｌｄ Ｊ Ｅ，Ｉｍａｍｏｇｌｕ Ａ．Ｎｏｌｉｎｅａｒ ｏｐｔｉｃａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｕｓｉｎｇ ｅｌｅｅｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃａｌｌｙ ｉｎｄｕｃｅｄ ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｃｙ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃｌａ Ｒｅｖｉｅｗ Ｌｅｔｔｅｒｓ，１９９０，６４（１０）：１１０７—１Ｉ１０． ［２］ Ｙａｉｒｖ Ａ．Ｕｎｉｖｅｒｓｌａ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｏｐｔｉｃｌａ ｐｏｗｅｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｉｃｒｏｒｅｓｏｎａｔｏｒｓ ａｎｄ ｄｉｅｌｅｃｔｉｒｃ ｗａｖｅｇｕｉｄｅ［Ｊ］．Ｅｌｅｃｒｔｏｎｉｃｓ ｅｔＬｔｅｒｓ，２０００，３６（４）：３２１—３２２． ［３］Ｓｍｉｔｈ Ｄ Ｄ，ＣＩｌａｎｇ Ｈ．Ｃｏｈｅｒｅｎｃｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｉｎ ｃｏｕｐｌｅｄ ｏｐｔｉｃａｌ ｒ￣ｏｎａｔｏｒｓ［Ｊ１．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｏｄｅｍ ｏｐｔｉｃｓ，２０Ｏ４，５（１６）：２５（１３—２５１３． ［４］Ｌｉｕ Ｘ，Ｋｏｎｇ Ｍ，Ｆｅｎｇ Ｈ．Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｃｏｕｐｌｅｄ ｄｏｕｂｌｅ－ｉｒｎｇ ｒｅｓｏｎａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｈｅ ｔＯｐｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆＡｍｅｒｉｃａ Ｂ—Ｏｐｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２０１２，２９（１）：６８—７４． ［５］ Ｚｈａｏ Ｃ Ｙ，Ｔａｎ Ｗ Ｈ．Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｏｆ ａｓｙｍｍｅｔｉｒｃ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｄｏｕｂｌｅ—ｉｒｎｇ ｒｅｓｏｎａｔｏｒ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｏｄｅｍ Ｏｐｔｉｃｓ，２０１５， ６２（４）：３１３—３２０． ［６］ Ｍｅｎｇ Ｙ Ｃ，Ｇｕｏ Ｑ Ｚ，Ｔａｎ Ｗ Ｈ，ｅｔ ａ１．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｏｕｐｌｅｄ－ｍｏｄｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｍｕｈｉｗａｖｅｇｕｉｄｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ ａｎｄ ｇｅｎｅｒｌａｉｚｅｄ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ ｐｏｌｙｎｏｍｉｌｓ［Ｊ］．Ｊａｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｏｐｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｍｅｒｉｃａ Ａ，２００４， ２１（８）：１５１８—１５２７． Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｏｆ Ｗａｖｅｇｕｉｄｅ ａｎｄ Ｄｏｕｂｌｅ－ｒｉｎｇ Ｌａｔｅｒａｌ Ｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍ Ｌｕｏ Ｆｅｉ，Ｚｈａｏ Ｃｈａｏｙｉｎｇ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＯｐｔｉｃｚ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ Ｄｉａｎｚｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ Ｚｈｅｊｉａｎｇ ３１００１８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｌｏｓｓ ａｎｄ ｔｒｎｓａｍｉｔｔａｎｃｅ ｏｎ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｗａｖｅｇｕｉｄｅ ａｎｄ ｄｏｕｂｌｅ—ｒｉｎｇ ｌａｔｅｒａｌ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ— ｏｕｔｐｕｔ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｉｓ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ａ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｍａｔｉｘ．Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｆ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，ｔｈｅ ｔｒａｒｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒａ ａｒｅ ａｌｌ ＥＩＴ—ｌｉｋｅ ｐｒｏｆｉｌｅｓ（ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃａｌｌｙ—ｉｎｄｕｃｅｄ ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｃｙ，ＥＩＴ）．Ｔｈｅ ｓｈａｐｅｓ ｏｆ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｍａｋｅ ｇｒｅａｔ ｃｈａｎｇｅ．Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｆ ｌｏｓｓ ｏｆ ｒｉｎｇ ３，ｔｈｅ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｃｈａｎｇｅ ｆｒｏｍ ＥＩＴ—ｌｉｋｅ ｐｒｏｆｉｌｅｓ ｔｏ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｐｒｏｆｉｌｅｓ．Ｔｈｅ ＥＩＴ－ｌｉｋｅ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ Ｌｏｒｅｎｚ ｐｒｏｆｉｌｅｓ．Ｐｈａｓｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｉｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ．Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｆ ｌｏｓｓ ｏｆ ｒｉｎｇ ２，ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒａ ａｒｅ ＥＩＴ—ｌｉｋｅ ｐｒｏｆｉｌｅｓ，ｔｈｅ ｓｈａｐｅｓ ｏｆ ｒａｔｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｕｍ ａｒｎｄ ｐｈａｓｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｒｅ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｏｐｔｉｃｓ；ｍｉｃｒｏ－ｉｎｇ ｒｅｓｏｎａｔｒｏｒｓ；ｌａｔｅｒａｌ ｃｏｕｐｌｉｎｇ；ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ