作者：姜梁 单位：上海理工大学理学院
摘要：本文主要运用了最小二乘拟合的方法，通过对安徽、河南、湖南、湖北、江西、山西这六省的农林牧渔业总产值与农作物的总播种面积关系的分析，计算出这六省各年份的平均单位面积产值，以此来估算相应受灾面积所造成的农业损失。又从农作物总播种面积、农林牧渔总产值以及单位面积产值三方面来对比安徽与河南农业的异同点。最后，从不可用水比例、废水排放量、COD排放量以及氮氧排放量四方面分析淮河流域的污染状况。
关键词：最小二乘法 曲线拟合 回归分析 淮河流域 受灾面积 污染状况 农业状况
问题：淮河流域是我国重要的商品粮生产基地、能源基地和交通枢纽，在我国经济社会发展全局中地位十分重要。然而，淮河处于南北气候过渡带，多少年来一直存在着水旱灾害频繁，水体污染严重，生态环境恶化，经济发展水平较低等一系列问题。给流域人民的生活和经济发展带来了巨大的损失。
请根据1980年---2005年安徽、河南、湖南、湖北、江西、山西六省的农林牧渔总产值和农作物总播种面积，淮河流域成灾面积，水污染指标等数据解决以下问题： 1． 淮河流域各省受灾面积对农业的损失分析。 2． 分析安徽农业与河南农业的异同点。 3． 建立数学模型分析淮河流域的污染状况。
分析与建模：
1. 为了解决各省受灾面积对农业的损失关系问题，我们首先用六省的农林牧渔总产值除以
相应的播种面积，得到各省单位面积的产值，用其平均值来乘以受灾面积来估算淮河流域农业的损失。
下表给出了1980-1991年六省的播种面积与总产值数据：
播种面积（单位：千公顷）
年份 安徽 河南 湖南 湖北 江西 山西 1980 7739.7 10788.2 7909.5 7477 5553.8 4266.6 1981 7879.8 11013.3 8009.4 7253 5542.8 4144.9 1982 8006.7 11076 7669.5 7461 5578.2 4107.5 1983 7858.8 11326.7 7746.2 7399 5465.3 4127.5 1984 7966.8 11432.7 7639.2 7388 5456.7 4164.9 1985 8186.1 11685.3 7477.1 7331 5419.1 3978.2 1986 8162.8 11819.3 7536.5 7375 5438.8 3952 1987 8371.9 11952.7 7474.7 7337 5482.7 3992.5 1988 8169.2 11930.2 7496.2 7229 5396.4 3999.3 1989 8238.8 11999.4 7748.8 7261 5555.3 4005 1990 8313.6 11889.7 7951.8 7361 5759.7 4016.9 1991 8195.6 12001.9 8040.2 7424 5829.7 3970.7
1
总产值（单位：亿元） 年份 安徽 河南 湖南 湖北 江西 山西
1980 84.6 134.6 116.3 95 68.2 38.23 1981 104.09 152.08 123.33 105.67 70.98 39.36 1982 111.54 148.45 135.84 119.67 78.14 47.82 1983 113.02 181.1 142.66 119.79 79.35 49.02 1984 128.83 196.34 150.75 144.88 87.89 58.01 1985 143.9 204.74 158.16 154 94.2 53.11 1986 148.75 195.97 166.78 159.29 96.69 48.89 1987 155.64 232.01 172.27 163.5 105.26 47.39 1988 155.9 228.51 173.17 158.92 108.11 53.37 1989 158.89 251.12 182.01 166.79 113.96 57.39 1990 165.43 270.71 185.47 178.63 121.38 53.03 1991 140.65 272.04 192.66 177.21 128.81 56.2
单位面积产值（总产值/播种面积）的计算结果如下表：（单位：亿元/千公顷）
年份 安徽 河南 湖南 湖北 江西 山西 六省平均 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
2
0.01093
0656 0.013209726 0.013930833 0.01438
133 0.016170859 0.017578578 0.018222914 0.018590762 0.019083876 0.019285576 0.01989
872 0.017161648 0.012476
595 0.013808
759 0.013402
853 0.015988
77 0.017173
546 0.017521
159 0.016580
508 0.019410
677 0.019153
912 0.020927
713 0.022768
447 0.022666
411 0.0147
04 0.0153
98 0.0177
12 0.0184
17 0.0197
34 0.0211
53 0.0221
3 0.0230
47 0.0231
01 0.0234
89 0.0233
24 0.0239
62 0.0127
06 0.0145
69 0.0160
39 0.0161
9 0.0196
1 0.0210
07 0.0215
99 0.0222
84 0.0219
84 0.0229
71 0.0242
67 0.0238
7 0.01228 0.012806 0.014008 0.014519 0.016107 0.017383 0.017778 0.019199 0.020034 0.020514 0.021074 0.022095 0.00896 0.009496 0.011642 0.011876 0.013928 0.01335 0.012371 0.01187 0.013345 0.01433 0.013202 0.014154
0.012009 0.013215 0.014456 0.015229 0.017121 0.017999 0.018113 0.019067 0.01945 0.020253 0.020756 0.020652
用这个单位面积的产值乘以相应年份的受灾面积可得损失：
年份
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 平均产量（亿元/千公顷）
0.012009 0.013215 0.014456 0.015229 0.017121 0.017999 0.018113 0.019067 0.01945 0.020253 0.020756 0.020652
成灾面积（千公顷） 损失（亿元）
1659.4 19.92853539 161.5 2.134157762 3208 46.37432784 1469.8 22.38314578 2938 50.30024231 1923.3 34.61690817 749.8 13.58143629 793.3 15.12573952 127.6 2.481842632 1485.3 30.08130653 1386 28.76741541 4622.6 95.46376497
下面根据表中所得的受灾面积与损失的数据，画出散点图，进行曲线拟合。 这里以受灾面积（单位：千公顷）为X轴，损失（单位：亿元）为Y轴作图： 706050403020101000200030004000
拟合所得函数关系为：
y= -2.02571+0.0187842x
我们认为这个函数所代表的就是淮河流域受灾面积与农业的损失关系。可见农业的损失基本上与受灾面积呈线性关系，受灾面积越大，损失就越大。当然这是在假定单位面积产值不变的情况下得到的，实际上，就某一地区而言，由于土地肥沃程度、种植作物以及耕作技术水平均无太大差异，故认为这个假定是合理的。
3
2．由所给数据可以从农作物播种面积、农林牧渔总产值、单位面积产值三方面进行比较安徽与河南农业的异同点。
首先，根据数据画出两省农作物播种面积与年份的关系图。（单位：千公顷）
92009000880086008400820080001985 1990199520002005 安徽省播种面积与年份关系图
135001300012500120001150019851990199520002005 河南省播种面积与年份关系图
由散点图假设年份与播种面积为三次函数关系，用最小二乘法拟合得到两省播种面积与年份关系的曲线，如上图所示。
4
由图可知，两省的播种面积都随着年份的增加而增加，且两者的走势基本相同：播种面积经历了一个由1980—1990年快速增加时期，到1990—1996年相对稳定阶段，再到1996—2005年高速增长阶段。这是两者的相同点。
同时从数量看，河南省各年份的总播种面积均大于安徽省，且随着年份的增加，两者的差距有逐渐增大的趋势，从1996年开始，河南省的播种面积增长速度一直快于安徽省。另外，从拟合曲线与散点的位置关系来看，由于受自然灾害影响偏多，安徽省各年份播种面积的波动比较大，呈现出不稳定增长状态，而河南省的曲线与散点拟合的非常好，呈现稳定增长状态。这是两者的不同点。
其次，根据数据画出两省农林牧渔总产值与年份的关系图。（单位：亿元）
35030025020015019851990199520002005 安徽省农林牧渔总产值与年份关系图
70060050040030019851990199520002005 河南省农林牧渔总产值与年份关系图
可见，由于播种面积与总产值有直接关系，故总产值与年份之间呈现的关系与播种面积与年份之间的关系大致相同，此处不再赘述。
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最后，根据数据画出两省单位面积产值与年份的关系图。（单位：亿元/千公顷） 0.040
0.0350.0300.0250.02019851990199520002005 两省单位面积产值与年份的关系图
由图可见，虽然在总播种面积和总产值方面两省的总量有较大差别，但是它们的单位面积产值相差不大，并且有基本相同的走势：在1985年以前，增长比较缓慢，之后进入较快增长阶段。这是两者的相同点。
另外，大约从1987年以后，河南省的单位面积产值一直高于安徽省，且两者差距有逐渐增大的趋势，特别是从1995以后，河南省单位面积产值保持稳定较快增长，而安徽省则增长较为缓慢，到2000以后，安徽单位面积产值基本保持不变。1991年，由于受洪水灾害影响，安徽省的单位面积产值出现了大幅下降的情况，河南省未出现这种现象，这些是两者的不同之处。
3.从不可饮用水比例、废水排放量、COD排放量、氮氧排放量四方面来分析淮河流域的污染状况。
首先根据相关数据得到各项指标随年份变化的关系图： 807876747270200020022004 不可饮用水比例与年份关系图（百分比）
6
504030200020022004
废水排放量与年份关系图（单位：亿吨）
116114112110108200020022004COD排放量与年份关系图（单位：万吨）
14131211200020022004氮氧排放量与年份关系图（单位：万吨）
由图可知，不可用水比例与年份呈负相关的线性关系，即不可用水的比例在逐年下降，这反映了当地水质状况的好转。COD排放量与年份成负相关的二次函数关系，这反映了水中有机污染物数量的减少。从这两方面来看，淮河流域的污染治理取得了一定的成果。 然而，废水排放量与年份呈正相关的线性关系，即废水排放量在逐年增加，这无疑加重了水体的污染状况。
氮氧排放量与年份之间呈三次函数关系，在2000年之前一直呈上升趋势，污染加剧。2000—2004年开始下降，污染的到一定程度的缓解，但是2004年以后污染又有回升的迹象。
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下面利用29个主要监测点各类水统计数据来检验不可用水比例与年份关系的正确性： 由不可用水比例与年份关系图拟合得到的不可用水比例（Y）与年份（X）的关系式如下：
Y=3466.65 -1.69528 x 将x1=2005和x2=2006分别代入方程得到y1=67.6136%和y2=65.9183%，这是根据曲线的方程，经过理论计算得到的结果。
下面把监测点（2005年4月—2006年10月）的不可用水月数加总后除以19得到不可用水比例，如下表。
序号 IV V 超V 不可用月数（共19个月） 不可用比例
1 3 5 0 8 0.421052632 2 5 1 3 9 0.473684211 3 6 4 2 12 0.631578947 4 2 3 10 15 0.789473684 5 5 1 13 19 1 6 13 1 3 17 0.894736842 7 7 0 4 11 0.578947368 8 0 0 19 19 1 9 7 0 12 19 1 10 9 4 1 14 0.736842105 11 5 5 9 19 1 12 0 2 17 19 1 13 2 0 0 2 0.105263158 14 10 2 2 14 0.736842105 15 1 0 0 1 0.052631579 16 6 1 1 8 0.421052632 17 0 3 16 19 1 18 10 4 4 18 0.947368421 19 1 4 14 19 1 20 2 1 16 19 1 21 7 2 1 10 0.526315789 22 5 1 1 7 0.368421053 23 2 5 4 11 0.578947368 24 10 0 6 16 0.842105263 25 9 0 2 11 0.578947368 26 4 2 12 18 0.947368421 27 0 0 16 16 0.842105263 28 2 0 17 19 1 29 0 0 0 0 0
平均值 13.4137931 0.705989111
从表中计算得到的2005年4月—2006年10月平均不可用水比例为y=70.5989%，将前
面理论计算的y1=67.6136%和y2=65.9183%取平均值y3=（y1+y2）/2=66.7660%，计算y与y3的百分误差，δ=（y-y3）/y=5.429%。可见由于某些客观原因，理论计算值与实际观测值有小幅偏差，误差在5%左右。
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模型的优缺点：
为解决三个实际问题，我们找到清晰的思路，采用最小二乘拟合法，以表格和图像的方式呈现出大量数据之间的内在联系，并通过整合与分析，找到了解决问题的方法。但在实际计算中，由于各种不确定因素的影响，使得数据有一定的震荡幅度，拟合法可能会与实际有所偏差。
参考文献
【1】 阳明盛、林建华 《Mathematica基础及数学软件》大连理工大学出版社 2006
年第二版
【2】 寿纪麟 年12月第一版
9
《数学建模—方法与范例》西安交通大学出版社 1993
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