HJB偏微分方程的数值计算

姓名：曹海峰申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：赵卫东

20090507

摘要Ｐａｒｄｏｕｘ和Ｐｅｎｇ在１９９０年首先证明了倒向随机微分方程解的存在性和唯一性【９】，即存在唯一的一对五一适应过程（Ｋ，五）∈Ｌ２（０，丁；Ｒ）×Ｈ２（Ｏ，Ｅ酞ｄ），满足下面的方程Ｋ＝荨＋Ｔ９（ｒ，Ｋ，４）ｄｒ—ＺｒｚｊｄＢ，，其中９满足：（ｉ）ｇ：【０，Ｔ】×ＲｘＲ并且９（·，０，０）∈Ｌ２，（ｉｉ）Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件：Ｖ（剪１，ｚ１），（秒２，Ｚ２）∈Ⅱ一，存在一个常数Ｃ＞０，满足１９（ｔ，∥１，Ｚ１）一ｇ（ｔ，沈，ｚ２）Ｉ≤Ｃ（１剪ｌ一抛ｌ＋ＩＺｌ—ｚ２Ｉ），和∈∈Ｌ；。利用倒向随机微分方程，彭实戈教授在１９９７年发现当生成元９满足条件ｇ（ｔ，Ｙ，０）＝ｏ时倒向随机微分方程的解具有很好的性质，从而他定义了一类非线性数学期望：９一期望，扩展了古典期望的定义。‘９一期望是一种拟线性期望，它不能包含完全非线性的情形。最近彭实戈教授在【１５】中引入了一般的时间相容的完全非线性期望和非线性马氏链，在［１６，１７］ｄ０则给出了Ｇ一期望的定义和性质。Ｇ．期望具有单调性、保常性、次可加性、正齐性和常数平移不变性。从而Ｇ一期望与相容风险度量：ｐ（ｘ）＝Ｅ［＿ｘ】的概念是等价的，详细内容可参见【１＿３】。Ｇ一期望和相应的条件Ｇ一期望可以定义动态风险度量。我们知道Ｇ一期望是通过一个特定的全非线性热方程产生的，它是一种非线性Ｈ丁Ｂ方程，而这种方程一般没有显式解，大多数情况我们只能借助数值方法来求解Ｈ，Ｂ方程。本文用有限差分方法离散Ｇ一期望对应的ＨＩＢ方程，提出ＨＩＢ方程的四种数值格式，然后进行数值求解分析所得数值解的误差。本文的组织安排如下：第一章简单介绍ＳＤＥ，ＢＳＤＥ，９－期望和Ｇ一期望的背景和应用。第二章着重说明Ｈ『Ｂ方程与最优控制的联系以及在金融中的应用。第三章提出Ｇ一期望对应的Ｈ邛方程的离散格式。ｎ第四章用一些数值试验说明所提格式的收敛性。关键词：倒向随机微分方程，Ｇ一期望，坷Ｂ方程，数值方法。ＡｂｓｔｒａｃｔＥ．ＰａｒｄｏｕｘａｎｄＳ．Ｐｅｎｇ，ｉｎ１９９０ｆｉｒｓｔｌｙｐｒｏｖｅｄｔｈｅｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓａｎｄｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｂａｃｋｗａｒｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ【９１，ｔｈａｔｉｓ，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓｕｎｉｑｕｅｐａｉｒｏｆ五－ａｄａｐｔｅｄｅｑｕａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ（Ｋ，五）∈￡２（０，丁；酞）×日２（ｏ、Ｔ；则），ｓａｔｉｓｆｉｅｄｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇＫ＝∈＋／Ｔ９（ｒ，巧，互）ｄｒ一／Ｔ磊ｄＢｌｒ，ｗｈｅｒｅｇｓａｔｉｓｆｉｅｄ（ｉ）ｇ：【０，叫×Ⅱ毫×Ｒ，ａｎｄ９（－，０，０）∈Ｌ２，（ｉｉ）ｔｈｅｅｘｉｓｔｓａＬｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎ：Ｖ（ｙｌ，ｚ１），（３『２，ｚ２）∈唰，ｔｈｅｒｅｃｏｎｓｔａｎｔＧ＞０，ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇＩｇ（ｔ，秒１，Ｚ１）一ａ（ｔ，珈，ｚ２）ｌＳｃ（１ｙ，一珈Ｉ＋１名ｌ—ｚ２Ｊ），ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌａｎｄ∈∈Ｌ争．Ｕｓｉｎｇｔｈｅｂａｃｋｗａｒｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＳｈｉｇｅＰｅｎｇｉｎ１９９７ｆｏｔｍｄｔｈａｔｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＢＳＤＥｅｑｕｉｐｐｅｄｖｅｒｙｇｏｏｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｗｈｅｎｇｅｎ－ｅｒａｔｏｒｓｓａｔｉｓｆｙａｓｐｅｃｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎ：ｇ（ｔ，秒，０）＝０，ｆｏｒ（ｔ，Ｙ）∈［０，ＴＩ×Ｒ，ａｎｄｔｈｅｎｈｅｄｅｆｉｎｅｄｋｉｎｄｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ【１４１：ｇ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｅｘｔｅｎｄｔｈｅｄｅｆ－ｉｎｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｇ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｉｓｅａｒａｑｕａｓｉ－ｌｉｎｅａｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅｆｕｌｌｙｎｏｎｌｉｎ－ｓｉｔｕａｔｉｏｎｃａｎｎｏｔｂｅｃｏｖｅｒｅｄ．Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＳｈｉｇｅＰｅｎｇｐｒｏｐｏｓｅｄｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌ五ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｓａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒＭａｒｋｏｖｉａｎｃｈａｉｎｓｉｎ［１５１，ｌａｔｅｒｈｅｇａｖｅｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＧ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ．Ｇ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｓａｔｉｓｆｉｅｓｔｈｅｐｒｏｐｅｒ．ｔｉｅｓｏｆｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ，ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｏｆｃｏｎｓｔａｎｔＳ，ｓｕｂ—ａｄｄｉｔｉｖｉｔｙ，ｐｏｓｉｔｉｖｅｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙａｎｄｃｏｎｓｔａｎｔｒｉｓｋｔｒａｎｓｌａｔａｂｉｌｉｔｙ．ＡｎｄＳＯＧ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｉｓｅｑｔｆｉｖａｌｅｎｔｒｅｆｅｒｔｈｅｔｏｔｈｅｎｏｔｉｏｎｏｆｃｏｈｅｒｅｎｔｍｅａｓｕｒｅ：ｐ（ｘ）＝Ｅ卜Ｘ】，ｗｅｒｅａｄｅｒｓ【１－３】ｆｏｒｄｅｔａｉｌｓ．Ｇ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｗｉｔｈａｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌＧ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｍａｋｅｓｄｙｎａｍｉｃｒｉｓｋｍｅａｓｕｒｅ．ＷｅｋｎｏｗｔｈａｔａｔｈｅＧ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｉｓｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙａｓｐｅｃｉｆｉｃｆｕｌｌｙｎｏｎｌｉｎｅａｒｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｉｓＩＩＩhttp://www.taobao43.net/list.php/50006843.html

ⅣｋｉｎｄｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒＨＪＢｅｑｕａ丘ｏｎ．Ｂｕｔｗｅ第０章Ａｂｓｔｒａｃｔｃａｎｎｏｔｇｅｔｅｘｐｌｉｃｉｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｓｕｃｈｅｑｕａｔｉｏｎｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｍ．ｇｅｎｅｒａｌｌｙ，ａｎｄｉｎｍｏｓｔｃａｓｅｓ，ｗｅｃａｎｏｎｌｙｒｅｌｙｏｎＩｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｗｅｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇＨＪＢｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＧ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｐｏｓｅｆｏｕｒｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｃｈｅｍｅｓｆｏｒｔｈｅＨＪＢｅｑｕａｔｉｏＫＴｈｅｎｗｅｓｏｌｖｅｔｈｅＩ－ＩＪＢｅｑｕａｔｉｏｎｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙａｎｄａｎａｌｙｚｅｔｈｅａｓｅｒｒｏｒｏｆｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｉｓｏｒｇａｎｉｚｅｄｆｏｌｌｏｗｓ：Ｃｈａｐｔｅｒ１ｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｂａｃｋｇＴｏｕｎｄａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆＳＤＥ，ＢＳＤＥ，ｇ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎａｎｄＧ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒｒｅａｌ２ｗｅｍａｉｎｌｙｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｏｆｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｉｎｔｈｅＨＪＢｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｏｐｔｉ—ｃｏｎｔｒｏｌ，ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＨＩＢｅｑｕａｔｉｏｎｆｉｎａｎｃｅａｒｅａｌｓｏｉｎｃｌｕｄｅｄ．ＩｎｃｈａｐｔｅｒＩｎ３ｗｅｐｒｏｐｏｓｅｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｄｓｃｈｅｍｅｏｆｕｓｅＨＪＢｅｑｕａｔｉｏｎｏｆＧ。ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ．ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｃｈａｐｔｅｒ４ｗｅｓｏｍｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｔｏｏｕｒｓｃｈｅｍｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂａｃｋｗａｒｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｇ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ＨＪＢｅｑｕａ－ｔｉｏｎ，ｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄ．http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：日耻竺趔关于学位论文使用授权的声明本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。（保密论文在解密后应遵守此规定）期：型／…～：姆新躲辎http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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第１章引言自Ｉｔ６于１９６１年首次发表“Ｏｉｌ．ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ”一文以来，随机微分方程（ＳＤＥ）的研究已有半个多世纪的历史，在Ｉｔ６公式和半鞅理论的作用下已经形成了一套相对成熟的理论体系。随机微分方程不仅有直接的应用背景，例如随机微分方程在经济金融，分子物理学，化学动力学，环境科学，群体遗传学，信号处理等多个领域得到应用，而且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、势论等有非常紧密的联系。随机微分方程的应用要求对方程的求解，然而只有很少一部分方程存在解析解，我们只能转而求数值解。已经有一系列的专著研究ＳＤＥ的数值解【６，７】。我们可以利用随机ＴａｙｌｏｒＪ畏开，得到高阶的格式，Ｉｔ６－Ｔａｙｌｏｒｌ畏开是ＣａＷａｇｎｅｒ＆Ｐｌａｔｅｎ（１９７８）．乖ｔｌＰｌａｔｅｎ＆Ｗａｇｎｅｒ（１９８２）建立的，用相同的方式可以建＿ｆｆ＿．Ｓｔｒａｔｏｎｏｖｉｃｈ．Ｔａｙｌｏｒ展开，但是不管是多重的Ｉｔ６．Ｔａｙｌｏｒ积分还是多重的Ｓｔｒａｔｏｎｏｖｉｃｈ－Ｔａｙｌｏｒ积分都非常复杂。我们还可以用标准的有限差分和有限元方法来求解ＳＤＥ，不过它们不适用于高维问题。由于经典Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ法的计算复杂度不依赖于问题的空间维数，我们可以用Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ方法解决高维问题，虽然它的精确度不高。与正向随机微分方程相比，倒向随机微方程（ＢＳＤＥ）的研究要滞后很多。这主要是因为它们在结构上有着本质的区别，人们难以从正向随机微分方程出发猜出倒向随机微分方程的形式。倒向随机微分方程的线性形式首先由Ｂｉｓｍｕｔ于１９７３年引入，而一般的非线性情况下的基本框架是Ｅ．Ｐａｒｄｏｕｘ丰ｔｌＰｅｎｇ在１９９０年的文章【９】提出并证明ＴＬｉｐｓｃｈｉｔｚ条．．件下倒向随机微分方程解的存在惟一性。著名经济学家Ｄｕｆｆｉｅ和ＩＥｐｓｔｅｉｎ在研究随机微分效用的过程中也独立地提出了倒向随机微分方程的一个特别典型的情况。在随后的十多年里，倒向随机微分方程理论在金融期权定价、随机最优控制、偏微分方程以及经济学等领域得到了广泛的应用。彭实戈教授在１９９１年得到了非线性Ｆｅｙｍａｎｎ－Ｋａｃ式【１１】，它给出了倒向随微分方程的解与一大类常见的非线性偏微分方程（组）的解之间的对应关系，从而为将来利用Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ型的随机计算方法计算大量的偏微分方程开辟了新的途径。在随机控制方面，彭实戈教授在［１０】中得到了非线性最优控制问题的一般随机最】http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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２第１章引言大值原理。１９９７年，Ｅ１．Ｋａｒｏｕｉ，Ｐｅｎｇ和Ｑｕｅｎｅｚ在【５】中详细介绍了倒向随机微分方程的微分性质以及在金融中的应用，从此倒向随机微分方程被广泛的运用于金融理论的研究中。随后彭实戈教授发现当倒向随机微分方程的生成元９满足条件夕（ｔ，可，０）＝０时它的解具有很好的性质，从而他定义了一类非线性数学期望：９．期望，扩展了古典期望的定义。９一期望定义在一个给定的线性概率空间上，它是一般的线性数学期望的扩展，它几乎保存了除线性性质以外的其他所有期望的性质，故它是一种拟线性期望，不能包含完全非线性的情形。最近彭实戈教授在［１５】中引入了一般的时间相容的完全非线性期望和非线性马氏链，在［１６，１７１中则给出了Ｇ一期望的定义和性质。Ｇ．期望不是在给定的概率空间上定义的，我们首先定义随机变量的一种非线性分布一Ｇ一正态分布。对一个给定的正数他，我们用ｆ咖（黔）表示Ｒｎ上所有的有界并且满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件的实函数组成的空间。一维的标准Ｇ·正态分布是定义在ｌｉｐ（Ｎ）上的一个非线性期望：ＰＦ（妒）＝ｕ（１，０）：妒∈Ｕｐ（Ｒ）—，酞（１．１）其中札是【ｏ，１】×酞上的连续有界函数，并且是下面非线性抛物形偏微分方程的粘性解，警一Ｇ（象）＝ｏ＇ｕ（０’牡妒川㈡∈［ｏ，ｏ。）×酞其中Ｇ（口）＝｛（ｎ＋一靠口一），０＂０∈【０，１】是固定的常数，矿＝ｍａｘ｛Ｏ，口＞，ａ一＝（一口）＋。（１．２）我们注意到函数Ｇ可以写为Ｇ（口）＝｛ｓｕｐａ。９≤ｌｏ－２ａ。上面的非线性热方程是一种特殊的Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ—Ｂｅｌｌｍａｎ方程。当ｃｒ０＝１时，上面的偏微分方程变为标准的热方程，Ｇ·正态分布成为古典的标准正态分布Ｎ（０，１）：砰（沪踯）＝而１仁ｅ一譬∞№（１．３）我们ｉＳＧ－正态分布为ⅣＧ（ｏ，｛ｌ，爵）），相应的均值为Ｘ∈Ｒ方差为ｔ＞ｏ的Ｇ一正态分布为砰（妒＠＋析×·）），我们把它记为华（ｐ）＠），它是上面初值条件为ｕ（ｏ，·）＝妒（·）的热方程的粘性解。http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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山东大学硕士学位论文３通过Ｇ．正态分布我们引进点则过程被称为Ｇ一布朗运动的Ｇ一期望。具体定义见【１６】的定义９和定义１０，Ｇ．正态分布具有单调性、保常性、次可加性、正齐性和常数平移不变性。而且对于特殊的≯∈ｌ印假），我们有如下的性质：命题．１．１：如果≯是凸函数，则吼）＝去仁∞）ｅｘｐ（一－一ｆｆ）ｄｘ如果妒是凹函数，则（１．４）砰（妒）＝去仁∞）ｅｘｐ（一獗Ｘ２）如（１．５）事实上，当函数妒∈ｆｔｐ（酞）为凸（凹）的时，ｕ关于ｚ也是凸（凹）的，从而器＞ｏ（＜ｏ），上面的热方程变为线性形式，这时Ｇ一正态分布也变为古典的正态分布。不同的是当妒是凸函数的时候，Ｇ．正态分布的方差为亡，当函数汐是凹函数的时候，Ｇ一正态分布的方差为靠ｔ。对于一般的函数，当它在整个定义域上不是凸函数或凹函数时，我们并不能给出它的Ｇ．正态分布的显示形式。也就是说，这时的非线性热方程不存在显示解，所以我们将借助数值方法来求解Ｇ．正态分布对应的非线性ＨＩＢ方程。在下一章中我们将详细介绍这一类方程。http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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第２章ＨＪＢ偏微分方程Ｒ．Ｂｅｌｌｍａｎ的动态规划和Ｌ．Ｓ．Ｐｏｎｔｒｙａｇｉｎ的最大值原理是研究最优控制系统设计问题的两个基本方法，它们诞生于２０世纪５０年代，和Ｒ．Ｅ．Ｋａｌｍａｎ的递推滤波理论成为控制理论发展的里程碑。动态规划方法处理动态系统的最优控制问题的关键是将系统的初值作为参数，然后利用最优目标泛函（值函数）的性质，得到值函数满足的动态规划方程。它本质上告诉人们：整体最优必局部最优。这个一般的原理常被称作最优性原理。动态规划方程是一个函数方程，直接求解几乎是不可能的。进一步的形式推导可以得到一个非线性偏微分方程，该方程称作Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ．Ｂｅｌｌｍａｎ方程（简称ＨＩＢ方程），它在确定情形下是一阶的，在随机情形下是二阶的。§２．１经典最优控制问题的动态规划方法现实生活中最优控制问题几乎是无处不在的，各种最优控制问题的表述形式尽管可以千差万别，但总离不开两个要素，一个是所谓的状态方程及约束，另一个是所谓的性能指标。我们先给出经典最优控制问题的提法，它的状态方程是一个常微分方程（组）。设Ⅱｐ为ｎ维欧式空间，任何ｚ∈酞ｎ称为状态变量，而ｍ维欧式空间Ｒｍ中的向量札称为控制变量。令Ｘｃ瓞ｎ，ＱＣ黔ＸＲｎ，ＵＣ酞ｍ，它们分别称为状态约束集、端点约束集和控制约束集。设ｆ：【０，Ｔ］ＸＲｎ×酞ｍ＿瓞“，９：［０，Ｔ】×Ｒｎ×Ｒｍ＿Ｒ，ｈ：Ｘ＿Ｒ为给定的函数。定义下述方程为受控系统的状态方程：ｙ（ｔ）＝ｆ（ｔ，３，（￡），札（亡）），亡∈【ｏ，Ｔ】．其中（２．１）札（·）∈彩［０，Ｔ】三｛ｕ（·）：【０，Ｔ】＿以ｕ（·）是可测的］．我们常称上述的让（·）为控制函数，称满足（２．１）的剪（·）为系统的一条轨线。４http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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５定义２．１：且端点约束称（！『（·），ｕ（·））∈Ｇ（［０，Ｔ】；Ｒｎ）×彩ｆｏ，丁】为一个容许对，如果（２．ｉ）式满足，（可（０），可（Ｔ））∈Ｑ，以及状态约束ｙ（ｔ）∈Ｘ，Ｖｔ∈【０，Ｔ】均满足，又使得夕（·，秽（·），ｔ‘（·））∈Ｌ１（０，丁）．此时，称可（·）和ｕ（·）分别为容许轨线和容许控制．设∥为容许对全体。今定义性能指标为，ＴＪ（秒（·），ｕ（·））＝／９（ｔ，可（￡），ｕ（ｔ））ｄｔ＋＾（可（Ｔ）），‘，０Ｖ（箩（·），ｕ（·））∈∥．那么最优控制问题可叙述如下：问题Ｄ：寻找（剪＋（·），钆＋（·））∈∥，使得ＪＣｙ＋（咖＋（·））：ｉ龋ｎｆＪＣｙ（。），ｕ（‘）），若上述的（秒＋（·），ｕ＋（·））存在，分别称Ｙ＋（·）、乱＋（·）和（秒＋（·），札＋（·））为最优轨线、最优控制和最优对。当所涉及的问题中要求泛函的最大值时，可将泛函乘以（一１），然后求最小值。显然，所得的问题与原问题等价。下面我们将考虑一般的无终端约束、无状态约束的连续时间经典最优控制问题。http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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６９２章－：ＨＩＢＮ微分方程任取ｔ∈［０，丁），Ｘ∈酞ｎ，考虑下述系统｛：｛：三二‘ｓ，秒（ｓ），札（ｓ），函数ｇ：【０，Ｔ】×酞ｎＸｓ∈陋，Ｔ】’ｃ２．２，此处，，：［０，Ｔ】×Ｒｎ×Ｕ．÷酞ｎ，Ｕ∈孵ｎ为一个Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测集，而乱（－）∈够陂卅三（札（·）：陋，Ｔ】一以ｔ￡（·）可测｝．Ｕ＿Ｒ，ｈ：Ｒｎ—Ｒ。我们对函数，、夕和＾作如下假设：假设２．１：函数，，ｇ署ｌｌｈ均是连续的，且存在常数Ｌ＞０，以及连续函数埘：瓞＋ＸＲ＋＿酞＋（瓞＋三［０，ｏｏ）），它关于其每个变量均单调增加，满足ｗ（ｒ，０）＝０，Ｖｒ≥０，使得下述成立：ｇｔ，≠∈ｆ０，Ｔ】，ｚ，仝∈Ｒｎ，缸∈Ｕ，｛：：二：：：三：二；Ｉ：兰ｉ：：Ｉ兰盂．ＬＩｌｚ一宕｜Ｉ＋伽（ＩｚｌＩｇ（ｔ，Ｘ，Ｕ）一ｇ（ｉ，宕，Ｉｔ）Ｉ≤ｗ（１ｌｘｌｌＩｈ（ｘ）一＾（仝）ＩＳＶＶＩｌ宕ｌｌ，ｌ亡一司）＇．ｃ２．３，Ｉｌｅｌｌ，ｌＩｘ一岔０十Ｉｔ—ｉｌ），（２．４）ｗ（１ｌｘｌＩＶＩｌｅｌｌ，ＩＩｘ一童ＩＩ），ｌｇ（ｔ，０，ｕ）ｌ，ｆ＾（ｏ）Ｉ≤Ｌ．在假设２．Ｉｉ下，对任何的“（·）∈彩【亡，Ｔ】以及ｚ∈Ｒｎ，（２．２）式存在唯一解，记作玑，卫（·）兰玑，霉（·；札（·））。然后，定义性能指标为：，Ｔ以，茹（札（·））＝／９（７．，Ｙｔ，￡（ｒ；乱（·）），ｕ（ｒ））ｄｒ＋ｈ（ｙｔ，茁（Ｔ））．Ｊｔ（２．５）对这种无终端约束无状态约柬的情况我们可以提出下述的最优控制问题。http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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问题Ｄ红：对任何给定的（亡，ｚ）∈【０，Ｔ）×Ｒｎ，寻找ｕ’（·）∈彩陋，Ｔ】’使得五，霉（ｕ＋（．））２０晶划札（‘））·在问题Ｄ虹中，取（ｔ，ｚ）＝（０．ｚｏ），即得问题Ｄ。因此，在假设２．１Ｔ，问题Ｄ是问题Ｄ。茁的一个子问题。这种通过整体的（关于时间ｔ而言）研究问题仇王，从而得到问题Ｄ的解的ｏ蹋矗小·”’Ⅵ厶小【０’ＴＨⅣ’卜神２Ｉ掣∽ｚ）＝九（ｚ），比∈黔．命题２．２：（２．６）存在连续函数口：Ｒ＋一Ｒ＋和面：酞＋×酞＋＿瓞＋，面关于每个变量均单移（ｔ，ｚ）Ｉ≤Ｃ（１ｌｚｌｌ），ｖ（ｔ，ｚ）∈【０，Ｔ】×Ⅱ跫ｎ，钞（ｔ，ｚ）一ｔ７（￡仝）Ｉ≤ｗ（１ｌｘｌｌＶ１１．仝１１，ＩＩｘ一仝｜Ｉ＋Ｉｔ—ｉｌ），Ｖｔ，￡∈【ｏ，Ｔ），ｚ，童∈酞ｎ．下面的定理给出了值函数应该满足的一个必要条件。定理２．１：对任何（￡，ｚ）∈［０，Ｔ）×Ｒｎ以及ｓ∈扛，邪，下述等式成立：吣，引＝讣脚ｉｎｆ州＜Ｚ３如帆ｚ（ｎ巾））打州锨√ｓ）））．上式中玑，聋（·）＝纨，霉（·；ｕ（·））．（２．７）定理２．１称为最优性原理，它告诉我们“整体最优必是局部最优的”。值函数￡心ｊｚ）满足形如（２。７）的方ｌｉ。显然，这样的方程几乎是没有办法求解的。因此，我们期望由此能够导出形式比较简单的关于可（·，·）的方程。http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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８定理２．２：设值函数ｕ（·，·）∈Ｃ１（【ｏ，卅ＸＲｎ），则它满足下述Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ—Ｂｅｌｌｍａｎ方程：ｖｄｔ，ｚ）十Ｈ（ｔ，Ｘ，％（￡，ｚ））＝０，（ｔ，。）∈【０，Ｔ）×Ⅱ匙ｎ，（２．８）ｖ（Ｔ，ｚ）＝＾（ｏ），ｚ∈Ⅱ跫ｎ．其中Ｈ（ｔ，ｚ，Ｐ）＝ｉ婴￡｛（ｐ，，（亡，ｚ，ｕ））＋ｇ（ｔ，ｚ，札）｝，ｖ（ｔ，ｚ，Ｐ）∈【０，Ｔ】ＸＲｎ×Ⅱ跫ｎ．（２．９）函数日（亡，ｚ，ｐ）常被称为Ｈ锄ｉｌｔｏｎ函数，它是关ｑ－（ｔ，ｚ，ｐ）连续的。（２．８）中的方程式一个一阶偏微分方程。直观的看，它要比（２．７）简单一些。§２．２随机最优控制问题的动态规划方法（Ｑ，芦，（五｝ｔ＞０，Ｐ）是一个给定的满足通常条件的概率空间，在它上面定义一个仇维的标准布朗运动Ⅳ（ｔ）。随机最优控制的状态方程是具有下面形式的随机微分方程：㈣≥㈣，ｔ‘（州¨邢州线毗Ⅲ叭札唧，丁】，定义性能指标为仁埘ｕ（·）∈彩３【０，碉兰（札（·）：［０，Ｔ】ＸＱ一弘ｔ‘（·）是可测的且是＜五｝ｔ≥ｏ适应的｝小（．））＝Ｅ＜ＺＴｍ一班础））出＋№（Ｔ）））．其中Ｅ是关于概率Ｐ的数学期望。在某些特定的假设下，对任意的“（·）∈彩８【ｏ，丁】＇方程（２．１（））存在唯一解，此时的最优控制问题可叙述如下：http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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山东大学硕士学位论文９问题Ｓ：在彩８【ｏ，Ｔｌ＿ｋ最ｄ、化状态方程为（２．１（ｊ）的受控系统的性能指标Ｊ（钆（·））．给定Ｔ＞０，设ｕ是一个距离空间。对任意的（ｓ：Ｙ）∈［０，Ｔ）×Ｒｎ，考虑下面的状态方僻？∽州圳蚺∞拟班ｔｌ（啪删㈣雕姐】，Ｊ（ｓ，ｙ；ｕ（·））＝Ｅ｛／Ｔ，（ｔ，ｚ（￡），札（亡））ｄｔ＋『ｌ（ｚ（Ｔ）））．亿㈣固定ｓ∈【０，Ｔ），我们定义元素为（Ｑ，芦，Ｐ，Ⅳ（·），ｕ（·））的集合彩钟８，Ｔ】满足下面的条件：·（Ｑ，，，Ｐ）是完备的概率空间。·｛ｗ（ｔ））Ｑ。是定义在（Ｑ，歹，Ｐ）上的ｍ维标准布朗运动，Ⅳ（ｓ）＝０，８＝ｏ｛Ｗ（ｒ）：８≤ｒ≤￡）并且包含芦中的所有Ｐ－零集。·ｔ‘：【８，Ｔ】ＸＱ＿Ｕ是（Ｑ，芦，Ｐ）上的｛霉）￡＞。适应过程。·对任意的秒∈Ｒ“，方程（２．１１）在（Ｑ，芦，｛８｝晓。Ｐ）上有唯一的解ｚ（·）。·，（·，ｚ（·），ｕ（·））∈Ｌ１。ｙ（Ｏ，Ｔ；Ｒ），＾（ｚ（Ｔ））∈￡ｂ（Ｑ：Ｒ）．在不引起混淆的情况下，我们把（Ｑ，，，Ｐ，Ⅳ（·），牡（·））∈钐埘［ｓ，Ｔ】简单的记作ｕ（·）∈彩埘【ｓ，ｊｆｌ】。我们的最优控制问题可以作如下的描述：问题Ｓｙ：对给定的（ｓ，秒）∈【０，Ｔ）×Ｒｎ，寻找五元组祝（·）兰（Ｑ，声，ｐ，彬（·），雹（．））∈彩ｗＩｓ，ｒｌ使得Ｊ（ｓ，掣；霞（‘））＝，“．１∈ｉ彩ｎｆ。ｐ，？】Ｊ（ｓ，秒；戗（‘））ｔ‘（·Ｊ∈掣”｛ｓ，引我们对函数６（厶ｚ，ｔ‘），盯（亡，ｚ，ｔ‘），ｆ（ｔ，。，札），＾（ｚ）作如下的假设：http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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１０第２章ＨＪＢＩ寓微分方程假设２．２：（∽ｄ）是波兰空间，Ｔ＞０，函数６：【０，Ｔ】×Ｒ“×Ｕ＿１Ｒ“，伊：【０，列×Ｒｎ×Ｕ＿酞似ｍ，，：【０，卅×酞ｎ×Ｕ一瓞，ｈ：酞ｎ一酞均一致连续，且存在常数Ｌ＞ｏ使得ｘＣ：（ｔ，ｚ，扎）＝ｂ（ｔ，ｚ，乱），仃（亡：ｚ，札），ｆ（ｔ，茹，ｔ‘），＾＠）下述成立：｛：三：三ｉ二；ｌ二：ｊ’未支：！三三Ｉｘ［。，－丁：】／：Ｉ二ｊ。∈【０‘丁】’ｚ，宕∈酞ｎ’ｕ∈以在假设２．２Ｔ，对任意的（ｓ，Ｙ）∈［ｏ，Ｔ）ＸＲ”和ｕ（·）∈彩址’［ｓ’Ｔ】’方程（２．１１）有唯一解。我们定义问题Ｓ的值函数如下：｛以舢卜¨蕊秒Ⅲ计”’Ｖ。彬磨【ｏ，丁Ｈ黔’Ｉｙ∽Ｙ）＝＾（秒），Ｖｙ∈黔，下面的命题给出了值函数的一些基本性质（２．１２）命题２．３：假设２。２成立，那么值函数ｙ（ｓ，可）满足：ｖ（ｓ，秒）ｌ≤Ｋ（１＋Ｉｙｌ），ｖ（ｓ，Ｙ）∈［０，Ｔ】×Ｒｎ，Ｖ（ｓ，Ｙ）一ｙ（§，雪）Ｉ≤Ｋ｛ｌｙ一雪Ｉ＋（１＋１秒ｌＶＩ雪１）ｌｓ一§１１／２），Ｖｓ．§∈［０，丁】，Ｙ，多∈酞ｎ．下面的定理称为随机控制问题的最优性原理。定理２．３：假设２．２Ａ立，那么对任意的（８，Ｙ）∈【０，Ｔ）Ｘ豫ｎ，下述等式成立：ｙ（ｓ，秒）＝ｕ（．）∈ｉｎｆＥ｛Ｊ。，（亡，ｚ（。；ｓ，剪，ｕ（·）），ｕ（。））ｄ‘＋ｙ（§，ｚ（§；ｓ，夕，札（·）））），Ｖ０≤ｓ≤§≤Ｔ．（２．１３）http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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山东大学硕士学位论文１１我们称（２．１３）Ｙ潲机动态规划方程，它显然比方程（２７）更复杂，不能直接求解。下面的命题给出Ｔｖ｛·，·）满足的形式比较简单的偏微分方程。我们用Ｇ１，２（【ｏ，Ｔ】×Ｒｎ）表示所有连续函数ｕ：［０，卅×Ｒｎ＿Ｒ的集合使得Ｖｔ，ｖｚＮＩｖｚ霉在（￡，ｚ）处均连续。命题２．４：终值问题的解：假设２．２成立且值函数ｙ∈Ｃ１，２（【ｏ，Ｔ１×Ｒ－），则ｙ是下面二阶偏微分方程一Ｋ十ｓｕｐＧ（ｔ，ｚ，ｕ，一Ｋ，一‰）＝０，ｕ∈ｕ（ｔ，ｚ）∈。【ｏ，Ｔ）×Ⅱｐ，（２．１４）ｙｌｔ型ｒ＝＾（ｚ），其中ｚ∈Ⅱｐ，Ｇ（亡，ｚ，也，ｐ，ｐ）ａ互ｉｔｒ（Ｐ∥（亡，ｚ，乱）盯（ｔ，Ｘ，Ｉｔ）Ｔ）十（ｐ，６（￡，ｚ，ｔ１））一ｌ（ｔ，ｘ，ｕ），ｖ（ｔ，ｚ，ｔ‘，Ｐ，Ｐ）∈【０，Ｔ】×ＲｎＸＵ×Ⅱ廷ｎ×８ｎ．我们称（２．１４）ｙ寸问题Ｓ的ＨａｍｉｌｔｏｎＪａｃｏｂｉ—Ｂｅｌｌｍａｎ方程。函数ａ（ｔ，ｚ，ｕ，Ｐ，Ｐ）称为广义Ｈ抓ｉｌｔｏｎ函数。当盯（￡，ｚ，ｕ）兰０时，（２．１４）就成为（２．８）。§２．３ＨＪＢ方程在金融中的应用本节我们给出Ｈ，Ｂ方程在最优投资策略和期权定价中应用的几个例子。例２．１：（Ｍｅｒｔｏｎ模型）我们假定一个完备的金融市场中有２种资产在连续的交易，第１种为无风险债券，另外一种为股票。记债券的价格过程为Ｐ（·），在０≤ｔ≤８≤Ｔ上，假定它满足如下的常微分方程：ｄＰ，＝ｒ只ｄｓ，Ｒ＝Ｐ＞０，（２．１５）http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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其中ｒ称为短期利率。我们记股票的价格为Ｓ（·），它在［ｏ．ｒ】上是一个扩散过程，在０≤ｔ≤８≤Ｔ上，满足如下的随机微分方程：ｄＳｓ＝口Ｓｄｓ＋ａＳ，ｄ帆（２．１６）＆＝Ｓ＞０．市场参数弘和盯分别称为平均回报率和波动率。假定／．ｔ＞ｒ＞０，∥＞０。巩是定义在概率空间（Ｑ，，，Ｐ）上的标准布朗运动。财富过程满足Ｋ＝砖＋？ｒｓ，以和几分别表示投资者在时刻ｓ持有无风险债券和股票的市值。由价格方程（２。｜ｌＳ）和（２，１６）容易推得财富过程满足的方程为：ｄＸｓ＝ｒ咒ｄｓ＋（肛一ｒ）７ｒｓｄｓ＋ａｒ，ｄＷ。．（２．１７）财富过程墨必须满足如下的状态约束：咒≤０，ａ．ｅ．ｔ≤８≤Ｔ．（２．１８）记只＝∥（帆；ｔ≤札≤ｓ）。控制７ｒｓ，ｔ≤ｓ≤Ｔ称为容许的，如果它是五循序可测的满足ＥＦ程幽＜。。且使得状态约束（２．１８）成立，就。我们用Ａ表示所有容许策略组成的集我们定义值函数为：ｕ（ｔ，ｚ）＝ｓｕｐＥ［Ｕ（ＸＴ）ｌｘｔ＝ｚ】，（２．１９）Ａ其中Ｕ：Ｒ＋＿Ｒ十是描述个人偏好的效用函数。则值函数Ｍ（ｔ，ｚ）∈Ｃ１，２（【０，Ｔ】Ｘ（０，。。））是http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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１３如下ＨＪＢ方程的唯一解札十叭丌Ｕ¨，●，如１—２丌Ｕ；耄十ｍ∞一ｒ丌ｋ卜彻Ｚ＝ｎＵ＝０￡∈（２．２０）ｒＵ，ｐｐ７ｒ∞｜ＩＵ∽ｋｕ仉详细证明过程可参见【４】．例２．２：（Ｐａｓｓｐｏｒｔ，Ｓ）（Ｑ，歹，｛五｝亡≥０，Ｐ）是一个给定的带信息族的概率空间，在有限区间［０，Ｔ】上定义一个标准布朗运动Ⅳ＝（暇，ｔ≥ｏ），Ｐ是概率侧度。我们仍然考虑两种资产，无风险债券Ｂ和股票Ｓ，价格过程（Ｂ，Ｓ）由如下的方程式确定Ｅ＝二…书（２．２１）ｒ，肛，Ｑ，仃均为常数，分别表示无风险债券利率、股票Ｓ的回报率、红利率和波动率。我们假定盯＞０，肛＞口和ｒ＞Ｑ。进一步我们定义“风险市场价格”口＝孚，则此时市场是完备的并且价格模型（Ｂ，Ｓ）是无套利的。价格过程的无套利意味着在（Ｑ，，）上Ｐ的等价概率测度ＰＢ使得贴现价格过程（１，酬Ｂ）在ＰＢ下是一个五鞅。由市场的完备性知鞅测度ＰＢ是唯一的。两个概率测度Ｐ和ＰＢ等价时说它们在（Ｑ，芦）上有相同的零测集。由Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理，再可测的Ｒａｄｏｎ—Ｎｉｋｏｄｙｍ导数人∽，ｔ）＝ｄｆ名（牡，）／ｄＰ∽）对（训，ｔ）∈Ｑ×【０，Ｆ】存在，可写成下面的形式Ⅷ，＝ｅｘｐ（一Ｚ。等ｄ眦一ｊ１／ｏ‘Ｉ孚阳ｓ）在这个新概率测度ＰＢ下，（２．２２）时＝／ｏ。孚蚺姒，吲咽http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

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１４是一个％．布朗运动。股票价格Ｓ可用ⅣＢ如下表示６ｆ＆＝（ｒ—ａ）Ｓ，ｄｔ＋盯Ｓ，ｄＷ２．（２．２３）Ｉ扫Ｉｔ６公式，我们从（２．２ｉ）和（２．２３）ｇ知，贴现股票价格＆＝ｅ－－ｔｑ；＆是（五，ＰＢ）鞅并且满足ｄ§ｔ－叮§ｔｄｗ？。下面我们考虑欧式ｐａｓＳｐｏｒｔ期权的定价问题。我们用ｘｕ＝（掣，ｔ≥０）表示交易者创建的一个交易帐户，它的值取决于股票Ｓ的样本路径和一个五可料的交易策略Ｕ∈Ｕ∈Ｒ，让ｔ表示ｔ时刻股票的数量。假设给定了交易帐户Ｘｕ的初值Ｘ，交易策略ｕ满足一定的条件，则交易帐户掣在ｔ∈【ｏ，Ｔ】时刻的值由下式决定ｘ芒＝ｚ＋ｔｕ，ｄＳｓ．（２．２４）对任意的ｕ∈Ｕ，∞∈Ｒ和￡∈［０，Ｔ】’我们假定随机过程霹满２：ＥＰ［ＩＸ：１２］＜。。。考虑下面的期权价格函数矿：Ｑ×【０，Ｔ】＿酞＋其中Ｑ：＝Ｒ十×Ｒ，这里我们假设对给定的交易策略Ｕ，期权价格ｙ“在［ｏ，丁Ｊ上仅依赖于＆和置．我们的目的是确定期权的初始价格ｚ，即ｙ“（Ｓ，ｘ，０）＝ｚ，在到期ＥｔＴ．，ｖ（ｓ，ｘ，Ｔ）＝ｍａｘ｛碍，ｏ）。我们作如下的记号：，（＆＾）＝（（（ｒｒ－一咖ａ）Ｓ∥ｔ、Ｉａｎｄ啪＾，＝（基）http://www.taobao43.net/list.php/50006842.html

１５交易帐户过程和股票价格过程可以写为如下的向量形式：ｄ（（＆，咒）Ｔ）＝ｆ（Ｓｔ，Ｘ。）ｄｒ＋盯（＆，ｊ己）ｄＷ≯，ｔ∈［０，Ｔ１．对函数Ｖ’我们引入下面的偏微分算子Ａ，∥＝ＤＶ·，十产１ｃｅ（（口２ｙ）仃仃Ｔ）Ｄ是ｙ关于向ｍ（ｓ，Ｘ）Ｔ的梯度算子，Ｄ２是Ｈｅｓｓｉａｎ算子。这里我们假定所有用到的导数萄，３存在ｍ牲Ｉ）Ｖ小（ｒ刊ｓ丽ＯＶ＋（ｒ刊札尝，，，【扣ｃｃ姗∥一１栅２（豢拙袅Ⅳ筹）在市场完备和无套利的条件下，假定，（ＳＸ）和盯（Ｓ，Ｘ）满足一定的正则性条件，可以证明在时刻亡∈【０，卅的期权价格ｙ（ＳＸ，ｔ）由下式确定，ｖ（ｓ，Ｘ，亡）＝ｓｕｐＶ。（Ｓ，Ｘ，ｔ）＝ｓｕｐＥｐＢ［ｅ一７（Ｔ一“ｍａｘ｛Ｘ；＇，ｏ）Ｉ五】（２．２５）受控于如下的状态方程，｛ｄ以Ｓ＆ｔ＝：（。ｒ－一ａＱ），Ｓｕｔ。ｄ砒ｔ＋ａｕＳ。仃ｔｄ．筑Ｗｄｔｗｓ，≯，＆三二ｚ．（２．２６）（２．２Ｓ）式基于鞅方法的证明可参见【８】。求解（２．２５）和（２．２６）是一个典型的最优控制问题。假设ｙ是连续的，可以证明ｙ（ＳＸ，ｔ）是下面ＨＪＢ方程的粘性解，，－－薯－（Ｓ，Ｘ，ｔ）＋ｓ～ｕｐ｛Ａｙ（ｓｘ，ｔ，）：ｒｙｃｓ，ｘ，啦ｌ（２．２７）ｙ（ｓ＾丁）：ｍ觚ｍ，０｝．１６第２章ＨＪＢＮ徽分方程例２．３：（关卡期权）关卡期权（挡板期权，障碍期权）是这样一张欧式期权合约，它的最终收益除了依赖于原生资产在期权到期日的价格，还与原生资产价格在整个期权有效期内是否达到某一规定水平（人们称为关卡值（ｂａｒｒｉｅｒ））有关。我们考虑上升敲出关卡期权，这类期权当原生资产价格达到规定关卡时，期权终止有效且在期权的有效期内原生资产价格小于关卡值。我们设原生资产为股票，０≤ｔ≤Ｔ，＆＝ｚ，并且在ｔ时刻之前股票价格没有达到关卡值，那么上升敲出关卡期权的价格过程是一个适应过程，满足终值条件硌＝（曲一Ｋ）ｌｔｒ＞Ｔ｝这里Ｋ是期权的敲定价格，７．是过程＆首次达到障碍日的时刻，即ｒ＝ｉｎｆ｛ｔ≥ｏ；＆≥日）假设Ｐ是风险中性概率，０＜Ｋ＜Ｈ，则初始股票价格为ｚ的ｔ时刻敲出关卡期权的值Ｊ（ｔ，ｚ；盯）＝Ｅ【（爵三：孑一Ｋ）＋１｛，＞（ｒ—ｃ）｝】，０＜ｔ＜Ｔ对波动率是常数的情况，吼＝仃，（２２飞）的显式解可由布朗运动的反射原理得到，详见【１８】。（２．２Ｓ）还是如下有终端值和边界条件的偏微分方程的解瓦０秽（∽）＋耖Ｅ２砸Ｏｑ２郇（∽）＝。，。≤ｔ＜丁，。≤ｚ＜日ｖ（Ｔ，ｚ）＝（ｚ—Ｋ）＋，０≤ｚ＜Ｈｖ（ｔ，Ｈ）＝０，０≤ｔ＜Ｔ．现在我们假定波动率是在一个区间上变化的，即砚∈Ｉ＝ｆ仉喇ｎ，‰】此时的波动率可以被看为一个寻找最坏和最好关卡期权价格的一个控制。由于期权出售者不知道真实的波动率，所以他将用一个区间上的价格去估计一个公平的期权价格，这个区间就是容许价格区间。因此，我们认为未定权益的价格在下面的区间内ｔＪ－（厶磷一’盯）≤《≤口＋（亡，磷声∥），其中Ｖ－（ｔ，磷芦芦）＝ｉ鲢Ｅ［（离写一Ｋ）＋１｛ｒ＞（ｒ—ｔ）｝】，仃ｔ１矿（￡，霹≯一）＝ｓｕＰＥ【（路ｔ，ｘ一’。ｔｒ—Ｋ）＋ｌｔ，＞（ｒ一￡）小寸亡』此时的期权价格是下面坷Ｂ方程的解缸卅圭溜ｐ最小㈡卜唆＜Ｔ，啦＜日ｔ７（Ｅｚ）：（。一Ｋ）＋，０≤ｚ＜Ｈｖ（ｔ，Ｈ）＝ｏ＾’０≤ｔ＜Ｔ。方程（２．２９）也被称为Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ—Ｂａｒｅｎｂｌａｔｔ方程（ＢＳＢ方程）。作变换（２·２９）剪＝ｌｎ砉，口＝肌第２章ＨＩＢ｛商徽分方程则方程（２。２９）可化为：缸州＋耙ｐ釉锄，）＝０，唆＜丁．一。。＜删，乜（丁，可）＝（ｅ掣一菩）十，ｕ（ｔ，０）＝０，０≤ｔ＜Ｔ利用镜像法，定义一。ｏ＜３ｆ＜ｏ（２．３０）的，怔≥≥易见妒（秒）＝一妒（一秒），即够（秒）是奇函数。在（可∈酞，０≤ｔ≤Ｔ）上考虑Ｃａｕｃｈｙ问题：ｊ去札ｃｔ，秒，十三富酱｛砖寻札＠，秒，）＝。，。≤亡＜Ｅ箩∈Ｒ，Ｉｕ（Ｔ，Ｙ）＝妒（可），箩∈Ｒ它在Ｄ：｛ｚ∈（一００，０），０≤ｔ≤Ｔ）的限制适合定解问题（２．３０）。。２．３１，第３章ＨＪＢ方程的离散格式§３．１问题的提出在例２．３中，令露刮券灶则方程（２．３１）可以写为：晚茁，＞一Ｏ屯，塑裁矿‰一圹气一旷＜ｎ』筹＋三屯（雾）＋＿》１２（券）一－ｏ，唆＜Ｅ脚，ｌｕ（Ｔ，Ｙ）＝妒（秒），Ｙ∈Ｒ波动率的选择依赖于券ａ本节我们考虑Ｇ一期望对应的Ｈ，Ｂ方程的离散格式。我们用有限差分方法离散如下的ＨＩＢ方程，祟刊舰，耄）耄，￡∈【ｏ，Ｔ１（ａｏ，仃ｌ，丽Ｊ丽’瓦２ｏ‘∈【ｕ’Ｉ，ｚ∈（喵。ｏ），ｚ∈ｔ—ｏ。’。ｏ）’（３．１）ｕ（ｏ，ｚ）＝妒（ｚ）．其中印，仃１是正常数，０＜ｏ＇ｏ＜０＂Ｉ＜００，且咖栅㈡＝｛：半这里１Ａ是示性函数。ｏ＜０．需＞０．ｚ＝０．（３．２）为简化记号我们分别用ｕ。和札ｚ￡表示象和象，贝Ｉｌａ（ｚｏ，仃１沌档）还可以写为，Ｑ（州ｌ川＝ｋ刊勋＋ｋ洲叶ｋ剁）半，１９（３．３）第３章ＨＴＢ方程的离散格式众所周知，差分方法是通过用差。两代替微商对方程以及定解问题离散化。如果３『＝，（ｚ）充分光滑，那么用差商来代替．厂’（ｚ）和，Ⅳ（ｚ）有以下几种典型的格式，向前差商向后差商心≈丛掣，删≈塑掣，州≈丛唑拶，二卿心差商州≈丛坐譬磐型．中心差商由ＴａｙｌＯｒ展开，我们知道向前和向后差商的误差是１阶的，而中心差商和二级中心差商具有２阶误差。建立与偏微分方程相应的差分格式有多种方式，从求解的方式来划分可以分为两大类，一类是显式差分格式，求解的过程是显示的，通过直接运算求出它的值；另一类是隐式差分格式，求解的过程必须通过求解一个代数方程组才能得到它的值。为建立（３．ｊ）的差分格式，首先在区域｛一∞＜ｚ＜∞，０≤ｔ≤Ｔ）上设计一个网格。以间距ｈ等分直线一ｏ。＜ｚ＜。。，以间距Ａｔ等分线段０≤ｔ≤Ｔ。记分点Ｘ｛，ｔｎ）为轨＝ｉｈ，一ｏ。＜ｉ＜。ｏ，个￡ｎ＝他△￡，ｏ≤扎≤Ⅳ，Ⅳ２忐·为了叙述方便，用（ｚ，咒）表示网格节点（溉，如），函数ｕ（ｘ，ｔ）在每一个网格点（ｉ、礼）上的值记作ｕｔｒｌ，＝ｕ（救，ｔｎ）．（ｉ＝０，土ｌ，…；ｎ＝０，１，…，Ⅳ）§３．２差分格式的建立·显式差分格式在显式差分格式中，我们对象采用向前差分，对象在如处采用二级中心差分，即警≈亟型Ａ型ｔ型＝盟Ａ型ｔ，况象≈亟剁苎簪业亟型＝盟挚．１１１１１１１＿＿！！＿＿＿＿ｅ！＿ｅ＿Ｓ！！＿！＿！！ｅ＿！＃！！，＿，＿，＇——，！，山东大学硕士学位论文２１记Ｄｉｕ？＝盟学，ｌ学刮Ｏｒｏ，０＂Ｉ，／）触脚＆Ｉｔｔ譬妒（圳（３．４）则方程（３，：ｉ）的显格式可写为：当ｎ＝ｏ时，ｕ的值为已知。因此如果当ｔ＝亡ｎ时，ｔ‘？的值为已知，Ｄ；ｔ‘？的值也可以计算得到，从而可确定ｎ（ｃｒ０，盯１，Ｄ２孵）的值，则由差分方程（３．４）得计算公式ｔ‘？＋１＝（１—２Ｑｔ）扎？＋Ｑｔ乱苒１＋ＯｔｉＵｉ”＿ｌ（３．５）其中佻＝第咖期，ＤＸｕｍ我们可以通过直接计算得到当亡＝ｔｎ＋ｌ时，ｕ的所有值ｕｎ＋１（ｉ＝０，５＝１，…），依次类推，我们可以通过求解（３．４）得到所有ｕ？（ｉ＝０，土１，…，０冬扎≤Ⅳ）的值，这就是典型的在隐式差分格式中，我们对象采用向前差分，对象在￡ｎ＋１处采用二级中心差分，即丽（９２ｕ≈亟血盥≮掣刿＝盟ｉ＋１－－学．咖∥：盟掣，ｊ学～（嘶嗷＋１）刚“，ｌｕ譬妒（靓）则方程（３．１）的隐格式可写为：（３．６）容易看出，确定ｎ（ｃｒ０，盯１，Ｄ＿１１２ｕｔｒｌ．＋１）需要先知道ｕ？＋１）的值，但是ｕｙｌ是方程（３．囊）的未知量。所以我们不能通过解方程组来得到札ｒ１的值。下面我们给出一种求解“？十１的迭代方令ｕｎ＋１’‘满足如下的方程，二婶一＝。（ｃｒ０：ｑｌ，Ｄｈ２０ｕ∥脚∥“，１－－０，１，．－．，坚矿兰拦一（３．７）Ⅱ（３，７）中的口（ｃｒｏ，盯ｌ，Ｄ『１２％ｎ＋１’。）可以由“？＋１’。确定，从而可以通过解方程组求得ｕ？＋１’。“。迭代停止的标准为Ｉｕ？＋１，‘十１一札ｔｔｌ．＋１’ｊＪ＜￡，此时我们用ｔ０＋１’¨１来近似ｕｒｌ。在半隐差分格式中，我们对象采用向前差分，Ｅａ（ａｏ，盯１，器）中的丽０９２ｕ在￡住处采用二级中心差分，对ａ（ａｏ，盯１，券）后面的的券在ｋ＋１处采用二级中心差分。方程（３．ｉ）的半隐格善学刮…酮孵１，Ｉｔ‘｝妒（鼢）（１＋２０ｅ｛）ｔｕ？＋１一口ｌｔ正搿一口ｉｔ正ｔｎ＿ｌ＋ｔ＝扎？这里未知数是ｕｒｌＱ＝０，４－１，…），Ｏｔｉ∈｛ｆｒｏ，ｆｆｌ，亚产）。（３．８）当ｎ＝０时，祝的值为已知。因此如果当￡＝ｋ时，ｕ？的值为已知，则由差分方程（３．８）得计（３．９）由于方程（３．９）是包含无穷个未知数的代数方程组，因此为了解这个方程组，通常需要在ｉ：Ｍ和ｉ：一Ｍ处（Ｍ是充分大的正整数）补充边界条件，把它变成一个包含有限个未知数的线性方程组。假如我们已知当ｚ＿土。。时解ｕ（ｘ，ｔ）与初值妒＠）有相同的性态，即若已知ｚ骧等＿１＇忱∈【０，Ｔ】．则在ｚ＝Ｍｈ＝ＸＭ和。＝一Ｍｈ＝ｚ—Ｍ处，补充边界条件：ｔ正苷１＝ｖ（ｘＭ），礼一Ｍ＝妒（ｚ—Ｍ）．（３．１０）山东大学硕士学位论文２３如果ｌｉ耳ｌｖ（ｘ）＝妒士∞（常数），我们取Ｚ—·士∞Ｕｎ。。－ｔ－１＝妒＋∞，ｕ瑚＝≯一。ｏ（３．１１）这样考虑到边界条件（３．１０）或（３．１１），我们得到一组有２Ｍ一１个未知数ｔ￡ｒ１（一（吖一１）≤｛≤Ｍ—１）适合的线性方程组（３．９）。即Ａ泸＋１＝户＋１，其中伊＋１和产＋１都是２Ｍ—ｌ维向量，Ａ是（２Ｍ—１）Ｘ（２Ｍ一１）阶矩阵，让臻＋ｌ矿＋ｌ：Ｊ—Ｍ＋ｌＪ，ｎ＋ｌ而＋１一一ＪＭ—ｌ，ｎ＋ｌ让碰ｌｌ＋２０ｆ—Ｍ＋Ｉ一口一Ｍ＋２—ａ—Ｍ＋Ｉ０Ａ＝１＋２ａ—Ｍ＋２…０一ａＭ一１１＋２ａＭ—ｌ以及Ｑｔ∈｛印，Ｏ＂１，红专组），一Ｍ＋１ｓｉ≤Ｍ一１，￡擤ｌ＝让！＾ｆ＋１＋口妒一∞，疗＋１＝乱？，（一Ｍ＋２≤ｉ≤Ｍ一２），；端＝ｔ｜孙一ｌ＋Ｑ汐＋∞－Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式方程（３．１）的Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式可写为。譬＝ｌ［ａ（ａｏ，ａｂＤ２喇嘲州ｏ＇ｏ，ａｌ，Ｄｉ∥１脚∥】，（３．１２）ｔ‘？＝妒（ｚｔ）Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式里既有显格式又有隐格式，它们的计算过程与前面显格式与隐格式的计算过程相同。第３章Ｈ邓方程的离散格式显格式的优点是可以直接求解，也不需要边界条件，但是如果时间步长△ｔ与空间离散网格长度ｈ的比值不是足够小的话，显格式有可能不稳定。隐格式、半隐格式以及Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式都是无条件稳定的。不足之处是后面三种格式需要计算方程组，造成计算量的加大。显格式、隐格式和半隐格式关于时间都具有一阶精度，而Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式对时间有２阶精度。注３．１：在（３，３）中之所以要把ｕｚ茁＝Ｏ的情况单列出来，是因为在半隐格式中，（３．１）中第一个等式右边的两个｛‘黝分别用Ｄ；ｕ？和Ｄ知？来近似．当Ｄ知？＝ｏ时，右端并不一定为０。而显格式、隐格式和Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式则不会出现这种情况，此时我们只需把（３．３）写成：ａ（ａｏ，Ｏ＂１，ｕｚｚ）＝１｛牡。。＜ｏ｝ａｏ＋ｌ‰。＞ｏ｝ａｚ．§３．３二维川Ｂ方程的离散格式在上一节我们用有限差分方法给出了Ｇ．期望对应的一维ＨＪＢ方程的四种离散格式，下面我们对应的写出二维的情形。考虑Ｇ一期望对应的如下２维的Ｈ『Ｂ方程，善窑＝。（‰而，豢）券＋口（嘶吼研０２ｕ）．酽０２ｕ＾可∈毗∈【０，丁孔（３．１３）Ｉｕ（ｚ，３『，０）＝妒（ｏ，ｙ），一。ｃ＜ｚ，Ｙ＜。Ｃ．其中‰，％ｌ，％ｏ，％１是正常数，０＜ａｘｏ＜％１＜００，０＜仃扣＜％ｌ＜ｏ。，且‰ａ２ｔ‘‰吼象）＝磊＜０，丽＞０，垒‰堕＋一２筑．丽２ｏ’山东大学硕士学位论文２５ａｙＯ，＜Ｏ咖肌雾）＝先将定义域Ｏ＇ｙｌ，＞０ｆｆｙＯ＋Ｏ＇ｙｌ２塑裁一裁酽＝ＯＤ＝｛（ｚ，秒，￡）Ｉ—ｏ。＜。，Ｙ＜Ｏ。，０≤ｔ≤丁｝，剖分为网格Ｄｈ＝｛（取，协，￡ｎ）Ｉ欢＝ｉｈ，ｉ＝０，４－１，…；协＝ｊｈ，歹＝ｏ，士ｌ，…；亡ｎ＝他△ｔ，ｏ≤ｎｓⅣ＝瓦Ｔ】－其中△￡和＾分别为时间步长和空间步长。为了方便起见，已经取ｚ和可方向的步长相等。用（ｚ，Ｊ，他）表示网格节点（筑，协，ｔｎ），函数ｕ（ｚ，３『，ｔ）在每一个网格节点（ｉ，Ｊ，佗）上的值记作峻Ｊ＝牡（鼢，协，ｔｎ）．（ｚ，歹＝０，土１，…；ｎ＝０，１，…再引入记号繇ｕ为＝ｔ‘苒ｌ，Ｊ一２ｕ２．ｉ＋札：１，Ｊ＾２殇札≈＝Ｉｔ２ｊ＋ｉ一２～ｔ‘ｎｉ，ｊ＋￡￡≈一１＾２则由一维格式直接推广得到的二维各离散格式如下：·显式差分格式旦Ｒｎ＋瓦ｌ＿上Ｕ．ｎ．：ｎ（‰‰鲤粕ｎ心２ｈ蠕＋。Ｏ＇ｙ０，Ｏ＇ｙｌ，赣地ｎＪ，。＂汕２ｕ％＝妒（娩，协）．ｕ乙，｛鬻＝口（％，％ｌ，磋ｈ让孑１）磋ｈｕ：；１１＋ａ（ａｙｏ，∥ｙ１，鳄ｈｔ￡孑１）《＾札对１，，协）．２６第３章Ｈ，Ｂ方程的离散格式·半隐差分格式｛鬻ｉｎ（蝴，％１，醴＾ｕｕｎ．）程＾钍孑１＋“（盯卵，ｑｌ，《＿ｈｔ￡幻ｎ，。－曲２）．ｕｖｇ＋１，堡乏≯：丢【ｎ（盯ｘＯ，６ｒｘｌ程ｈｔ《，）醴＾ｕ≈＋Ｑ（％。，％。，《ｈ眩丁ｔ）醴ｈ札孑－＋ｎ（盯灿％ｌ，霹＾ｔ％ｎ，Ｊ，ｕ曲２ｔｔｇｗ．＋ａ（ａ”ｏ，％ｌ，啄ｔ￡苕１）霹ｈ札“ｎ．．１－１】，ｕ屯＝妒（戤，协）．第４章数值实验在本章中，我们给出几个数值例子，利用第三章提出的四种格式进行ＨＪＢ方程的数值模拟。我们在时间空间网格点上离散ＨＪＢ偏微分方程，等分时间区间ｆｏ．１】和空间区ｒ日ｌ［－２０，２０ｌ，时间步长△ｔ＝０．０５，空间步长＾＝ｏ．４。由于一般的ＨＩＢ方程没有解析解，们令ｕ（ｘ，亡）分别等于ｓｉｎ∞＋亡）和ｅｘｐ（－ｘ２＋ｔ），计算下面两个非齐次的ＨＪＢ方程，善赛＿ｎ（嘶丽０２ｕ．）孬０２ｕ～Ｉ札（ｚ，０）＝妒（ｚ），（４．１）妒＠）分别ｓｉｎｘ和ｅｘｐ（一ｚ２）。计算时我们把真解带入方程（４．１）得到Ｆ在离散点（轨，￡ｎ）上３６，４１，４６，５１，５６，６１，６６这价点。表４．１和４．２分别列出Ｔｕ（ｘ，ｔ）＝ｓｉｎ（ｘ＋ｔ）在ｔ＝ｌ时刻的数值解和误差；ｍ４．１到４．４描述的分别是ｕ（ｘ，ｔ）＝ｓｉｎ（ｘ＋亡）显格式、隐格式、半隐格式和Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式的数值解；图４．５Ｎ４．８描述的分别是ｕ（ｘ，ｔ）＝ｓｉｎ（ｘ十ｔ）四种离散格式的误差：表４．３和４．４分别列出Ｔ＇ｔＬ（ｘ，ｔ）＝ｅｘｐ（－ｘ２＋亡）在ｔ＝１时刻的数值解和误差。图４．９到４．１２描述的分别是ｕ（ｘ，ｔ）＝ｅｘｐ（－ｘ２＋亡）显格式、隐格式、半隐格式和Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式的数值解：图４．１３至１Ｊ４．１６描述的分别是ｕ（ｘ，ｔ）＝ｅｘｐ（一ｚ２＋ｔ）四种２８第４章数值实验Ｔａｂｌｅ４．１：ｓｉｎ（ｘ／４＋ｔ）的数值解．ｔ￡；１离散点ｉ显格式隐格式３６４１４６５１５６６１６６一０．４９９３９４－０．０１１４５４０．４７９２６０Ｏ．８５２７７８１．０１７５３４０．９３３１６２０．６２０３２０一０．４５９７４２０．０１１０８９０．４７９１９２０．８２９８１８０．９，＂７２４８Ｏ．８８５４１３０．５７６７９９半隐格式一０．４５９７４２０．０１１０７３０．４７９１８７０．８２９７８３０．９７７２４８０．８８５４１３０．５７６７９９Ｃ．Ｎ格式－０．４—９５５３一ｏ．０００１８５０．４７９２２４０．８４１２９７０．９９７３８９０．９０９２８６０．５９８５５７Ｔａｂｌｅ４．２：ｓｉｎ（ｘ／４＋ｔ）的误差．１ｔ‘：Ｘｉ，１）一ｔ￡；１Ｉ离散点ｉ显格式隐格式３６４１４６５１５６６１６６０．０１９９６９Ｏ。０１ｌ袋；４０．０００１６５０．０１１３０７０．０２００３９０．０２３８６５Ｏ．０２１８４７０．０１９６８４０．０１１０８９０．０００２３４０．０１１６５３０．０２０２４７０．０２３８８４０．０２１６７３半隐格式０．０１９６｛；４０．０１１０７３Ｏ．Ｏ００２３８０．０１１６８８０．０２０２４７０．０２３８８４０．０２１６７３Ｃ—Ｎ格式０．０００１２７Ｏ．０００１８５Ｏ．０００２０２０．０００１７４Ｏ．０００１０６１．１６Ｅ拐８．５３Ｅ．０５Ｔａｂｌｅ４．３：ｅｘｐ（一囊一斗ｔ）的数值解．ｕ；１离散点ｉ显格式隐格式半隐格式Ｃ－Ｎ格式３６４１４６５１５６６１６６７．４８Ｅ－０７Ｏ．０００２９７８０．０４５５１７２．６８７５２３Ｏ．０４５５１７０．０（）１）２９７７．４８Ｅ＿１）７２．４１Ｅ．０６２．４１Ｅ—０６１．４７Ｅ．０６Ｏ．０００３７２Ｏ．０５２２８２２７一ｃ１６６９０．０５２２８２Ｏ．１）ｏ（）３７２２．４１Ｅ—０６０．０００３７２０．０５２２８２２．乃心５６９Ｏ．０５２２８２Ｏ．０００３７２２．４１Ｅ．０６０．０００３２７０．０４８７６３２．７２９１７４Ｏ．０４８７６３０．０（）０３２７１．４７Ｅ．０６山东大学硕士学位论天Ｔａｂｌｅ４４：ｅｘｐ（一．一十“的误差ｌ“（。。．１）一”｝１ｆ离散点ｉ３６４１４６５１５５６１６６显格式７船Ｅ＿０７００００２９７隐格式Ｏ舶４２７１００３０７５９０００４２７Ｉ００００２９７ｚ４８Ｅ＿０７００５２３８７０００２４９５０００∞７１２４１ＥⅨ００００３７１Ｏ瑚＇４９５２４１ＥⅨ半隐格式２４１Ｅ舶０脚３７ｌ０Ｄ０２４９５０皓ｚ３８７０００２４９５００００３７１Ｃ－Ｎ格式１４７Ｅ“００００３”０００１０２４００１０８９２０００１０２４０．０００３２７１．４７Ｅ—０６Ｔａｂｌｅ４５：ｆ２．３１）式的数值解“｝１离散点ｉ显格式隐格式２３６４１４６５１５６６１６６７７Ｅ∞ｎ００７２４２０１５６５驰０２５３９０３旬．０８７２７３０５９Ｅ—０５０６０Ｅ－１２６６０Ｅ—０５ｎ００７６４９０１５４１５７０２４３６４０ｍ鹏６９６６４４７Ｅｑｍ０８７１３９＿４３９Ｅ－１１ｄｌｏＥｄ０．１５９Ｅ一１１半隐格式６５０Ｅ—０５ｎ００７６３３４６９Ｅｍ４Ⅸ匝ｍ５ｏＮ捂式４６０Ｅ－０５０加Ｚ４５００１５５３０６０．２４８８２５Ⅲ０８７１１９Ｆｉｇｔｕ＇ｅ４．１：ｓ虹“ｘ／４＋ｔ）显格式的数值解Ｆｉｇｔｌｒｅ４２：ｕ＝ｓｍ（ｘ／４＋ｔ）隐格式的数值解１ｄｊａ漤鍪Ｊ１０＼、—。矗“。≮蓬渗菱笔Ｆｉｇｕ陀４３：ｓ州ｘ／４＋ｔ）半隐格式的数值解ｔ囊鍪鐾鬈篓毒２零藩，ｏＪ《！甓ｏ＿。～。“：Ｋ＜·？曩ｉｊ｜ｊｉ；≯誊≮嗨裕．．“。：Ｎ１：？琶耘鼬＝］｜ｊｊｊ‘缕寥豢，．第４章教值宴验Ｆｉｇｕｒｅ４４：ｓｉｎ（ｘ／４＋ｔ）ｃ—Ｎ格式晌数值解。：］｜爨篷霪鍪ｊ。≮谬，。ｊ《曼篡暑！“ｊ。琶嗡攀，量＿｜｛ｊ！ｉ。；、鬟黪。；＋，＇渺＋ｉｌｔｌｌａ；｛｜＿ｊ擎、毒。嗨势，当查奎兰至圭童！兰篁圣！！Ｆｉｇｕｒｅ４９：ｅｘｐ（一ｚ２｝ｎ显格式的数值解Ｆｉｇｕｒｅ４１０：ｅｘｐ（一一＋外隐格式的数值解州。≮篷劳１；孽渗，：≮劳．州数值解刘ｊｌ｛ｏ．：锤玲．：唾◇．ｉ谚：！赫．习ｊ∥。驯：卜ｏ∞Ｊ０＿『Ｆｌｙ．ａｒｅ４．１５：ｅｘｐ（一一＋¨半隐格式的误差｛赣．ｊ峻．｛｛：甍！爹≥｝｝。寸ｊｊ、：■岳－”。。”一…：≮≤！＿≤≯，第４章数值实验Ｆｉｇｕｒｅ４．１６：ｅｘｐ（一一十曲ｃ－Ｎ格式的误差：ｊ簪．型．＿。千。≮萋，。Ｊｒ一∥。，一王荔Ｆｉｇｕｒｅ４．２０：ｆ２３Ｅ）ＫＣ—Ｎ格式的数值解山东大学硕士学位论文前面我们分别计算了一维研Ｂ偏微分方程的四种离散格式。比较前两个非齐次方程（４．１），我们可以看至ｆｌＣｒａｎｋ．Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式的误差确实比前面三种离散格式要小：而对于例２．３的齐次ＨＩＢ方程，隐格式和半隐格式的数值解比较接近，Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ的数值解介于显格式和它们之间。下面我们简单分析一下有限差分近似的相容性和收敛性的概念。概括的说，计算上的稳定性表示在所计算得的解中全部扰动有界。换句话说，当取初始数据的扰动为任意小，Ａｔ和ｈ趋于０时，在所算得的解中产生的扰动一定趋于零而不是越来越大。此时，满足相容性的有限差分近似的解就收敛到典型抛物型偏微分方程的解。正女ＮＬａｘ所定义的那样，稳定性和相容性就意味着收敛性。用另一种方式来说，要使某一种有限差分近似的数值解收敛，必须使适定的典型偏微分方程所对应的有限差分格式相容和稳定。相容性与下述保证有关：当有限差分网格变小时（即，Ａｔ，ｈ趋于０），截断误差必须趋于零。换句话说，有限差分模型逼近所期望的偏微分方程而不是逼近其他的偏微分方程。为了完整起见，对边界条件也需要进行分析。当必须用有限差分近似代替边界条件时，分析的方法完全相同。本文提出的全部有限差分近似几乎都是相容的。但是，我们必须吧无条件相容的那些近似格式与有条件相容的近似格式区分开来。经典显式近似是无条件相容的，因为当Ａｔ，ｈ趋于０时为了消去误差项不需要保持Ａｔ］ｆｌｈ之间的特殊关系。大多数情形属于这一类，但有的近似格式的相容性取决于Ａｔ，ｈ趋于０的方式，这种有限差分近似为条件相容。如果当Ａｔ，ｈ趋于０时ｕ？一ｕ（如，￡，。）ｌｌ一０则称有限差分近似收敛。这里ｌＩ·ｌＩ是在指定点（ｚｔ，ｔｎ）上札的准确值ｕ（ｘｔ，ｔｎ）与计算值ｕ？之差的模。原则上，通过加密网格可以使有限差分近似与准确解任意接近。我们会发现，经典显式格式是条件收敛的，而隐格式和Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式均为无条件收敛的。数值分析中的稳定性概念基本上与偏微分方程无关，它所关心的是在求解有限差分方程时由于进行算术运算而产生误差的不稳定增长或稳定衰减问题。虽然对于任何一种第４章数值实验有限差分近似都有一个理论上的精确解，但由于计算机的舍入误差，所以当进行显示计算时就会产生误差。这些误差是增大还是减小，反映出计算格式的稳定性质。如果一种近似格式是稳定的，则在原则上可使计算误差达到任意小。一种条件稳定的格式意味着对网格宽度△￡和ｈ，存在着约束界限，在此界限之外数值解不稳定，在此界限之内数值解稳定。一个无条件稳定的算法不存在这种界限。反之，无条件不稳定算法的界限值为零。下面我们给出稳定性与收敛性关系的Ｌａｘ等价定理：对于一个适定的抛物型偏微分方程的初值或边值问题，如果其有限差分逼近满足相容性条件，则稳定是收敛的充分必要条件。在第三章我们已列出了二维情形的ＨＪＢ方程有限差分离散格式，在接下来的工作中我们将类似的计算二维川Ｂ方程并提出二维Ｈ，Ｂ偏微分方程的其它数值方法（有限体积法、算子分裂法等），相应的数值格式的收敛性和稳定性分析也在工作计划之内。参考文献［１】Ａｒｔｚｎｅｒ，Ｐｈ．，ＥＤｅｌｂａｅｎ，，．Ｍ．Ｅｂｅｒ，ａｎｄＤ．Ｈｅａｔｈ（１９９７），ＴｈｉｎｋｉｎｇＮｏｖｅｍｂｅｒ，６８－７１．Ｃｏｈｅｒｅｎｔｌｙ，ＲＩＳＫ１０，［２１Ａｒｔｚｎｅｒ，Ｐｈ．，Ｆ．Ｄｅｌｂａｅｎ，Ｉ．Ｍ．Ｅｂｅｒ，ａｎｄＤ．Ｈｅａｔｈ（１９９９），ＣｏｈｅｒｅｎｔＭｅａｓｕｒｅｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅＲｆｓｋ，９，２０３－２２８．【３】ＥＤｅｌｂａｅｎ，ＣｏｈｅｒｅｎｔＲｉｓｋＭｅａｓｕｒｅｓ（ＬｅｃｔｕｒｅｓｇｉｖｅｎａｔｔｈｅＣａｔｔｅｄｒａＧａｌｉｔｅｉａｎａａｔｔｈｅＳｃｕｏｌａＮｏｒｍａｌｅ毹Ｐｉｓａ，Ｍａｒｃｈ２０００），ＰｕｂｌｉｓｈｅｄｂｙｔｈｅＳｃｕｏｌａＮｏｒｍａｌｅｄｉＰｉｓａ，２００２．【４】Ｉ．Ｋａｒａｔｚａｓ，Ｊ．Ｌｅｈｏｃｚｋｙ，Ｓ．ＳｅｔｈｉａｎｄＳ．Ｓｈｒｅｖｅ，Ｅｘｐｌｉｃｉｔｓｏｌｕｔｉｏｎｏ／ａｇｅｎｅｒａｌｃｏｎｓｕｍｐ‘ｔｉｏｎ／ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｐｒｏｂｌｅｍ。ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｓｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈ，Ｖ０１．１１（１９８７）。２６１－２９４【５】５Ｎ．Ｅ１Ｋａｒｏｕｉ，Ｓ．Ｐｅｎｇ，ａｎｄＭ．Ｃ．Ｑｕｅｎｅｚ，Ｂａｃｋｗａｒｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｍ∥ｎａｎｃｅ，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅ，７（１９９７），ＰＰ．１—７１．【６】６ＥＥ．ＫｌｏｅｄｅｎａｎｄＥ．Ｐｌａｔｅｎ，ＮｕｍｅｒｉｃａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｏ／ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｔｕｚｔｉｏｎｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，Ｂｅｒｌｉｎ，ＴｈｉｒｄＰｒｉｎｔｉｎｇ，１９９９．【７】７Ｇ．Ｎ．Ｍｉｌｓｔｅｉｎ，ＮｕｍｅｒｉｃａｌＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，ＫＬＵＷＥＲＤＥＭＩＣＰＵＢＬＩＳＨＥＲＳ，１９９５．ＡＣＡ。ｆ８】Ｉ．Ｎａｇａｙａｍａ，Ｐｒｉｃｉｎｇ万ｐａｓｓｐｏｒｔｏｐｔｉｏｎ，ＪＭａｔｈ７４７－７８５，１９９８．ＳｃｉＵｎｉｖＴｏｋｙｏ，ＶＯＬ．５，ＮＯ．４，ＰＰ．ｆ９】Ｅ．Ｐａｒｄｏｕｘ，Ｓ．ｐｅｎｇ，Ａｄａｐｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｓｑａｂａｃｋｗａｒｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｓｙｓ—ｔｅｍｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌＬｅｔｔｅｒｓ，１４，５５—６１（１９９０）．【１０】Ｓ．Ｐｅｎｇ，ＡＣｏｎｔｒｏｌａｎｄｇｅｎｅｒａｌｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｍａｘｉｍｕｍｐｒｉｎｃｉｐｌｅｆｏｒｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｓ，ＳＩＡＭ，．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，２８（１９９０），ＰＰ．９６６－９７９．ｆ１１】Ｓ．Ｐｅｎｇ，Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ扣ｒｓｙｓｔｅｍｓｏｆｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒｐａｒａｂｏｌｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓａｎｄＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓＲｅｐｏｒｔｓ。３７（１９９１），ＰＰ．６１—７４．【１２】Ｓ．Ｐｅｎｇ，Ａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｗｉｎ却ｌｅａｎｄＨａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ－Ｂｅｌｔｍａｎｅｑｕａ‘ｔｉｏｎ．ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓａｎｄＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓＲｅｐｏｒｔｓ，３８，１１９１３４．【１３】Ｓ．Ｐｅｎｇ，ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＨａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ—ＢｅＵｍａｎｔｉｏｎ，３０，２８４３０４．ｅｑｕａｔｉｏｎｓ。ＳＩＡＭＪ．ＣｏｎｔｒｏｌａｎｄＯｐｔｉｍｉｚａ－【１４】ＳｈｉｇｅＰｅｎｇ，ＢａｃｋｗａｒｄｔｉａｌＳＤＥａｎｄＲｅｌａｔｅｄｇ－Ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ＢａｃｋｗａｒｄＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＤｉｆｆｅｒｅｎ’Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ＰｉｔｍａｎＲｅｓｅａｒｃｈＮｏｔｅｓｉｎＭａｔｈ．Ｓｅｒｉｅｓ，１９９７，Ｎｏ．３６４，１４１－１５９．【１５】ＳｈｉｇｅＰｅｎｇ，Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ２６Ｂ。１５９１８４．ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｓａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒＭａｒｋｏｖｃｈａｉｎｓ，Ｃｈｉｎ．灿ｍ．Ｍａｔｈ．，【１６】ＳｈｉｇｅＰｅｎｇ，Ｇ—ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，Ｇ—Ｂｍｍｎｉａｎｍｏｔｉｏｎａｎｄｒｅｌａｔｅｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｃａｌｃｕｌｕｓｏｆｔｔｏ，ｓｔｙｐｅ，ＳＴＯＣＨＡＳＴＩＣＡＮＡＬＹＳＩＳＡＮＤＡＰＰＬＩＣＡＴＩＯＮ，２００７，Ｖ０１．２，ＰＰ．５４１—５６７．山东大学硕士学位论文【１７】Ｓｈｉｇｅ３７Ｐｅｎｇ，Ｈｉｇｈ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＧ－ＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎａｎｄｒｅｌａｔｅｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｃａｌｃｕｌｕｓｕｎｄｅｒＧ－ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ａｒＸｉｖ：ｍａｔｈ．ＰＲ／０６０１６９９．【１８】Ｄ．Ｒ．Ｒｉｃｈ，ＴｈｅＦｕｔｒｕｅｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓｏｆｂａｒｒｉｅｒｏｐｔｉｏｎ—ｐｒｉｃｉｎｇｔｈｅｏｒｙ，ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎａｎｄＯｐｅｒａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈ，Ｖ０１．７，ＰＰ．２６７－３１１，１９９４【１９】ＪｉｏｎｇｍｉｎＹｏｎｇａｎｄＸｔｍｙｕＺｈｏｕ，Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｃｏｎｔｒｏｌｓ：ＨａｍｉｌｔｏｎｉａｎｓｙｓｔｅｍｓａｎｄＨ『Ｂｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９９９。［２０】姜礼尚，期权定价的数学模型和方法，高等教育出版社，２００３．【２ｌ】金治明，数学金融学基础，科学出版社，２００６．【２２】陆金甫，关治，偏微分方程数值解法，清华大学出版社，２００４．【２３】雍炯敏，动态规划方法与ＨａｍｍｏｎＪａｃｏｂｉ—Ｂｅ№ａｎ方程，上海科学技术出版社，１９９２．致谢衷心感谢导师赵卫东教授，没有他的悉心指导也就没有这篇论文的诞生，导师在学习和生活上都给了我很大的帮助，从而使我能够在三年的研究生学习中受益匪浅，更加令我对今后的学习和科研充满信心。衷心感谢彭实戈教授，在金融基地学习的三年里，彭教授广博的知识和严谨的治学态度我受益终生。衷心感谢陈增敬教授、吴臻教授、林路教授、魏刚教授在学习上对我的关心和帮助。衷心感谢数学院的各位领导和老师，衷心感谢郝鲁民老师和孟玉梅老师在我的学习和生活中给与的巨大帮助和激励。衷心感谢王金磊、包峰、罗晨曦等给以的启发、见解和帮助。特别感谢我的父母，他们对我的帮助、理解和爱护是我人生道路上的路标和动力，有他们的支持，我才能克服种种困难，完成学业。HJB偏微分方程的数值计算

作者：

学位授予单位：

曹海峰山东大学

1.学位论文 吕峰 推广的Lipschitz条件下的倒向随机微分方程及g—期望 2004

该文主要讨论了在一类推广的Lipschitz条件下的倒向随机微分方程和g期望及其相关性质.这个限制使得我们无法将倒向随机微分方程的相关理论应用于一个更广的范围.该文中,我们假设g满足如下形式的一类推广的Lipschitz条件:|g(t,y<,1>,z<,1>)-g(t,y<,2>,z<,2>)|≤r<,t>|y<,1>-y<,2>|+μ<,t>|z<,1>-z<,2>|在此假设之下,得到了倒向随机微分方程解的存在唯一性定理,相对于经典情况而言,在这种情形中,该文的结果对于解的可积性有一个更严格的要求;进一步的,该文还得到了在此条件之下的比较定理.以此为基础,类似于经典情形,定义了相应的g-期望,并以此为工具,得到了在此假设之下的倒向随机微分方程的逆比较定理.

2.学位论文 杨维强 倒向随机微分方程和非线性期望在金融中的应用：风险度量，定价机制的估计以及期权定价 2006

倒向随机微分方程(BSDE)的线性形式首先由Bismut(1973)在引入，1990年Pardoux＆Peng(1990)研究了Lipschitz条件下非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性定理。Duffie＆Epstein(1992b)在研究随机微分效用过程中也独立地引进了一类倒向随机微分方程。倒向随机微分方程在随机控制、偏微分方程、数理金融、经济等领域都有着广泛的应用。

经典的期望是一个线性泛函，在线性期望和可加测度之间存在一一对应的关系。但是这种一一对应的关系在非线性情形下并不成立，一般地，给定一个非线性期望，我们仍然可以导出一个非可加概率测度，但是却存在无穷多的非线性期望满足这一关系。因此在非线性情况下，期望比非可加测度更具特征性。?用非可加测度定义了容度和Choquet期望，Choquet期望在统计、经济、金融和物理中有很多应用，但是它的缺点是很难定义条件(Choquet期望。Peng(1997)通过一类特殊的倒向随机微分方程引入了一种非线性期望：g一期望。用9一期望可以很容易定义条件期望。不过9一期望是一种拟线性期望，也就是说，并不能包含完全非线性的情形。Peng(2005b)引入了一般的时间相容完全非线性期望和非线性马氏链，Peng(2006a，b)则提出G一期望的概念和理论。

Artzner，Delbaen，Eber＆Heath(1997，1999)引入相容风险度量，作为一个公理化的工具量化金融头寸的风险。同在1997年，Peng(1997)引入了g一期望的概念。F llmer＆Schied(2002a，b,c)和Frittelli＆Rosazza Gianin(2002，2004)分别独立地研究了一般概率空间上的凸风险度量。动态风险度量也同样被提出，例如Cvitani＆Karatzas(1999)和Wang(1999)。Rosazza．Gianin(2003)由g一期望引入一类动态风险度量，]iang(2005b)做了进一步的研究，提出并证明了g一期望是相容风险度量或者凸风险度量的充分必要条件。Peng(2005b，2006a，b)研究的G一期望，G-布朗运动和相关It 类型的随机微积分，可以应用于风险度量。

Peng(2()04b,d，2005a．)提出并研究了时间相容估价和g一估价的理论，证明了满足一定条件的时间相容估价是一个g-估价，也就是说，无论用什么模型或者机制进行估价，只要验证满足定理条件，那么这个估价背后其实都有一个BSDE，其生成函数g就是定价机制，解z是对冲策略。因此一个很有意义的反问题是：如果已知BSDE的(ξ,T,y)，怎么估计定价机制g和解z?1997年，彭提出如果两个g一期望相等则相应的生成函数g也应相等

，Chen(1998)证实这一点。Briand，Coquet，Hu，Memin＆Peng(2000)受此结果启发，首先研究了BSDE的逆比较定理，从而推广了上述结果，同时给出了一个生成函数夕的表示定理，表明了定价机制是真正可以进行计算和估计的。之后有许多学者对逆比较定理和生成函数表示定理做了更深入的研究，Coquet，Hu，Memin & Peng(2001)证明了一般的逆比较定理，Jiang(2004a，b,c，2005a，c)；Cai(2005)等一系列文章推广了BSDE的表示定理和逆比较定理。

用生成函数表示定理来计算某个定价机制g，对任意的t，y，z，都需要这个定价机制对未来的一个由t，y，，z确定的投资组合进行估价。而市场中并不存在这样现成的投资组合，也没有相应的估价数据。所以这个方法是一个“测试”(实验)方法。

本文考虑了不用测试的方法，而是直接用市场中标的资产价格和期权价格数据估计定价机制g和BSDE解z的非参方法。到目前为止，我们未发现有其他论文研究BSDE的非参估计方法，这是本文一个创新点。用非参方法估计SDE已经有许多篇论文，例如

Stanton(1997)；Ait—Sahalia(1996a)；AYt．Sahalia＆Lo(1998)；Chapman＆Pearson(2000)；Fan＆Yao(1998)；Fan＆Zhang(2003)；Fan，Jiang，Zhang＆Zhou(2003)；Fan＆Zhang(2004)。其中Stanton(1997)把非参核回归应用到利率期限结构回报率和波动率函数的估计，而Fan＆Yao(1998)用的则是局部线性技术。本文把非参核回归方法应用到BSDE生成函数g和解z的估计，给出了估计公式，并且进行了数值模拟和估计以检验非参方法的可行性。 传统的期权定价模型都基于所有人都是理性的假设，他们用的是同一个概率测度，在他们眼中股票价格服从同一个过程。虽然股票价格无法进行预测，但是其统计规律是知道的。而很多学者的研究表明在实际市场中则存在各种各样的条件、限制和不可预料的因素，发现在很多情况下存在区别于“风险”的“模糊”。Ellsberg悖论fEllsberg(1961))等证据表明了两者的区分在行为学上是很有意义的，Mehra．＆Prescott(1985)的研究表明在资本市场中风险和模糊是同时存在的。股票价格变动可能来自公司本身价值的改变，也可能反映投资人的心理因素对其评价的改变。事实上每个投资者的风险偏好是不一样的，即每个人用的测度是不一样的，所以实际上市场存在一个不同测度的集合。本文从规避模糊的角度出发，建立了稳健期权定价模型，给出了期权定价公式。

论文组织和具体安排如下：

第一章主要介绍了BSDE，g-期望和G-期望的基本概念。

第二章介绍了国际上使用的风险度量：VaR，和SPAN系统。研究了风险度量的理论，介绍了风险度量的基本概念，SPAN系统，把g-期望和G-期望应用到风险度量中，定义了g和G-风险度量，给出了一个特殊g下的欧式常规期权(vanilla option)

头寸的显示解。第五章研究稳健期权定价模型。其中A，B表示卖出或买入价，c，p表示看涨或看跌期权。并且本文用S&P 500指数期权数据进行了实证研究，比较了Black-Scholes公式和稳健定价模型。

3.学位论文 刘洁 倒向随机微分方程的生成元g与g-期望的相关性质 2008

在1990年，Pardoux和彭实戈教授提出了一类形如：现在，BSDE已经被公认为是研究金融数学的一个很有用的工具。它同时也广泛应用在解决随机控制、随机微分对策和拟线性偏微分方程解的概率公式表示等问题上。并由此创造性地提出了一类可以定义条件期望的非线性数学期望--g-期望后来这一成果引起广大学者的重视，并被应用于金融、经济和数学其他分支。

作为一种非线性数学期望，g-期望具有很多不同于经典数学期望的性质。我们在第一章不加证明地列出它们，包括：保常性、单调性等等。第一章除了介绍倒向随机微分方程以及比较定理等结论之外，还介绍了风险测度的简单性质。

第二章主要的结果之一--g-期望保常性的充要条件。我们知道结果很自然地我们想探究，是否由εO，T［α］=α均可以得到g(y，0，t)=O呢?答案是否定的，例题2.4以及定理2.5就得出了相应的结论。定理2.5我们还给出了基于数分知识和基于倒向随机微分方程比较定理的两种证明方法。这样我们就得到了g-期望与条件g-期望保常性的关系，进一步得到风险测度与条件风险测度保常性之间的关系。 (上述结果已于2008年2月被《山东大学学报》(理学版)发表。)最后，还通过定理证明了g-期望作为一个非线性算子，不仅仅依赖于g，还依赖于T。

第三章考查的是倒向随机微分方程的g与价值过程。首先以一个简单例子的形式给出倒向随机微分方程为模型的投资策略过程。然后分别给出两种情况BSDE特例的解法：第一种为g=-[atyt+btzt]线性时，第二种为g(yt,zt,t)=at|zt|简单非线性的情况.其中第一个例子，还用到Girsanov，变换和对偶方程的两种方法，但结果是相同的。

作为结尾的第四章对前人的工作做了一个总结，列出了g、g-期望及风险测度等之间的关系。并且对g-期望的逆比较定理做了推广，将两项的结论推广到有限项，利用停时进行了证明。通过一个经典的动态凸风险测度的例子，以及风险测度的概率表示定理，具体地阐述了g-期望与风险测度的关系，从而进一步强化了g所在的函数空间与非线性数学期望所在的风险测度空间的联系。

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1562629.aspx

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下载时间：2010年11月23日