青岛科技大学中德学院2012-2013学年1学期高等数学B1A卷考试试题与答案

2012-2013 学年 1 学期1 高等数学B1 A 卷 课程考试试题

拟题学院（系） : 数理学院 拟题人: 中德学院2012级相关专业 适 用 专 业: 校对人:

（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）

x一、填空题（每小题3分，共15分）

21.极限lim1_______.

xx2.曲线ylnx在点e,1处的切线方程为 .

3.设函数yyx由方程y1xe所确定，则yx0 .

y4.已知

f(x)dxFxC，则xf(x21)dx .

dx2sintdt . 5.dx0t二、选择题（每小题3分，共15分）

1.下列极限存在的是（ ）.

x2(x2)11 (A) lim (B) lim (D) limarctanx. lim(C)3xxx0xx0x2xa1x2.已知fxesinx，则f0（ ）.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)2 .

3.下列等式正确的是（ ）.

(A)

dfxdxfx (B) dfxdxfx dx(C) fxdxfx (D) dfxfx.

4.反常积分

1xlnx2edx（ ）.

(A) 0 (B) 2 (C) 1 (D) 1 .

5.一阶线性微分方程x2dyxy1dx0的通解是（ ）.

1(A) y(lnxC) (B) yx(lnxC)

x1(C) yx(lnxC) (D)y(lnxC).

x三、计算题（共21分）

1.求极限 limx0xsinxxe1x2. （7分）

2.已知函数f(x)sin3x,x0, x03x,(1)f(x)在x0处是否可导？ （2）求f(x).（7分）

xln(1t2)3.求参数方程所确定的函数yy(x)的二阶导数.（7分）

ytarctant四、计算题（共29分）

1.求不定积分 arctanxdx （6分） 2.求定积分

ln20ex1dx. （6分）

323.列表求函数yxxx1的增减区间、极值、凹凸区间及拐点.（10分） 4.求二阶常系数线性微分方程y4y5y3e的通解.（7分）

五、应用题（10分）

设由抛物线yx和直线y2x所围成的平面图形为A， （1）求平面图形A的面积；

（2）求平面图形A绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

六、证明题（10分）

1.证明：当x0时，e1ln1x .（5分）

x2x2.设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内二阶可导，且f(0)f3211， 2f(2)2fxdx，证明： 在(0,2)内至少存在一点，使f0.（5分）

2012-2013 学年 1学期 高等数学B1 A卷试题标准答案 拟题学院（系）： 数理学院 拟 题 人： 适用专业： 中德学院2012级相关专业 书写标准答案人： （答案要注明各个要点的评分标准） 一、填空题（每小题3分，共15分）

2sinx2x121. e； 2. y； 3. e； 4. Fx1C； 5. .

xe22二、选择题（每小题3分，共15分）

1. B 2. C 3. A 4. D 5. D 三、计算题（共21分）

xsinx …………………2分

x0xx21cosx …………………4分 limx03x212x12lim2 …………………7分

x03x6f(x)f(0)sin3x02．解：（1）因为f(0)limlim3，

x0x0x0x3x0f(0)lim3，

x0x1. 解：原式lim所以f(0)3. …………………4分 （2）又当x0时，f(x)3cos3x；当x0时，f(x)3，

故f(x)3cos3x,x0, …………………7分 x03,12dyt1t3. 解：  …………………3分 2tdx21t2dy122dydt1t 2 …………………7分 2dx2tdx4t2dt1t1四、计算题（共29分）

1. 解：arctanxdxxarctanxx1x2dx …………………3分

11 xarctanxd1x2 .……………5分 221x xarctanx1ln1x2C ………………6分 22t2. 解： 令ex1t，则dx2dt ……………2

t1ln212txe1dxt00t21dt ……………3

t21122dt ……………4分

0t1122arctanx10

22 ……………6分

. 3. 解： 定义域为，1y3x22x13x1x1，令y0驻点为x,x1

31y23x1， 令y0得x ……………………2分

3列表如下： x 11 , 3311, 331 3 1,1 31  1，y  0   0  y y   0   增区间 极大值 减区间 32凸区间 凸区间 拐点 27116, 327减区间 凹区间 极小值0 增区间 凹区间

……………8分

由上表知，函数单调增加区间为,，1，；单调减少区间为,1；

3311极大值为f1332，极小值为f10 ； 2713116. …………………10分 327凹区间为,，凸区间为，；拐点为,1324. 解：特征方程为r4r50,r15,r21 ………………………1分

5xx对应齐次方程通解：YC1eC2e ………………………..3分

设方程的特解为yaxe，则 a2 ………………………6分

5xxx所求通解为 yC1eC2e2xe. ……………………….7分.

*x五、应用题（10分）

2x342解：（1）平面图形的面积 A(2xx)dxx ……………………5分

030322（2）体积为V2202xdx0(x)dx22264 ……………………10分 15六、证明题（2个小题，每小题5分，共10分）

1. 证明：设f(x)e1ln1x，有f(0)0，……………………1分

x且f(x)ex11x，当x0时，e1，1， 1x1x 故当x0时，f(x)0，即f(x)是单调增加的， ……………3分

从而当x0时，f(x)f00

即x0时，有e1ln1x成立。 ……………………………5分

x2.证明：因为fx在0,上满足罗尔定理的条件，故存在10, ， 2211使得f10. ………………………2分 又因为f(2)232133fxdx21f2f2，21,，

22所以存在2,2，使得f0. ………………………4分

从而存在1,，使得f0. …………5分