考前 03 应用题 教师版

1、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，

80按照设计要求容器的体积为3立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部

分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为y千元． （Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

480Vr2lr3,又V,331、解：（I）设容器的容积为V，由题意知

4Vr38044203lr(2r)22r3r33r故由于l2r因此0r2.

420y2rl34r2c2r(2r)34r2c,3r所以建造费用

y4(c2)r2160,0r2.r

因此

（II）由（I）得

y'8(c2)r1608(c2)320(r),0r2.r2r2c2由于c3,所以c20,

r3当

2020208(c2)m,则0时,r3.3y'(rm)(r2rmm2).2c2c2令c2m0，所以r

0m2即c92时，

（1）当

当r=m时,y'=0;当r(0,m)时,y'<0;当r(m,2)时,y'>0.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点。

（2）当m2即

3c92时，当r(0,2)时,y'0,函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，

3c综上所述，当

99c2时，建造费用最小时2时，建造费用最小时r2;当

2、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/

小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

vx（Ⅰ）当0x200时，求函数的表达式;

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）

1

fxx.vx可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）

本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）

2、解：（Ⅰ）由题意：当0x20时,v(x)60；当20x200时,设v(x)axb再由已知得

1a,0x20,200ab0,60,3解得v(x)20ab60,2001b.(200x),20x2003故函数v(x)的表达式为3

0x20,60x,f(x)1x(200x),20x2003 （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当0x20时,f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60×20=1200； 当20x200时，

f(x)11x(200x)210000x(200x)[]3323

当且仅当x200x，即x100时，等号成立。

10000.x100时,f(x)3所以，当在区间[20，200]上取得最大值

100003333f(x)x100综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值3。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

2