九江市2020届第二次高考模拟统一考试
理科数学答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题60分） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的. 1.已知集合A={xÎZ|xA.{x|-1£x<2}
³
-1}，B={x|x<2}，则AIB=(C)
B.{x|-1£x<
2
2} C.{-1,0,1} D.{0，1}
解:QB={x|-2 D.3+i 1010(3+i) ==3+i，故选D. 3-i(3-i)(3+i) 515，S4=，则a1=(A) 22 C.2 D.2 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=A. 1 2 B.1 ì525a(1+q)=21ï(1+q)(1-q)1ï22=1，=\\ía(1-q4)15，\\a=解:法一:依题意知q¹1，两式相除得，解得，q=21 1-q431+q22=ï1 2ïî1-q 故选A. 5a+a41551 -=5，\\q=2=2，\\a1=22=，故选A. 法二:依题意得a2+a4= 222a1+a31+q4.已知P(2,2)为抛物线C:y=2px(p>0)上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|=(B) A.2 B. 2 5 2 C.3 D. 7 2 解:将P(2,2)代入抛物线C的方程，可得p=1，则|PF|=x0+5.将函数y=2cos(2x+)的图像向左平移 p15 =2+=，故选B. 222 p 6yf(x)p 个单位得到函数f(x)，则函数y=的图像大致为(D) xsinx6 y 2 1 -2p 2 1 -p O -1 -2 p 2p x -2p -p O -1 -2 p 2p x A B 第1页 y 2 1 2 1 x y -2p -p O -1 -2 p 2p -2p -p O -1 -2 p 2p x C D 解:依题意得f(x)=2cos[2(x+)+]=2cos(2x+)=-2sin2x，则y= p6p6p2f(x)-2sin2x-4cosx ==， xsinxxsinxx π x¹kp，kÎZ，显然该函数为奇函数，且当xÎ(0,)时，y<0，故选D. 2 6.已知0 解:法一：对于选项A:0 Q0 x Qa>0，\\y=x在(0,+¥)上单调递增，在(0,+¥)上单调递减，由a ，b=，则loga2=-1，logb2=-1，显然loga2>logb2，故A选项错误；logab=1， 4222 b 1a112a=，显然logab 2，显然aa=bb，故D选项错误；故选C. 27.若425+a(aÎR)能被9整除，则|a|的最小值为(B) A.3 B.4 C.5 D.6 2525251242322425124232 解:Q4+a=(3+1)+a=3+C253+L+C253+C253+1+a，其中3+C253+L+C253能被9整bb= 24 除，\\C253+1+a=25´3+1+a=76+a能被9整除，则当a=-4时，|a|最小，且能被9整除,故选B. 8.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆──“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为(C) A.20° B.28° C.38° D.48° 解:依题意得“斗冠”的高为60.3-33.3=27米，如图，PE=27， 11139ME=(MN-EF)=´(139.4-69.9)=,ÐPME为“斗冠” 224 PE27108的侧面与上底面的夹角，tanÐPME===»0.78， ME139139 4tan30°= M PEF QN 3»0.58，tan45°=1，Q0.58<0.78<1，30°<ÐPME<45°，故选C. 3第2页 x2y2 9.已知双曲线E:2-2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与 ab y双曲线E的右支相交于A,B两点，若四边形AOBF2为菱形，则双曲线E的离心率为(A) A.3+1 C.2 B.3 D.2+1 F1AF2解:如图，Q四边形AOBF2为菱形，\\AF2=OA=OF2=c，又QF1F2是圆O的直径， OB x\\AF1=3c,\\AF1-AF2=2a=(3-1)c,\\e= 2=3+1，故选A. 3-110.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档 中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁 下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表 示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档 位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为(D) 3 422 解:依题意得所拨数字共有C1则有C1若上珠拨的2C4=12种；4C4=24种可能.若上珠拨的是千位档或百位档， A. B. C. D. 2是个位档或十位档，则有C12C3=6种，则所拨数字大于200的概率为 3 81 22 3 12+63 =，故选D. 244 11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为l1,l2,l3,l4，则(B) A.l1 2p rn，每段圆弧的半径为顶点到中 2p ×r=2pr，圆的中心运动轨迹长也为2pr，依n题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足r1 解:QF(x)=lnx-ln(lnx)-1，F(-x)=ln-x-ln(ln-x)-1=F(x)，\\F(x)为偶函数，①正确； QG(x)=lnx-lnx-1的定义域不关于原点对称，\\y=G(x)为非奇非偶函数，②错误； 1x-1\\=，当xÎ(0,1)时，f¢(x)<0；当xÎ(1,+¥)时，f¢(x)>0.\\f(x)在(0,1)上单调递xx减，在(1,+¥)上单调递增，令t=lnx，y=f(t)，则x<-1或x>1，\\f(x)³f(1)=0.考查函数y=F(x)，Qf¢(x)=1-当xÎ(1,e)时，t=lnx单调递增，y=f(t)单调递减，\\y=F(x)单调递减；当xÎ(e,+¥)时，t=lnx单调递增，y=f(t)单调递增，\\y=F(x)单调递增，\\x>1时，\\F(x)min=F(e)=0，又F(x)为偶函数， \\xÎ(-¥,-1)U(1,+¥)时，\\F(x)min=0，③正确.考查函数y=G(x)，令G(x)=0得x-lnx-1=±1， 第3页 Qf(x)³0，\\x-lnx-1=1，又f( 11)=+1>1，f(e2)=e2-3>1，\\直线y=1与函数y=f(x)恰有22ee 两个交点，故y=G(x)有两个零点，④正确.故选C. 第Ⅱ卷（非选择题90分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量a,b满足a=1，b=2，a^(a-b)，则a与b的夹角为60°. 解:Qa^(a-b)，\\a2-a×b=0，1-1´2cos 1 ，\\a与b的夹角为60°. 2y21–1–1P 2p. 242x+y-2≤0ìï2 14.设x,y满足约束条件í2x-y+2≥0，则z=3x-2y的最大值是. 3 ïîy≥x 22 解:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过(,)时 33–2222 取得最大值，即zmax=3´-2´=. 333 15.如图，在一个底面边长为2,侧棱长为10的正四棱锥P-ABCD中，大球 O 1xO1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为解:设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM,OM,PO，则OM=1， O2O1 PM=PA2-AM2=10-1=3，PO=9-1=22，如图，在截面PMO中， 设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N^PM，设球O1的半径 NO11QsinÐMPO=OM=1，为R，则O1N=R，\\则PO1=3R， =， PM3PO13 D A PO2 QO1 C B PO=PO1+OO1=4R=22，\\R= 2，设球O1与球O2相切于点Q，则PQ= 2R2PO-2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，\\r==，故小球 N24O2的体积V= 432pr=p. 324M O1 16.已知单调数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+Sn+1=n2+n，则首项a1的取值范围是(0,). 2 解:当n=1时,S1+S2=2，\\a2=2-2a1，当n³2时，Sn+Sn+1=n2+n，Sn-1+Sn=(n-1)2+(n-1)，两式相减得an+an+1=2n………①. a2+a3=4，a3=2+2a1， 当n³3时，an-1+an=2(n-1)………②，①-②得an+1-an-1=2， \\数列{an}从第2项起，偶数项成公差为2的等差数列，从第3项起，奇数项成公差为2的等差数列， \\数列{an}单调递增，则满足a1 在DABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a>b>c.已知sinAcosB-cosCsinB=sin2B-sinA． (Ⅰ)求证:a,b,c成等差数列； 12 第4页 (Ⅱ)若b=5，sinB= 53，求a,c的值． 14 解:(Ⅰ)证明:QsinAcosB-cosCsinB=sin2B-sinA，\\sinAcosB-cosCsinB=sin2B-sin(B+C) ………1分 \\sinAcosB-cosCsinB=sin2B-sinBcosC-cosBsinC………2分 \\sinAcosB=2sinBcosB-cosBsinC………3分 Qa>b>c，\\cosB¹0………4分 \\sinA=2sinB-sinC，即2sinB=sinA+sinC………5分 由正弦定理得2b=a+c，即a,b,c成等差数列………6分 (Ⅱ)QsinB= 5311 ，B为锐角，\\cosB=………7分 1414 11 )………9分 14 Qb=5，\\a+c=10， 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB)，即52=102-2ac(1+ \\ac=21………10分 ìa+c=10ï 由íac=21得a=7,c=3………12分 ïa>cî 18.(本小题满分 12分） 如图所示的几何体ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是矩形，四边形BCC1B1是梯形， A1C1B1 1 BC，AB=AC，平面ABB1A1^平面ABC. 2 (Ⅰ)求证:平面AA1C1^平面BCC1B1； AA1 120°(Ⅱ)若ÐCAB=120°，二面角C-AC-B为，求的值. 111 AB B1C1//BC，且B1C1= AB解:(Ⅰ)取BC的中点E，连接AE,C1E，QAB=AC，\\AE^BC………1分 CA1QABB1A1是矩形，\\BB1^AB，又平面ABB1A1^平面ABC，\\BB1^平面ABC………2分 又QAEÜ平面ABC，\\AE^BB1………3分 又BC,BB1Ü平面BCC1B1，BCIBB1=B，\\AE^平面BCC1B1………4分 z C1B1 QB1C1//BC，且B1C1= 1 BC，\\B1C1//BE，\\四边形BB1C1E为平行四边形， 2 A\\C1E//B1B//A1A，\\四边形AA1C1E为平行四边形，\\AE//A1C1………5分 xCEy B\\A1C1^平面BCC1B1 ,又A1C1Ü平面AA1C1，\\平面AA1C1^平面BCC1B1………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得，以E为原点，EC,AE,EC1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设AB=AC=2， uuuur AA1=a，QÐCAB=120°，\\AE=1，CE=3，则C(3,0,0),A1(0,-1,a),C1(0,0,a),A1C=(3,1,-a)，uuuur A1C1=(0,1,0)………7分 易知平面A1B1C1的一个法向量为m=(0,0,1)………8分 uuuurì=0ì3x+y-az=0ïn×AC1 设n=(x,y,z)为平面CA1C1的法向量，由íuuuu得í， r y=0ïîn×A1C1=0î 第5页 令x=a，得n=(a,0,3)………10分 AA13|m×n|31=………12分 =2=，解得a=3，\\ |m|×|n|2AB2a+319.(本小题满分 12分） 2x2y2 在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为，左右焦点分别为F过F1且1,F2， ab2 \\cos 斜率不为0的直线l与椭圆C交于A,B两点，AF1,BF1的中点分别为E,F，DOEF的周长为22． (Ⅰ)求椭圆C的标准方程； (Ⅱ)设DABF2的重心为G，若|OG|=解:(Ⅰ)Qe= 2，求直线l的方程． 6 c2=，Qa=2c………2分 a2 11 AF1，OE=AF2， 22 连接AF2,BF2，QE,O分别为AF1,F1F2的中点，\\EF1=同理FF1= 11 BF1，OF=BF2………3分 22 1 \\DOEF的周长为(AF1+BF1+AF2+BF2)=2a=22，\\a=2，c=1………4分 2 2 2 2 x2 又b=a-c，\\b=1，\\椭圆C的标准方程为+y2=1………5分 2 (Ⅱ)Ql过点F1(-1,0)且斜率不为0，\\可设l的方程为x=my-1，设A(x1,y1),B(x2,y2)， ìx=my-1ï由íx2得(m2+2)y2-2my-1=0………7分 2 +y=1ïî2 2m1 ，y1×y2=-2………8分 2 m+2m+2 2 x+x2+1y1+y24 \\x1+x2=m(y1+y2)-2=-2，又QF2(1,0)，\\G(1,),即G(m2-2,22m) m+2333(m+2)3(m+2)\\y1+y2= ………9分 4222(m-2)(2m)m+4\\|OG|=+=………10分 9(m2+2)29(m2+2)23(m2+2) 2m4+4令，解得m=±2………11分 =23(m+2)6 \\直线l的方程为x+2y+1=0或x-2y+1=0………12分 20.(本小题满分 12分） 已知函数f(x)=xlnx+x2-ax(aÎR). (Ⅰ)若a=3，求f(x)的单调性和极值； 1 至少有1个零点，求a的取值范围. ex解:(Ⅰ)法一:当a=3时，f(x)=xlnx+x2-3x,\\f¢(x)=lnx+2x-2………1分 当0 (Ⅱ)若函数y=f(x)+ \\f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+¥)上单调递增………3分 f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=-2，无极大值………4分 第6页 法二：当a=3时，f(x)=xlnx+x2-3x，\\f¢(x)=lnx+2x-2………1分 Qf¢(x)在(0,+¥)上单调递增，且f¢(1)=ln1+2-2=0， \\当xÎ(0,1)时，f¢(x)<0；当xÎ(1,+¥)时，f¢(x)>0………2分 \\f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+¥)上单调递增………3分 f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=-2，无极大值………4分 (Ⅱ)Qf(x)+ 111122 ………5分 x=xlnx+x-ax+x，由xlnx+x-ax+x=0得a=lnx+x+eeexexx2xx 11x+1xe+xe-x-1(xe-1)(x+1) =令g(x)=lnx+x+x，则g¢(x)=+1-2x=………6分 xexxex2exx2ex由g¢(x)=0得xex=1. xxx 令h(x)=xe，当x>0时，h¢(x)=(x+1)e>0，\\h(x)=xe在(0,+¥)单调递增， 11eQh()=<1，h(1)=e>1，\\存在x0Î(,1)，使得x0ex0=1………7分 222且当xÎ(0,x0)时，h(x)<1，即xex-1<0，当xÎ(x0,+¥)时，h(x)>1，即xex-1>0………8分 Qx+1>0，x2ex>0，\\当xÎ(0,x0)时，g¢(x)<0；当xÎ(x0,+¥)时，g¢(x)>0， \\g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+¥)上单调递增………9分 \\g(x)在x=x0处取得最小值g(x0)=lnx0+x0+ 1 ………10分 x0ex0 Qx0ex0=1，\\ln(x0ex0)=ln1=0，即lnx0+x0=0， \\lnx0+x0+ 11 =1，即g(x0)=1………11分 x0=0+x0e1 1 无零点， ex11 当a³1时，Qg(a)=lna+a+a>a，\\函数y=f(x)+x至少有1个零点， aee 故a的取值范围是[1,+¥)………12分 \\当a<1时，函数y=f(x)+ 21.(本小题满分 12分） 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下:①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现20:20，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现29:29，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q. (Ⅰ)若p=q= 2 ，记“甲以21:i(i£19,iÎN)赢一局”的概率为P(Ai)，试比较P(A9)与P(A10)的大小； 3 甲发球 乙发球 总计 甲得分 乙得分 总计 60 50 100 90 190 (Ⅱ)根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右2´2列联表部分数据.若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p,q的值. ①完成2´2列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？ ②已知在某局比赛中，双方战成27:27，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望. n(ad-bc)2参考公式:K=，其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 2 临界值表供参考： 第7页 P(K2³k) 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 解:(Ⅰ)Q甲以21:i (i£19,iÎN)获胜，则在这21+i个回合的争夺中，前20+i个回合里，甲赢下20个回合，输掉i个回合，且最后一个回合必需获胜………1分 2202i22211iii \\P(Ai)=C20´()´(1-)´=C´()´()， +i20+i 333332121910 \\P(A9)=C29´()21´()9，P(A10)=C30´()21´()10………2分 3333219 C29´()21´()9 P(A9)33=29!´10!´20!´3=1，\\P(A)=P(A)………4分 Q=910P(A10)C10´(2)21´(1)109!´20!30! 30 33 (Ⅱ)①2´2列联表如右:………5分 190´(50´30-60´50)2 K=»5.40………6分 100´90´110´80 2 甲发球 乙发球 总计 甲得分 乙得分 总计 50 60 110 50 30 80 100 90 190 Q5.40>3.841，\\有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关” ………7分 ②由2´2列联表知p= 12 ，q=，此局比赛结束，比分可能是29:27，30:28，30:29， 23 \\X=2,4,5………8分 211111114 若比分为29:27，则甲获胜概率为´=，乙获胜概率为´=，\\P(X=2)=+=， 323339399212112111 若比分为30:28，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率´´´+´´´=， 323233226211112112 乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率´´´+´´´=， 3233332327\\P(X=4)= 1213+=，62754 41317-=， 95454 若比分为30:29，则P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=4)=1- \\X的分布列为 X 2 4 5 41317 P 95454………11分 41317185 \\EX=2´+4´+5´=………12分 9545454 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10分) ìx=1+2cosj在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为í(j为参数)，以O为极点，x轴非负半轴为极 y=2sinjî轴建立极坐标系，直线l1,l2的极坐标方程分别为q=q0，q=q0+ p (qÎ(0,p))，l1交曲线E于点A,B，20 l2交曲线E于点C,D. 第8页 (Ⅰ)求曲线E的普通方程及极坐标方程； (Ⅱ)求BC+AD的值. 2 2 ìx=1+2cosj解:(Ⅰ)由E的参数方程í(j为参数)，知曲线E是以(1,0)为圆心，半径为2的圆， y=2sinjî \\曲线E的普通方程为(x-1)2+y2=4………2分 令x=rcosq，y=rsinq得(rcosq-1)2+r2cosq2=4， 即曲线E极坐标方程为r2-2rcosq-3=0………4分 (Ⅱ)依题意得l1^l2，根据勾股定理，BC2=OB2+OC2，AD2=OA2+OD2………5分 将q=q0，q=q0+ p 代入r2-2rcosq-3=0中，得r2-2rcosq0-3=0，r2+2rsinq0-3=0 2 ………7分 设点A,B,C,D所对应的极径分别为r1,r2,r3,r4，则r1+r2=2cosq0，r1r2=-3，r3+r4=-2sinq0， r1r2=-3………8分 \\BC+AD=OA+OB+OC+OD=r12+r22+r32+r42=(r1+r2)2-2r1r2+(r3+r4)2-2r3r4 =4cos2q0+6+4sin2q0+6=16………10分 23.[选修4─5：不等式选讲](本小题满分 10分） 已知函数f(x)=(Ⅰ)求m的值； (Ⅱ)若a,b,c为正数，且a+b+c=m，求证:解:(Ⅰ)f(x)的定义域为{xÎR|x¹}， 2 2 2 2 2 2 x+1-2-x2x-1 的最大值为m． bcacab++³1. abc 1 2 Qx+1-2-x£(x+1)-(2-x)=2x-1， ì(x+1)(2-x)³0ï11 当且仅当í，即或 2î \\f(x)£ 2x-12x-1 =1，\\m=1………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知a+b+c=1………6分 Q bcacbcacbcabbcabacabacab+³2×=2c，+³2×=2b，+³2×=2a………8分 ababacacbcbc相加得2( 1bcacab ++)³2(a+b+c)，当且仅当a=b=c=时取等号………9分 3abc \\ bcacab ++³1………10分 abc 命题人：王锋 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航 第9页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容