数学试卷 (试题卷)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（ ） A．
21
B．2 C．√2
D．
√2 2
2．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
体积为（ ）A．34
B．42
C．54
D．72
√151𝑠𝑖𝑛𝐶
=2，且S△ABC=，
4𝑠𝑖𝑛𝐴43．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，则b＝（ ） A．4
B．3
C．2
D．1
4．数列{an}，通项公式为an＝n2+an，若此数列为递增数列，则a的取值范围是（ ） A．a≥﹣2
B．a＞﹣3
C．a≤﹣2
D．a＜0
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，𝐵𝐶=2√3，则△ABC的面积为（ ） A．4√3 B．4
C．2√3
D．√3
6．直线倾斜角的范围是（ ） A．（0，]
2𝜋
B．[0，]
2
𝜋
C．[0，π） D．[0，π]
7．已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A．a
B．√3a
C．√2a
D．2a
8．以下给出了4个命题：
（1）两个长度相等的向量一定相等；
（2）相等的向量起点必相同；
（3）若𝑎⋅𝑏=𝑎⋅𝑐，且𝑎≠0，则𝑏=𝑐； （4）若向量𝑎的模小于𝑏的模，则𝑎＜𝑏． 其中正确命题的个数共有（ ） A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0个
𝜋2→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AA1＝2，BC＝2√3，∠BAC=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A．
32𝜋3
B．16π C．
25𝜋3
D．
31𝜋2
10．若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ） A．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
B．（﹣1，0）
D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
11．已知等差数列{an}中，a1＝1，an＝70（n≥3）．若{an}公差为某一自然数，则n的所有可能取值为（ ） A．3，23，69
B．4，24，70
C．4，23，70
D．3，24，70
2𝑚+𝑛≤4
𝑚−𝑛≤2
12．已知实数m、n满足不等式组{，则关于x的方程x2﹣（3m+2n）x+6mn＝0
𝑚+𝑛≤3𝑚≥0的两根之和的最大值和最小值分别是（ ） A．6，﹣6
B．8，﹣8
C．4，﹣7
D．7，﹣4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量𝑎=（1，x），𝑏=（﹣2，y﹣2），若向量𝑎，𝑏共线，则xy的最大值为 ． 14．已知直线3x+4y﹣12＝0与x轴、y轴相交于A，B两点，点C在圆（x﹣5）2+（y﹣6）
2
→
2
→
2
→
→
＝9上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为 ．
2𝑥−𝑦−1≤015．设x，y满足约束条件{𝑥−𝑦≥0若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为
𝑥≥0．𝑦≥01，则+的最小值为 ．
𝑎
𝑏1
4
16．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM
上的射影P落在直线BC上，点A在直线L上的射影为Q，则
|𝑃𝑄|
|𝐴𝑄|
的最小值为 ．
三、解答題：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤．
17．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切； （Ⅰ）若𝐹𝐴=𝜆1𝐴𝑃，𝐵𝐹=𝜆2𝐹𝐴，18．已知椭圆C：𝑥2𝑚2→
→
→
→
𝜆1𝜆2
∈[，]，求λ2的取值范围．
4
2
11
+y2＝1（常数m＞1），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐
标为（2，0）．
（1）若M与A重合，求C的焦点坐标； （2）若m＝3，求|PA|的最大值与最小值； （3）若|PA|的最小值为|MA|，求m的取值范围． 19．已知数列{an}中，a1=5，an＝2−𝑎3
（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=𝑎−1（n∈N*）．
𝑛𝑛−1
11
（1）求证：数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}中的通项公式an．
20．设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3﹣a2＝12． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：平面PCG∥平面AEF；
（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．
22．已知数列{𝑎𝑛−2𝑛}为等差数列，且a1＝8，a3＝26． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A 10．D 11．B 12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．
√2． 2
14．15 15．9．
16．过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r=以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则M（2，2），A（0，8），
因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率， 过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P， 设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|=
1
|2𝑘+6|√𝑘2+1
6+8−10
=2， 2，
又直线AQ的方程为：y=−𝑘x+8，则P（8k，0），所以|AP|=√64𝑘2+64=8√𝑘2+1， 所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8√𝑘2+1−所以
|𝑃𝑄||𝐴𝑄|
|2𝑘+6|√𝑘2+1
，
=
8(𝑘2+1)|2𝑘+6|
−1，
①当k＞﹣3时，
8(𝑘2+1)|2𝑘+6|
−1=4（k+3）+
40
−25≥8√10−25， 𝑘+3当且仅当4（k+3）=②当k＜﹣3时，则
40
，即k=√10−3时取等号； 𝑘+38(𝑘2+1)|2𝑘+6|
40
−1=−4（k+3）−
40
+23≥8√10+23， 𝑘+3当且仅当﹣4（k+3）=−𝑘+3，即k=−√10−3时取等号，
三、解答題：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤． 17．（Ⅰ）由题设知𝐹(，0)，设A（x1，y1），则y12＝2px， 圆心(
2𝑥1+𝑝𝑦1，2)， 42𝑥1+𝑝4𝑝2圆心到y轴的距离是圆半径为
|𝐹𝐴|2
，
𝑝2
2𝑥1+𝑝4
=
12
×|𝑥1−(−)|=
，
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（Ⅰ）设P（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由𝐹𝐴=𝜆1𝐴𝑃，𝐵𝐹=𝜆2𝐹𝐴， 得(𝑥1−，𝑦1)=𝜆1(−𝑥1，𝑦0−𝑦1)，(−𝑥2，−𝑦2)=𝜆2(𝑥1−，𝑦1)， ∴𝑥1−
𝑝2
𝑝
=−𝜆1𝑥1，y1＝λ1（y0﹣y1）， 2𝑝2
𝑝2𝑝2𝑝2→
→
→
→
−𝑥2=𝜆2(𝑥1−)，y2＝﹣λ2y1，
∴y22＝λ22y12，
∵y12＝2px1，y22＝2px2． ∴x2＝λ22x1，
代入−𝑥2=𝜆2(𝑥1−)，
2
2
𝑝𝑝
得−𝜆2𝑥1=𝜆2(𝑥1−)，(1+𝜆2)=𝑥1𝜆2(1+𝜆2)，
2
2
2
𝑝
2
𝑝𝑝
整理，得𝑥1=
𝑝
𝑝， 2𝜆2
𝑝2𝜆2
代入𝑥1−2=−𝜆1𝑥1，得∴∵
1𝜆2𝜆1𝜆2
−
𝑝2
=
𝜆1𝑝
， 2𝜆2
=1−
14
𝜆1𝜆212
，
∈[，]，
43
∴λ2的取值范围[，2]．
18．（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）； 则a＝2；椭圆的焦点在x轴上，则c=√3； 则椭圆焦点的坐标为（√3，0），（−√3，0）；
𝑥2
（2）若m＝3，则椭圆的方程为+y＝1，变形可得y＝1−9，
9
2
2
𝑥2
|PA|2＝（x﹣2）2+y2＝x2﹣4x+4+y2=又由﹣3≤x≤3，
根据二次函数的性质，分析可得，
8𝑥2
−4x+5； 9
8𝑥2
x＝﹣3时，|PA|=−4x+5取得最大值，且最大值为25；
92
x=4时，|PA|2=9−4x+5取得最小值，且最小值为；
2则|PA|的最大值为5，|PA|最小值为（3）设动点P（x，y），
则|PA|2＝（x﹣2）2+y2＝x2﹣4x+4+y2=当x＝m时，|PA|取得最小值，且则
2𝑚2𝑚2−1
𝑚2−1𝑚2
𝑚2−12𝑚224𝑚2
（x−）−2+5，且﹣m≤x≤m； 𝑚2𝑚2−1𝑚−1的
9
8𝑥2
1
√2； 2
＞0，
≥m，且m＞1；
解得1＜m≤1+√2． 19．（1）证明：∵an＝2−𝑎（n≥2，n∈N*），bn=𝑎−1（n∈N*）．
𝑛𝑛−1
1
1𝑎𝑛−1−1
11
∴n≥2时，bn﹣bn﹣1=𝑎−1−𝑎−1=
𝑛𝑛−12−
11
−𝑎1
𝑛−1
=
−1𝑎𝑎𝑛−11
−=1． 𝑎𝑛−1−1𝑛−1−1又b1=𝑎−1=−2，∴数列{bn}是以−2为首项，1为公差的等差数列．
1（2）解：由（1）知，bn=−2+（n﹣1）＝n−2=则an＝1+𝑏=1+2𝑛−7．
𝑛
155
57
2𝑛−7
， 2
12
20．（1）设数列{an}的公比为q，由a1＝2，a3﹣a2＝12， 得：2q2﹣2q﹣12＝0，即q2﹣q﹣6＝0． 解得q＝3或q＝﹣2， ∵q＞0，
∴q＝﹣2不合题意，舍去，故q＝3． ∴an＝2×3n1；
﹣
（2）∵数列{bn}是首项b1＝1，公差d＝2的等差数列， ∴bn＝2n﹣1，
∴Sn＝（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）
2(3−1)𝑛(1+2𝑛−1)
=3−1+ 2𝑛
＝3n﹣1+n2．
21．（ 1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点， ∴𝐸𝐹∥2𝑃𝐶，
¯
¯
1
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC， ∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点， ∴AE∥CG，
∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG， ∴AE∥平面PCG，
又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG， ∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF， ∴平面AEF∥平面PEG．
（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点， 易知F，N分别是BP，BM中点，
∴𝐹𝑁∥𝑃𝑀，
¯¯
12∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC， ∴FN∥平面PGC， 即N点为所找的H点．
22．（1）设数列{𝑎𝑛−2𝑛}的公差为d，∵𝑎1−2=6，𝑎3−23=18， ∴𝑑=
18−6
=6，… 2∴𝑎𝑛−2𝑛=6+6(𝑛−1)=6𝑛， ∴𝑎𝑛=2𝑛+6𝑛⋯（7分）
2−2
（2）𝑆𝑛=2+2+⋯+2+6(1+2+⋯+𝑛)=1−22
𝑛
𝑛+1
+6×
𝑛(𝑛+1)𝑛+1
=2+3𝑛(𝑛+21)−2
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