平山县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设a∈R，且（a﹣i）•2i（i为虚数单位）为正实数，则a等于（ ） A．1 B．0 C．﹣1 D．0或﹣1
2． 已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A．
B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．x3＞y3 D．sinx＞siny
3． 某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（
A．20+2π B．20+3π C．24+3π D．24+3π
4． 已知实数x，y满足约束条件，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是（A．[﹣
，0]
B．[0，
] C．（﹣∞，0]∪[
，+∞）
D．（﹣∞，﹣
]∪[0，+∞）5． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A． B． C． D． 6． 已知α是三角形的一个内角，且，则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形
B．锐角三角形
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）
）
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C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形
7． 边长为2的正方形ABCD的定点都在同一球面上， 球心到平面ABCD的距离为1，则此球的表面积为（ ）A．3π B．5π
C．12π D．20π
8． 过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ） A．1
B．2
C．3 中，B．D．4
，前项和为
，若数列C．
也是等比数列，则
D．
1.2
，b=f（log43），c=f（0.4﹣）
9． 在等比数列A．
等于（ ）
10．已知f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
11．阅读如右图所示的程序框图，若输入a0.45，则输出的k值是（ ） （A） 3 （ B ） 4 （C） 5 （D） 6
12．已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有
成立，下列结论中错误的是（ ）
A．f（3）=0
B．直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴 C．函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点 D．函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数
二、填空题
13．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．
B．
C．
，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成
D．
14．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ． 15．双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为 ．
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16．已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．
17．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的 值是 ．
18．把函数y=sin2x的图象向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的定义域； （2）判断并证明f（x）的奇偶性； （3）求证：f（）=﹣f（x）．
20．已知
，数列{an}的首项
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2012的最小正整数n．
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21．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如表： 月份x 1 2 4 3 5 4 6 5 6 销售量y（百件） 4 （Ⅰ）该同学为了求出y关于x的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）
（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望．
22．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=（Ⅰ）集合M，N；
（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）． 23．在（1）求（2）求
中，的值;
的值。
，
，
.
的定义域为集合N．求：
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24．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=（1）若cos∠ADC=，求AB的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？
．
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平山县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数， ∴2a=0， 解得a=0． 故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
2． 【答案】C
xy
【解析】解：∵实数x、y满足a＜a（1＞a＞0），∴y＜x． 对于A．取x=1，y=0，
不成立，因此不正确；
22
对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x+1）＞ln（y+1）不成立； 333
对于C．利用y=x在R上单调递增，可得x＞y，正确；
对于D．取y=﹣故选：C．
π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．
3． 【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），其底面面积S=2×2+底面周长C=2×3+
=4+
，
=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π， 故柱体的全面积为：12+2π+2（4+故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
4． 【答案】A
）=20+3π，
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【解析】解：由约束条件作可行域如图，
联立联立由题意得：
，解得B（3，﹣3）．
，解得A（
，解得：
． ）．
．
∴实数k的数值范围是故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
5． 【答案】A 【解析】解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确； 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确 故A选项正确． 故选：A． 题的关键．
6． 【答案】A
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问
2
【解析】解：∵（sinα+cosα）=，∴2sinαcosα=﹣，
∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0，
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∴cosα＜0， 故选A．
∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．
【点评】把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的 形状．
7． 【答案】C
【解析】解：∵正方形的边长为2， ∴正方形的对角线长为∴球的半径R=故选：C．
【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键．
8． 【答案】A
2
【解析】解：∵x=2y，∴y′=x， ∴抛物线C在点B处的切线斜率为1， ∴B（1，），
2
∵x=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，
=2=
， ，
∵球心到平面ABCD的距离为1，
2
则此球的表面积为S=4πR=12π．
∴直线l的方程为y=， ∴|AF|=1． 故选：A．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．
9． 【答案】D
【解析】 设因为即因为
，所以
，即
的公比为，则
也是等比数列，所以
，所以，所以
，
，
，
，故选D
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答案：D
10．【答案】C
【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）． ∵log43＜1，∴|log43|＜1； 2＞|ln|=|ln3|＞1；
1.2
∵|0.4﹣|=|
1.2
|＞2
1.2
∴|0.4﹣|＞|ln|＞|log43|．
又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数， ∴f（x）在[0，+∞）上是减函数． ∴c＜a＜b． 故选C
11．【答案】 D.
【解析】该程序框图计算的是数列前n项和，其中数列通项为an12n12n1
Sn11133512n12n111122n19Sn0.45nn最小值为5时满足
2Sn0.45，由程序框图可得k值是6． 故选D．
12．【答案】D
【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3）， ∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3）， ∴f（3）=0，故A正确；
对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数， ∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x）， ∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），
∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；
对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0， ∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），
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∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确； 对于D：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有
∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，
∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D错误． 综上所述，命题中正确的有A、B、C． 故选：D．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．
，
二、填空题
13．【答案】 则DM∥C1B1，
【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM， 在在直三棱柱中，∠ACB=90°， ∴DM⊥平面AA1C1C，
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角， 则DM=，AD=
=
=，
则tan∠MAD=．
法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系， 则∵AC=BC=1，侧棱AA1=∴
=（﹣，，﹣
），
，M为A1B1的中点，
=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ， 则sinθ=|则tanθ= 故选：A
|=
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【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
14．【答案】 ．
2
【解析】解：∵抛物线C方程为y=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1）， 由
，消去x得
．
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，
2
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y2=﹣4， 2
消去y2得k=3，解之得k=±
．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
15．【答案】 4 ．
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222
【解析】解：双曲线x﹣my=1化为x﹣=1，
22
∴a=1，b=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
22
∴2a=2×2b，化为a=4b，即1=，
解得m=4． 故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
16．【答案】 4 ．
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
17．【答案】【解析】
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考
点：点关于直线对称；直线的点斜式方程. 18．【答案】 y=cosx ．
【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移故答案为：y=cosx．
个单位长度，得
，即y=cos2x的图象，把y=cos2x
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；
三、解答题
19．【答案】
2
【解析】解：（1）∵1+x≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）； （2）∵f（﹣x）=∴f（x）为偶函数； （3）∵f（x）=
．
=
=f（x），
∴f（）===﹣=﹣f（x）．
即f（）=﹣f（x）成立．
【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
，
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， ．
数列
是以1为首项，4为公差的等差数列．…
，
则数列{an}的通项公式为（Ⅱ）
．…
．…① ．…②
②﹣①并化简得
易见Sn为n的增函数，Sn＞2012， 即（4n﹣7）•2
n+1
．…
＞1998．
满足此式的最小正整数n=6．…
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：（1）且
，代入回归直线方程可得
， =5…
∴=0.6x+3.2， x=6时， =6.8，…
（2）X的取值有0，1，2，3，则
，
，
，
其分布列为： X P … …
0 1 2 3 【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．
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22．【答案】
【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得 x＞，∴M={x|x＞}．
由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得 x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或 x＞3}． （2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或 x＞3}， ∴CR（M∪N）=．
【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．
23．【答案】
【解析】 解：（Ⅰ）在于是（Ⅱ）在于是所以
24．【答案】
【解析】（本小题满分12分） 解：（1）∵∴∴∵
，
…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分） ，…3分
，
中，根据正弦定理，
中，根据余弦定理，得
，
∴
（2）∵∠BAD=θ， ∴
，…5分
，…6
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由正弦定理有∴∴=当
，即
，…11分
，…7分
，…8分
，…10分
时f（θ）取到最大值9．…12分
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
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