平面解析几何知识点归纳

◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角的取值范围为[0,)

2.斜率：ktan(a)，kR

2斜率公式：经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为kPP12y2y1 x2x13.直线方程的几种形式 名称 斜截式 方程 说明 k是斜率 b是纵截距 适用条件 与x轴不垂直的直线 点斜式 (x0,y0)是直线上的已知点 两点式 (x1,y1),(x2,y2)是直线与两坐标轴均不垂直的直线 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 上的两个已知点 截距式 a是直线的横截距 b是直线的纵截距 一般式 当B0时，直线的横C截距为 A所有直线 当B0时，ACC,,分别为直BAB线的斜率、横截距，纵截距 能力提升

斜率应用

f(a)f(b)f(c)的大小关系 ,,abcy3例2.已知实数x,y满足yx22x2(1x1)，试求的最大值和最小值

x2例1.已知函数f(x)log2(x1)且abc0，则

两直线位置关系

两条直线的位置关系

位置关系 k1k2，且b1b2 k1k2，且b1b2 A1B1C1(A1B2-A2B1=0) A2B2C2平行 重合 相交 垂直 设两直线的方程分别为：1l:yk1xb1或l1:A1xB1yC10；

当k1k2或A1B2A2B1时

l2:yk2xb2l2:A2xB2yC20yk1xb1A1xB1yC10或

yk2xb2A2xB2yC20它们相交，交点坐标为方程组直线间的夹角：

①若为l1到l2的角，tank2k1A1B2A2B1或tan；

1k2k1A1A2B1B2k2k1A1B2A2B1tan或；

1k2k1A1A2B1B2o②若为l1和l2的夹角，则tan③当1k1k20或A1A2B1B20时，90；直线l1到l2的角与l1和l2的夹角：

(2)或(2)；

距离问题

1.平面上两点间的距离公式P1(x1,y1),P2(x2,y2) 则 P1P2(x2x1)(y2y1) 2.点到直线距离公式

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d3.两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2AB22Ax0By0CAB22

4.直线系方程:若两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1xB1yC1)＋(A2xB2yC2)0或

(A2xB2yC2)+(A1xB1yC1)0 (λ为常数)

对称问题

1.中点坐标公式：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，则A,B中点H(x,y)的坐标公式为

x1x2x2 yy1y22点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为Q(2ax0,2by0)，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。

2.轴对称： 点P(a,b) 关于直线AxByc0(B0)的对称点为P'(m,n)，则有

An-b()1m-aB，直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问ambnABC022题。

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点

(2ca,2db)

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两

点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线l1:2x3y60关于点P(1,1)对称的直线l2的方程。

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点A(3,5)关于直线l:3x4y40对称的坐标。 ②直线关于直线对称：（设a,b关于l对称）

Ⅰ、若a,b相交，则a到l的角等于b到l的角；若a//l，则b//l，且a,b与l的距离相等。 Ⅱ、求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P'的坐标适合a的方

程。

如：求直线a:2xy40关于l:3x4y10对称的直线b的方程。

能力提升

例1.点P(2,1)到直线mxy30(mR)的最大距离为

例2.已知点A(3,1)，在直线yx和y0上各找一点M和N，使AMN的周长最

短，并求出周长。

线性规划问题：

（1）设点P(x0,y0)和直线l:AxByC0，

①若点P在直线l上，则Ax0By0C0；②若点P在直线l的上方，则

B(Ax0By0C)0；

③若点P在直线l的下方，则B(Ax0By0C)0； （2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式AxByC0(0)，

①当B0时，则AxByC0表示直线l:AxByC0上方的区域；

AxByC0表示直线l:AxByC0下方的区域；

②当B0时，则AxByC0表示直线l:AxByC0下方的区域；

AxByC0表示直线l:AxByC0上方的区域；

注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线AxByC中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。 （3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越大； 直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；

②当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越小； 直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大；

如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数

zxay取得最小值的最优解有无数个，则a为 ；

y O A(1,1C(4,2B(5,x （1）设点P(x0,y0)和直线l:AxByC0，

①若点P在直线l上，则Ax0By0C0；②若点P在直线l的上方，则

B(Ax0By0C)0；

③若点P在直线l的下方，则B(Ax0By0C)0； （2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式AxByC0(0)，

①当B0时，则AxByC0表示直线l:AxByC0上方的区域；

AxByC0表示直线l:AxByC0下方的区域；

②当B0时，则AxByC0表示直线l:AxByC0下方的区域；

AxByC0表示直线l:AxByC0上方的区域；

注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线AxByC中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。 （3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越大； 直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；

②当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越小； 直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大；

如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数

zxay取得最小值的最优解有无数个，则a为 ； 圆与方程

2.1圆的标准方程：(xa)(yb)r圆心C(a,b)，半径r

222y O A(1,1C(4,2B(5,x 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：xyr. 2.2点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上

d=r；(2)点在圆外

d＞r；(3)点在圆内

d＜r．

222 2.给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

（x0a)2(y0b)2r2 ①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上 ③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2 2.3 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 .

DE当DE4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径r2222D2E24F.

2当D2E24F0时，方程表示一个点DE,. 22当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且D2E24AF0.

圆的直径系方程：已知AB是圆的直径

2.4 直线与圆的位置关系： 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(dAaBbCAB22

（1）dr相离0；(2)dr相切0；

（3）dr相交0 2.5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d。

（1）dr1r2外离4条公切线；（2）dr1r2外切3条公切线； （3）r1r2dr1r2相交2条公切线；（4）dr1r2内切1条公切线； （5）0dr1r2内含无公切线；

外离 外切 相交 内切 内含 圆的切线方程：

1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）

2.圆x2y2r2的斜率为k的切线方程是ykx1k2r过圆x2y2DxEyF0上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0xy0yDxx0yy0EF0. 222

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R. 特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，联立求出k切线方程. 若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则RR21LL3.圆的弦长问题：1.半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：R2d2

222、弦长公式（设而不求）：

2AB（x1x2）(y1y2)（1k）[(x1x2)4x1x2]

2222