固有频率的计算

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基本内容

1、单自由度系统的自由振动

2、固有频率的计算

3、单自由度系统有阻尼的自由振动4、单自由度系统的受迫振动5、隔振与减振

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基本要求

1、会应用动力学基本理论建立单自由度系

统的振动微分方程

2、掌握自由振动、受迫振动的特征

3、会计算振动周期、固有频率和振幅4、掌握共振和临界转速的概念5、了解隔振的概念

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引言

一、振动的现象与定义1、振动：物体（或系统）在其平衡位置附近

周期性的往复运动。

振动是日常生活和工程实际中常见的物理现象。例如：钟表的摆动；汽车行驶时车厢的上、下颠簸，左、右晃动；电机、机床等工作时的振动，狂风吹得旗帜哗哗作响、对瓶口吹气引起发声；以及地震时引起的建筑物的振动等。4

引言

一、振动的定义与现象2、振动的利弊：

利：振动给料机振动筛振动打桩机等弊：磨损，减少寿命，影响强度引起噪声，影响劳动条件消耗能量，降低精度等。3. 研究振动的目的：研究并掌握振动规律，消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。5

引言

二、振动的模型与分析方法mgstxlmgmk单自由度质量弹簧系统km6

引言

三、振动的分类：

按振动系统的自由度分类单自由度系统的振动多自由度系统的振动弹性体的振动按振动产生的原因分类：自由振动：无阻尼的自由振动，

有阻尼的自由振动（衰减振动）强迫振动：无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动按振动方程：可分为线性振动和非线性振动。7

§17-1 单自由度系统的自由振动一、自由振动的概念：质量—弹簧系统

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一、自由振动的概念：9

一、自由振动的概念：运动过程中，其方向恒指向物体平衡位置的力称为恢复力。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下于其平衡位置附近的往复运动称为无阻尼自由振动。二、自由振动微分方程及其解弹簧－质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为k,物块自平衡位置的初始速度为v0。kl010

mv011二、自由振动微分方程及其解kl0FmmxOx以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置x > 0 处。物块在x 方向只受有弹簧力F＝k x。Fix＝-k xmxi＋kx0mx12

＋kx0mxkl0FOxmxk＋x0,xmxAsin(0t)2020v0t0：xx0；xx0Asinv0A0cosxv202020x00tanv0A0x20v202013

二、自由振动微分方程及其解xAsin(0t)x00arctanv0三、自由振动的特点：

Ax20v2020A ——振幅，振体离开平衡位置的最大位移。

0t+ ——相位，决定振体在t 瞬时的位置——初相位，决定振体运动的起始位置。

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xAsin(0t)Ax20v2020x00tanv02三、自由振动的特点：

T——周期，每振动一次所经历的时间。Tf ——频率，每秒钟振动的次数，

0f= 1 / T 。

0 ——固有频率，振体在2秒内振动的次数。

反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。

k0mst：静变形

mgkst0gst15

结论：无阻尼自由振动

(1) 其规律为简谐振动；(2) 振幅A和初相位j取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(3) 周期T 和固有频率0仅决定于系统本身的固有参数(m, k, J )。四、其它

1. 若系统在振动方向上受到某常力的作用，其常力只影响静平衡点O 的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。16

2. 弹簧串、并联系统的等效刚度并联弹簧

F1F2 因为sk1k2mgF1F2则 mg(k1k2)s , mg sk1k2k1k2keq=k1+k2sW所以keqk1k217

2. 弹簧串、并联系统的等效刚度串联弹簧

k1k2ss1s2mgmgk1k211mg()k1k2mg11smg()keqk1k2k1k2keqk1k2sWk1k2 keqk1k218

§17-2 固有频率的计算方法

1.据keqk0mmeqkeq ：等效刚度meq ：等效质量

2.静变形法：mgkst0gstst：集中质量在全部重力作用下的静变形203.列运动微分方程（由系统的振动微分方程的标准形式）求0 q0qk0m19

§17-2 固有频率的计算方法

4.能量法：由Tmax= Vmax, 求出0无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。20

§17-2 固有频率的计算方法

4.能量法：由Tmax= Vmax, 求出0xAsin (0t)Vmax122k[(Ast)st]mgA2如：kstmg  Vmax12kA2A

Tmax12122mA0mx2221

4.能量法： Vmax12kA2Tmax122mA02由 TmaxVmax112k22mA0kA 022m能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂振动系统的固有频率而言，

实为一种简便的方法。

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例题1试计算图示（a）（b）系统的固有频率k1k1k2mmk1k1k2(a)(b)0keqmeqk12k22m0keqmeq2k1k2(2k1k2)m23

例题2如图为一摆振系统，杆重不计，球质量为m，摆对轴O的转动惯量为J。弹簧刚度系数为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及固有频率。ldOFkφmmg24

例题225例题2解：摆于水平位置处，弹簧已有压缩量0，弹簧力F=k0。据平衡方程∑MO(Fi)=0，有以平衡位置为原点，摆在任一小角度j处，弹簧压缩量为0+jd。摆绕轴的转动微分方程为mglk0d (a)djJ2mglk(0jd)ddt将式(a)代入上式，得O2ldφmdj2J2kdjdt2Fkmg26例题2解：

dj2J2kdjdt上式移项，可化为标准形式的自由振动微分方程2djkdj02dtJ则此摆振系统的固有频率为22 (b)ldk0dJmOFkφmg27

例题3图示振动系统，杆的质量不计。已知：k1、k2、m，系统在图示位置平衡，求系统作微振动时的频率。baCAk1k2Bm28

例题3（1）以AB杆为研究对象，受力如图。解：

MA(F)Fbmga0静平衡时，B点弹簧力F, 由∑MA(Fi) = 0 得：FAyFAxAAbbaaCCsCmmmgk1k1aFmgbFk2BBsB（2）分析各点的静位移FamgB：sBk2bk2aamgC：s2sB2bbk2229例题3解：（2）分析各点的静位移aamgFamgC：s2sB2B：sBbbk2k2bk2又因为弹簧k1在mg 作用下bFAy的静伸长st=mg/k1a所以,重物mg处的静位移：CFAxAmsCk12FBsC(ak1bk2)s2stmg2bk1k222sB（3）系统的频率01gbf22st2k1k2m(a2k1b2k2)mg30例题4试用能量法求图示系统的固有频率。设杆长l、质量不计，两弹簧的刚度系数均为k，一端连于杆上，另一端均系固定，球的质量为m。(a)mkOka解：1、计算keqkeq= 2k2、计算Tmax、Vmax(b)keqOvmmg31例题4解：1、计算keq：keq= 2k2、计算Tmax、VmaxkeqO11212222Tmaxmvmaxm(lm)ml0m2221122Vmaxkeqmmghkeqmmgl(1cos)222mmhll2m而(1cos2)(2sin)l222224所以v(b)mmg1h1mg222Vmaxkeqmmg2keqmlm222232例题4解：1、计算keq：keq= 2k2、计算Tmax、VmaxkeqO11212222Tmaxmvmaxm(lm)ml0m2221h1mg222Vmaxkeqmmg2keqmlm2222v(b)mmg3、据Tmax= Vmax0keqamglml222kag2mll332课堂练习如图表示一简支梁和悬臂梁各有一集中载荷，Fl重量为F，如图所示。已知梁的跨度为l，材料的弹性模量为E，截面惯性矩为I，不计梁的质量，求梁的固有频率。lF34课堂练习解：简支梁中点和悬臂梁端点的st分别为：lstF48EI3和lstF3EIFl3相当的弹簧系数分别为48EIk简3l和3EIk悬3llF则固有频率分别为：48EIg03Fl和3EIg03Fl35例题5图示系统，已知：m、k，滑轮的质量为M且均匀分布于轮缘上。求重物的振动周期。Rkm36

例题5解：

1）系统的k = 1，设q = xR2）计算T、V、L12112x2MR()(Mm)xTmx22R2kmgmg2122Vmgx(x)()kx2kk2x“0”势1122LTV(Mm)kx2237例题52）计算T、V、L解：3）计算LdLL,(),dtxxxdLL()0得：代入xdtx即kx0(Mm)xkxx0(Mm)1,Tf所以k0MmMmT2k38而0f2例题5解二：1）圆轮受力如图：R2）运动分析3）根据动量矩定理：OMgFdLOMO(F)dt2LOmvRJOR(mM)mgdLO2R(Mm)dt2MO(F)mgRFRmgRkRkR39例题5dLO解二：3）根据动量矩定理：MO(F)dt2LOmvRJOR(mM)2MO(F)mgRFRmgRkRkR2R(Mm)kR02dLO2R(Mm)dt即k0(Mm)所以MmT20k240§17-3 单自由度系统的有阻尼自由振动自学要求：

1、了解有阻尼振动的定义和力学模型阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。O2、了解有阻尼的振动微分方程及其通解3、掌握阻尼对振动的影响xm物体受有粘滞阻尼力的作用时，只有在小阻尼的情形下才发生振动，其振动周期延长(TdT），且振幅按几何级数衰减（也称衰减振动）。

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§17-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动

一、基本概念

受迫振动（强迫振动）：在外加激振力作用下的振动。简谐激振力：

FHsin(tj)其中：

H—激振力的力幅，即激振力的最大值；

—激振力的圆频率；j—激振力的初位相。

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二、无阻尼强迫振动微分方程及其解

kxHsin(tj)mxkH令  , h 则mm20Fk

e

F

F

xhsin(tj)x此即，无阻尼强迫振动微分方程的标准形式。20其全解由两部分组成：x = x1 + x243

xhsin(tj)x20xx1x2x1Asin(0t)为对应齐次方程的通解x2bsin(tj)为其特解hhb2 , x22sin(tj)2200hxAsin(0t)2sin(tj)20稳态受迫振动（稳态响应）

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hxAsin(0t)2sin(tj)20三、稳态强迫振动的主要特性：

1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的

质量及刚度系数无关。

3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的0、激振力的频率及激振力的力幅有关。

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三、稳态强迫振动的主要特性：

H(1) = 0 时b020k(2)0时，振幅b随增大而增大；当  0时，bh0时，振动相位与激振力相位反相，相差 rad。(3)

hb220b随增大而减小；20时 , bb0; 时b0—振幅比或称动力系数—频率比

—曲线幅频响应曲线

10（幅频特性曲线）

46bb004、共振现象

  0时 , b，这种现象称作共振。此时，x2Btcos(0tj) B x2bh20 , bh20t20tcos(0tj)47

§17-5 临界转速减振与隔振的概念

一、转子的临界转速

引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是由共振引起的。单圆盘转子：圆盘：质量m, 质心C点；转轴过盘的几何中心A点，AC= e，盘和轴同以匀角速度转动。当< 0（0为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时，OC= x+e(x为轴中点A的弯曲挠度）。48

m(xe)kxxek12me2（k为转轴相当刚度系数）1202当 0 时 , xk临界角速度：c0m临界转速：nc30c49

当 0 运转时 , 质心C 位于O、A之间OC=x -exek12me021()当 0 时 ,  , x ; 当 0 时 , xe当转速非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近，圆盘接近于绕质心C 旋转，于是转动平稳。为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。50

例题6电动机的质量m1=250kg，由4个刚度系数k=30kN/m的弹簧支持，如图所示。在电动机转子上装有一质量m2=0.2kg的物体，距转轴e=10mm。已知电动机被在铅锤方向运动。e求：（1）发生共振时的转速；（2）当转速为1000r/min时，稳定振动的振幅。kk51

例题6解：

（1）取电机为研究对象，受力如图。图中Fk= kx 为单根弹簧的恢复力（2）选电机静平衡位置为坐标原点。xn（3）建立振动方程由动量定理，得：Fkjed[m1xm2(xecosj)4kx2dt2Fk52例题6由动量定理，得：解：

d[m1xm2(xecosj)4kx2dtn式中jt,30展开上式得振动微分方程2xnjeFk2Fk4kxm2ecost(m1m2)x53例题6解：（3）建立振动微分方程4kxm2ecost(m1m2)x（4）计算转速n0、振幅b2xnje4k021.9rad/s,m1m2FkFkn0300209r/min2m2e3b8.410mm24k(m1m2)二、减振与隔振的概念

剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小系统的振动，尤其应避免在共振区内工作。许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可采取减振或隔振的措施，消除或减少振动的影响。55

二、减振与隔振的概念

减振：是指减少激振力的力幅或受迫振动的振幅。常用的措施有：

1、消除或减弱振源2、远离振源

3、避开共振区：工程上一般要求：0= 20-304、增大阻尼。在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如, 利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。56

隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。隔振

主动隔振：将振源与支撑振源的基础隔离开。被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。如，在精密仪器的底下垫橡皮或泡沫等。57