滦平县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 2． 已知函数f(x)esinx，其中xR，e2.71828x为自然对数的底数．当x[0,2函数yf(x)]时，

的图象不在直线ykx的下方，则实数k的取值范围（ ）

A．(,1) B．(,1] C．(,e) D．(,e]

【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 3． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）

2A．annn1 B．an22n(n1)n(n1)2 C．an D．ann1 224． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5． 若fx是定义在,上的偶函数，x1,x20,x1x2，有（ ）

A．f2f1f3 B．f1f2f3 C．f3f1f2 D．f3f2f1 6． 已知i是虚数单位，则复数A．﹣ +i B．﹣ +i C．﹣i

等于（ ） D．﹣i

fx2fx10，则

x2x1

7． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（ ）

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A．15 B．25 C．50 D．100

8． 已知直线 a平面，直线b平面，则（ ）

A．ab B．与异面 C．与相交 D．与无公共点

yx,9． 设m1，在约束条件ymx,下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）

xy1.A．(1,12) B．(12,) C. (1,3) D．(3,)

x10．已知函数F(x)e满足F(x)g(x)h(x)，且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，

若x(0,2]使得不等式g(2x)ah(x)0恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．(,22) B．(,22] C．(0,22] D．(22,) 11．函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=

A．2

B．3

C．7

处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）

D．9 ，

），使f（sinφ）=f（cosφ），则实

12．函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ ） A．（

） B．（，

]

C．（

） D．（

]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

x－2y＋1≤0

13．若x、y满足约束条件2x－y＋2≥0，z＝3x＋y＋m的最小值为1，则m＝________．

x＋y－2≤0

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14．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是 ． 15．Sn=

+

+…+

= ．

16．在空间直角坐标系中，设A(m，1,3)，B(1,1,1)，且|AB|22，则m .

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．已知

，且

．

，求sinβ的值．

（1）求sinα，cosα的值； （2）若

18．（本小题满分12分）1111]

1已知函数fxalnxa0，aR．

x（1）若a1，求函数fx的极值和单调区间；

（2）若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得fx00成立，求实数的取值范围．

19．如图，在四边形ABCD中,ADDC,ADBC,AD3,CD2,AB22,DAB45, 四 边形绕着直线AD旋转一周.

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（1）求所成的封闭几何体的表面积； （2）求所成的封闭几何体的体积.

20．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为方程为r=2 ìïx=2+tcosa（[0,]），直线l的参数方程为í（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的直角坐标和曲线C

的参数方程；

（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

21．BD为圆O的任意两条直径，CF是圆O所在平面的两条垂线，如图，已知AC，直线AE，且线段AE=CF=AC=2．

（Ⅰ）证明AD⊥BE；

（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．

，

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22．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*） （Ⅰ）求证：数列{an+2n}是等比数列； （Ⅱ）设bn=ansin（Ⅲ）设Cn=﹣

π，求数列{bn}的前n项和；

，数列{Cn}的前n项和为Pn，求证：Pn＜．

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滦平县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 2． 【答案】B

【解析】由题意设g(x)f(x)kxesinxkx，且g(x)0在x[0,]时恒成立，而

x2xosx0，所以h(x)在[0,]上递g'(x)ex(sinxcosx)k．令h(x)ex(sinxcosx)，则h'(x)2ec22增，所以1h(x)e．当k1时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递增，g(x)g(0)0，符合题意；当ke22时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递减，g(x)g(0)0，与题意不合；当1ke2时，g(x)为一个递增

2函数，而g'(0)1k0，g'()e2k0，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得g'(x0)0，

2当x[0,x0)时，g'(x)0，从而g(x)在x[0,x0)上单调递减，从而g(x)g(0)0，与题意不合，综上

所述：k的取值范围为(,1]，故选B．

3． 【答案】C 【解析】

试题分析：可采用排除法，令n1和n2，验证选项，只有an考点：数列的通项公式． 4． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ）， 且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限， ∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．

5． 【答案】D

，∴θ为第二象限角，

n(n1)，使得a11,a23，故选C． 2第 6 页，共 16 页

6． 【答案】A 【解析】解：复数故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

7． 【答案】C

【解析】解：根据程序框图，S=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣97+99）=50，输出的S为50． 故选：C．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．

8． 【答案】D 【解析】

试题分析：因为直线 a平面，直线b平面，所以a//b或与异面，故选D. 考点：平面的基本性质及推论. 9． 【答案】A

=

=

=

，

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【解析】

考点：线性规划.

【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线zxmy截距为

z，作L:xmy0,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线mx0y01zxmy过点A时取最大值，y0mx0可求得点A的坐标可求的最大值,然后由z2,解不等式可求m的范围.

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10．【答案】B 【解析】

试题分析：因为函数Fxex满足Fxgxhx,且gx,hx分别是R上的偶函数和奇函数,egxhx,exxexexexexgxhx,gx,hx,x0,2 使得不等式

22ee22x2xg2xahx0恒成立, 即

exexaee2xx0恒成立, aeexxee2x2xexex22eexx

2xxxx22, 设tee，则函数tee在0,2上单调递增,0tee, 此时不等xxee22式t22,当且仅当t,即t2时, 取等号,a22,故选B.

tt考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.

【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成立（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.

11．【答案】C

处取最小值﹣2， cosωx=2sin（ωx+

【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=∴sin

+acos

=﹣

+

=﹣2，∴a=

，∴f（x）=sinωx+

+

=2kπ+

）．

再根据f（）=2sin（）=﹣2，可得

，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，

则ω的可能值为7， 故选：C．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

12．【答案】A

【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m）， ∴函数f（x）关于x=m对称， 若φ∈（

，

），

则sinφ＞cosφ，

则由f（sinφ）=f（cosφ）， 则

=m，

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即m=当φ∈（则＜

，

=（sinφ×

∈（，

+，

cosαφ）=），

sin（φ+）

），则φ+

）＜

sin（φ+

，

则＜m＜故选：A

【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】

【解析】解析：可行域如图，当直线y＝－3x＋z＋m与直线y＝－3x平行，且在y轴上的截距最小时，z才能取最小值，此时l经过直线2x－y＋2＝0与x－2y＋1＝0的交点A（－1，0），zmin＝3×（－1）＋0＋m＝－3＋m＝1， ∴m＝4.

答案：4

14．【答案】 [1，）∪（9，25] ．

【解析】解：∵集合

2

得 （ax﹣5）（x﹣a）＜0，

，

，

当a=0时，显然不成立， 当a＞0时，原不等式可化为

若时，只需满足

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，

解得若

；

，只需满足 ，

解得 9＜a≤25， 综上，

当a＜0时，不符合条件， 故答案为[1，）∪（9，25]．

【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．

15．【答案】 【解析】解：∵∴Sn=

+

+…+

=

﹣=（

﹣

），

）

= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（=

，

．

）=（1﹣

故答案为：

【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．

16．【答案】1 【解析】 试题分析：ABm1211231222，解得：m1，故填：1.

考点：空间向量的坐标运算

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】

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【解析】解：（1）将sin

∴sinα=， ∵α∈（∴cosα=﹣（2）∵α∈（∴α+β∈（

+cos=两边平方得：（sin

+cos22

）=sin

+2sincos

+cos2

=1+sinα=，

+

=

．

，π），

=﹣

；

），

=﹣，

，π），β∈（0，，

），

∵sin（α+β）=﹣＜0， ∴α+β∈（π，∴cos（α+β）=﹣

），

则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣

）﹣（﹣）×=

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．

11；a，e，．18．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为1，，单调递减区间为0，（2）

e【解析】

11x12．令f'x0x1．再利用导数工具可得：极小值和x2xx11单调区间；（2）求导并令f'x0x，再将命题转化为fx在区间(0，当x0，e]上的最小值小于．

aa即a0时，f'x0恒成立，即fx在区间(0，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111] e]上单调递减，试题分析：（1）由a1f'x第 12 页，共 16 页

①

1，则f'x0对x(0，e]成立，所以fx在区间(0，e]上单调递减， a11则fx在区间(0，e]上的最小值为fealnea0，

ee显然，fx在区间(0，e]的最小值小于0不成立． 若e11e，即a时，则有 ae 10， a- f'x ②若0fx 1 a0 极小值 1，e a+ ↘ ↗ 11所以fx在区间(0，e]上的最小值为faaln，

aa11由faalna1lna0，得1lna0，解得ae，即ae，，

aa第 13 页，共 16 页

1综上，由①②可知，a，ee，符合题意．……………………………………12分

考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 19．【答案】（1）842；（2）【解析】

20． 3考

点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积. 20．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

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（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

22|2k2|1k22

k24k10，k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，kAB2022，

22故直线l的斜率的取值范围为(23,22]. 21．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵BD为圆O的直径，∴AB⊥AD， ∵直线AE是圆O所在平面的垂线， ∴AD⊥AE， ∵AB∩AE=A， ∴AD⊥平面ABE， ∴AD⊥BE；

（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=VB﹣AEFC+VD﹣AEFC=2VB﹣AEFC． ∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线， ∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC． ∵AE=CF=∵AC=2， ∴SAEFC=2

，

作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC， ∴V=2VB﹣AEFC=2×

≤

=．

．

，∴AEFC为矩形，

∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为

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【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．

22．【答案】

2*

∴当n≥2时，【解析】（I）证明：由Sn=2an﹣n+3n+2（n∈N），

，

an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，

变形为an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{an+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；

n1n

（II）解：由（I）可得an=﹣2×2﹣﹣2n=﹣2﹣2n．

∴bn=ansin

π=﹣（2n+2n）

，∵ =

=（﹣1）n，

n+1n

∴bn=（﹣1）（2+2n）．

设数列{bn}的前n项和为Tn．

*2342k12k

当n=2k（k∈N）时，T2k=（2﹣2+2﹣2+…+2﹣﹣2）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）

=﹣2k=﹣n．

﹣2k﹣（﹣2﹣4k）=

2k

当n=2k﹣1时，T2k﹣1=（III）证明：Cn=﹣

=

+n+1+2n+1=

+n+1．

，当n≥2时，cn．

∴数列{Cn}的前n项和为Pn＜==，

当n=1时，c1=综上可得：∀n∈N，

*

成立．

．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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