填空题是高考数学的三种基本题型之一，高考题的命制对于填空题来说，涉及的知识点较多，几乎可以渗透到高中数学的每个章节，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题创新改革的“试验田”，将各类新定义题、开放题、探索题等来命制题目，出题灵活，注重对能力的考查。近年高考对填空题的题量及分值有增无减的趋势。预测2009年创新型的填空题将会出现情境创新题，因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备。填空题是高考题中客观性题型之一，具有小巧灵活，结构简单，概念性强,运算不大，不需要写出求解过程而只需直接写出结论等特点。虽然量少（目前只有 题），但考生的得分率较低，不很理想。究其原因，考生还不能达到《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求：“正确、合理、迅速”。那么，怎样才能做到“正确、合理、迅速”地解答填空题，为做后面的题赢得宝贵的时间呢？要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不
要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意 二、高考数学填空题的特点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1.与选择题相比填空题缺少选择项的信息，更像一道解答题,故解答题的求解思路可以原封不动地移
植到填空题上，如解答填空题的直接运算推理法.
2.与解答题相比，填空题又不用说明理由,又无需书写过程，在这一方面，填空题更接近于选择题,因
而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.
3.由于填空题常用来考查基本概念、基本运算、大多是一些能在课本中找到原型或背景的题目,故可以通过观察、分析、转化、变为已知的题目或非常熟悉的基本题型,这是填空题区别于某些高档综合题的重
要所在.
4. 填空题无需解答过程，因而解答过程的每一步必须百分之百地准确，一步失误，全题零分，从考
试的角度看，填空题相比选择题和解答题更容易失分.
三、解答策略
同选择题一样，填空题也属于“小灵通”题，其解题“不讲道理”，所以解答填空题的基本原则是“不择手段”、“小题不能大做”，小题需小做、繁题会简做、难题要巧做，解答大部分填空题的基本方法是“直接运算推理法”，部分填空题也可用等价转化法、特例求解法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、特殊位置法、特殊模型法等)、数形互助法、合理构造法、以题攻题法、规律发现法、逐一判断法、验证法。解题应突出转化的思想(转化为图象、转化为特殊图形、转化为易于解决的问题等)，力争小题小做或小题
巧做。 1.直接运算推理法
对所给问题比较简单或比较熟悉时,可直接利用课本中的定义,性质,定理,公式等,进行推理演算而得到
正确答案.
【例1】（2008年，辽宁卷）设 则函数 的最小值为 . 【分析及解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得：
= ，
∵ ∴ ，利用均值定理， ，当且仅当
时取“=”，∴ ，所以应填 .
【评述】运用直接法，必须根据题设条件联想相应的知识进行求解，本题的关键是明确化简变形的方向，即将式子化为只含一个变量，利用齐次式化为正切进行统一变量，然后根据特点运用均值定理进行
求解。 2.等价转化法
对所给的问题较为复杂或较为陌生时，可通过等价转化为另一种容易理解的语言，或通过适当的变
形转化为容易求解的形式,再求解
【例2】(2006年,全国I卷)过点（1， ）的直线l将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，
直线l的斜率k= 。
【分析及解】由已知点 在圆 的内部,圆心为 ,要使得劣弧所对的圆心角最小,等价于过点 的弦最短,
显然只能是直线 ,由斜率关系,得 ,所以应填 .
【评述】本题初看很难,运用等价转化,即过点 的弦最短,可迅速解决问题.
3.特例求解法
当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。一般用于所给的问
题比较抽象，或具有一般性时，可通过具体化和特殊化而获得解决。
【例3】（2007年，江西卷）已知数列{an}对于任意p，q ∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1= ，则a3
6＝ ．
【分析及解】取特殊数列 ，又a1= ，得 ，即 ，∴ ，故应填 【评述】运用常规方法费时费力，取特殊值数列即可轻松解决。
4.数形互助法
借助图形的直观形，通过数形结合的方法，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。数形互助法是以数形结合的数学思想为指导的一个解题方法.由于填空题不必写出论证过程，因而画出辅助图像、方程的曲线或借助表格等进行分析并解答。
【例4】(2008年,湖北卷)方程 的实数解的个数为 .
【分析及解】∵ ,∴ ,
O x y
3 1
令 和 ,其两函数的图象如图所示, 由图可得方程 的实数解的个数为2.
【评述】求方程解的个数，可以画出方程两边的函数的图象，
通过观察图象的交点的个数来研究方程解的个数.
5.合理构造法
是指根据题意合理构造函数、方程、数列、复数及图形和有关命题，使问题转化，特别适合解决开
放性的填空题。
S A B C
【例5】（2008年,福建卷）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积
是 .
【分析及解】如图所示，以侧棱为棱长补成正方体,
则正方体的对角线 恰为外接球的直径 ，
所以 ( 为正方体棱长).即 ,
所以
【评述】对于共点三条棱两两垂直的三棱锥，可以此三条棱为边补成正方体，从而使线面关系纳入
正方体中解决。
6.以题攻题法
由于填空题不需要过程，故可挖掘课本例题、习题潜在的功能及常用结论，可以达到以题攻题，直
接得出结果。
【例6】(2006年,广东卷)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
【分析及解】由正方体的对角线 恰为球的直径 ， ，所以 ，
则球的表面积为
【评述】本题利用长方体、正方体、直四棱柱的外接球直径 恰为其对角线 的长（即 ）直接解答，
简洁明快。 7.规律发现法
对所给问题有的比较熟悉，但直接求解又比较费时，费力;而有的问题比较新颖，如情境创新题中定义新概念、定义新图形、定义新数表等问题可通过观察，分析题目特征，探索规律，发现关系进而再求解。
【例7】（2008年，江苏卷）将全体正整数排成一个三角形数阵：
20080813
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
。。。。。。。。。。。。。。。。
按照以上排列的规律，第n行（ ）从左向右的第3个数为 .
【分析及解】该数阵的第1行有1个数，第二行有2个数，。。。第 行有 个数，故第 行的最后一
个数为 ，故第 行的第3个数为
【点评】数表是对数列的一种拆分，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是 对正整数的一种重排，只要找出其规律便不难求得答案。近年来“数表问题”频频出现在高 考试卷上，它与组合数知识、数列知识强强联手，奏出一曲曲优美的“乐章”，而杨辉三角
的规律很多，内容丰富，设问较多且题型灵活，解法巧妙。希望读者试着总结。
【例8】(2002年,全国卷)已知函数
那么 .
【分析及解】因为 ， ，于是所求 ，应填
【评述】容易发现 ，这就是我们找出的有用的规律。而不是把每个值都代入函数解析式算一算，然
后在加一加而得.
8.开放题的解法
填空题中的开放题有结论开放（含组合型多选题）、条件开放、综合开放，答案往往不唯一，解题
时注意数学思想的应用.
【例9】(2008年,全国II卷)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别
平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件；
充要条件① ； 充要条件② . （写出你认为正确的两个充要条件）
【分析及解】本题给出四边形为平行四边形的充要条件，,类比空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件，这类结论开放性题目,往往结论是不唯一的，如: 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平
行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等等均是其充要条件。
【点评】本题是归纳类比型问题 ，这种题目的特点是给出一个数学情景或一个数学命题，要求解题者用发散思维去联想、类比、推广、转化,在解题中发现属性、发现关系、发现相似性，从而找出类似的命
题,推广的命题、深入的命题或根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律.
四.教学建议
数学填空题的特点是只注重结果，不考虑过程，虽然省去过程给解题带来了速度，但是一旦结果有误就“全军覆没”，结果有误通常都是“会而不对，对而不全”所致，教学中应引导学生注意以下几点。
1．审题要仔细
这是解答好填空题的前提，要从看清题目中的每一个字、词、数据、符号到理解题意、分析隐含条
件，寻求简洁的解题方法，以及推理运算做到准确无误。
2．明确要求,看清题意
要作答的要求要看清楚，如：“正确的是”、“不正确的是”、“精确到”、“用数字作答”、
“填上你认为正确的一种条件即可”、“把你认为正确的命题的序号都填上”、“结果保留 ”等等，由于填
空题没有解答过程，没有步骤分，一笔失误，则徒劳无功，前功尽弃。
3．书写要规范
是指以下几个方面：①对于计算填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求，如： 不能写成 或 等；②所填结果要完整，如：条件型填空题，不能漏
填，有条件限制的求反函数，不能缺少定义域；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺少 ，如集合
不能写为
③要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求
函数的定义域、值域，结果写成集合或区间形式。
4．要重视对所求结果的检验
针对填空题错误的个有效的招术，就是检验，根据题型的不同，检验的方式各不相同，有特殊值检
验、逆代检验、图形检验等。
五、习题精选
1．(2006年,全国I卷)设函数 若 是奇函数，则 = .
2．(2006年,重庆卷)在数列 中, 若 （n≥1）, 则该数列的通项 _______．
3．(2006年,全国I卷)已知函数 若 为奇函数，则a= .
4．（2005年，湖北卷）设等比数列 的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，
则q的值为 .
5．（2007年，天津卷）设等差数列 的公差 是2，前 项的和为 ，则 ． 6．（2008年,上海卷）设函数 是定义在R上的奇函数，若当 时 则满足 的 的取值范围是
7．（2008年,江西卷）不等式 的解集为 ．
8． (2006年,四川卷)在三棱锥O—ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且 OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是
（用反三角函数表示）.
9． (2006年,北京卷)已知函数 的反函数的图象经过点（－1，2），那么a的值等于 . 10．（2007年，湖南卷，理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，
第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 .
11．（2007年，福建卷）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合
中元素之间的一个关系“~ ”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意 ，都有 ； （2）对称性：对于 ，若 ，则有 ； （3）传递性：对于 ，若 ， ，则有 ．
则称“~ ”是集合 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自
反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
参考答案及提示 1．由导数定义及法则, = ,又 是奇函数，则有 ,即 ,又 ,故 ,所以应填 .
2．由已知可等价转化为 ，即 是首项为 ，公比为2的等比数列，所以 ，所以该数列的通项为
3．取 ，由于函数 在 上为奇函数，则 ，即 ，解之得
4．本题的隐含条件是运算过程与首项 的取值无关，即任意 都行，∴取特值 ， ，则转化为 , ，
成等差数列。即 ，即有 ，整理为： ，解之得： （舍去）或 ，故应填
5．一般的解法是 ,
,
这样解,有一定的运算量,实际上,如果概念清楚,算理清楚,就可以简化运算,因为是填空题,题意表明极
限是存在且唯一的,由此可设特殊值,进行简算，
即设 则 , 故应填 6．根据题意画出函数 的草图, 由图可知 的 的取值范围是
或
7．原不等式即 ,从而 , 即 ,画出函数 和 的图象, 由图可知不等式的解集为
M O A C B
8．如图所示，将此三棱锥补成正方体，连结 ，则OM与平面ABC所成角的大小就是 ，在 中，有
， 即
9．依题意 ，由互为反函数的结论，则有
即 ，解之得
10．由0—1三角数表可知：从上向下数，全行的数都为1的是第1、3、7， 行，由此猜测第 次全行的数都为1的是第 行，验证成立，由上可知第 行的数全为1，依据0—1三角数表和杨辉三角的性质，
可得第61、62、63行数表如下： 第61行：1 1 0 0 1 1 0 0 。。。。。1 1 第62行：1 0 1 0 1 0 1 0 。。。。。1 0 1 第63行：1 1 1 1 1 1 1 1 。。。。。1 1 1
可知61行有62个数，数字为1的有30+2=32个，故应填 ，32
11．题设定义了数学中“等价关系”的这一新概念，对于中学生比较陌生，有着高等数学背景，但是中学数学中又接触了相等、相似等“等价关系”的概念，要求考生联想平时以学过的各种数学关系，通过比较，验证是否满足题中的三个条件作出答案，本题是结论开放性问题，答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的
相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等均是“等价关系”。
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