高中数学——三角函数图像和性质讲义

【讲义课题】： 三角函数图像和性质

【考点及考试要求】

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724x

y=cosx-4-72-5-321-1o2322523724x

yyy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x

2．三角函数的单调区间：

2k(kZ)， ysinx的递增区间是2k，22递减区间是2k2，2k3(kZ)； 22k(kZ)， ycosx的递增区间是2k，2k(kZ)， 递减区间是2k，ytanx的递增区间是k，k(kZ)，

22（其中A0，0）3．函数yAsin(x)B

最大值是AB，最小值是BA，周期是T其图象的对称轴是直线xk2，频率是f，相位是x，初相是；22(kZ)，凡是该图象与直线yB的交点都是该图象的对称中

心。

4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才

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能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的＝平移

1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0

||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ．．6．对称轴与对称中心： ysinx的对称轴为xk2，对称中心为(k,0) kZ；

，0）作为突破ycosx的对称轴为xk，对称中心为(k2,0)；

对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、

题型1：三角函数的图象

例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）

π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 22

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解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，时，y＝－xcosx＜0。答案为D。

例2．（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）

2）

解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选项A、D为奇

函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。

点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

题型2：三角函数图象的变换

1π例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。

331π解析：y=sin（2x+）

331π2倍 横坐标扩大为原来的ysin（x）纵坐标不变33π图象向右平移个单位13ysinx

纵坐标不变33倍纵坐标扩大到原来的ysinx

横坐标不变另法答案：

1ππ1（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；

336311（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；

331（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图

3象。

例4．把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移

2线方程是（ ）

A．（1－y）sinx+2y－3=0 C．（y+1）sinx+2y+1=0

解析：将原方程整理为：y=

个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲

B．（y－1）sinx+2y－3=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0

1，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，

2cosx2----完整版学习资料分享----

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因此可得y=

12cos(x)2－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.

点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－

2）+2（y+1）－1=0，即得C选项。

题型3：三角函数图象的应用

例5.（1）已知函数

f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，

x∈R）在一个

图象的所有交

周期内的图象如图所示，求直线y=点的坐标。

3与函数f（x）

图 解析：根据图象得A=2，T=

7π－（－）=4π， 22∴ω=

1x，∴y=2sin（+）， 22又由图象可得相位移为－

2，∴－

12=－

2，∴=

4.即y=2sin（

1x+）。 24根据条件

3=2sin（

1112x），∴x=2kπ+(k∈Z)或x=2kπ+π（k∈Z），

332424245π（k∈Z）。 6∴x=4kπ+

6（k∈Z）或x=4kπ+

∴所有交点坐标为（4kπ+

6,3）或（4kπ+

5,3）（k∈Z）。 6点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 （2）（2002全国文5）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）

A．（

44，

2）∪（π，

5） B．（，π） 44C．（，

553） D．（，π）∪（，） 4442解析：C；

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解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标可得C答案。

4和

5，由图14

图1 图2

解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。（如图2） 题型4：三角函数的定义域、值域

例7．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域； （2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。

解析：（1）0≤cosx＜12kπ－

ππ≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。 22ππ，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。 22∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－

（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。

又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。 故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－

ππ，2kπ+），k∈Z}。 22点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。

6cos4x5cos2x1例8．已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值

cos2x域。

解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+

2，解得x≠

k，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x24≠

k，k∈Z}， 24因为f（x）的定义域关于原点对称，

6cos4(x)5cos2(x)16cos4x5cos2x1且f（－x）==f（x）。 cos(2x)cos2x所以f（x）是偶函数。

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又当x≠

k（k∈Z）时， 246cos4x5cos2x1(2cos2x1)(3cos2x1)3cos2x1。 f（x）=

cos2xcos2x所以f（x）的值域为{y|－1≤y<

11或1π2xπsin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。 243412πsin（x－）再求之。 234π）|的图象。 4分析：（1）要将原函数化为y=－

（2）可画出y=－|sin（x+解：（1）y=故由2kπ－3kπ－

11π2x2xπsin（－）=－sin（－）。 224334π2xππ≤－≤2kπ+。 23423π9π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间； 88由2kπ+3kπ+

π2xπ3π≤－≤2kπ+。 23429π21π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。 883π9π，3kπ+］， 88∴递减区间为［3kπ－递增区间为［3kπ+（2）y=－|sin（x+

9π21π，3kπ+］（k∈Z）。 88ππ3πππ）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。 44444-45-43-4yo4345474x例10．（2002京皖春文，9）函数y=2

sinx

的单调增区间是（ ）

A．［2kπ－

2，2kπ＋

2］（k∈Z）

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B．［2kπ＋

2，2kπ＋

3］（k∈Z） 2C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z） D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）

解析：A；函数y=2为增函数，因此求函数y=2题型6：三角函数的奇偶性

xsinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。

例11．判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+1sin2x）。

分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系。 解析：定义域为R，又f（x）+f（－x）=lg1=0， 即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数。

点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。 例12．关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题： ①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；

②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数； ③存在，使f（x）是奇函数；

④对任意的，f（x）都不是偶函数。 =_____时，该命题的结论不成立。 答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，

+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z） 22解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍

是奇函数。当=2kπ+

2，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－

2，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。 题型7：三角函数的周期性

66

例13．求函数y=sinx+cosx的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。 分析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解。

解析：y=sinx+cosx=（sinx+cosx）（sinx－sinxcosx+cosx）

=1－3sinxcosx=1－∴T=

π。 2kπ（k∈Z）时，ymax=1。 22

2

6

6

2

2

4

2

2

4

3532

sin2x=cos4x+。 488当cos4x=1，即x=

题型8：三角函数的最值

例14．设M和m分别表示函数y=

1cosx－1的最大值和最小值，则M+m等于（ ） 3----完整版学习资料分享----

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A．

422 B．－ C．－ D．－2 333解析：D；因为函数g（x）=cosx的最大值、最小值分别为1和－1。所以y=

1cosx－1的最大值、3最小值为－

42和－。因此M+m=－2。 33

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