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对数公式的推导全

来源：一二三四网

对数函数公式的推导（全）

nab(a0且a1)，可推知：nlogab，从而：由指数函数性质1、loga(MN)logaMlogaN mnmnmnMa,Naaaa<证法1> 由于设则： mlogaM nlogaN MNamn 于是： <证法2> MNMN对数恒等式alogaMNalogaMalogaN 即： alogaMNalogaMlogaN由于指数函数是单调函数，故：性质2、logaMNlogaMlogaN MNM<证明> N对数恒等式alogaMNalogaMalogaNalogaMlogaN 由于指数函数是单调函数，故：logaNlogbNlogbaMlogaMlogaN (换底公式) 性质3、logaN(b0,b1)1logba特例：logab logbalogaNlogbNNab<证明> 由对数恒等式可知：，ab 由于指数函数是单调函数，故：logbNlogbalogaN 故：logaNlogbNlogba 性质4、logaMnnlogaM n 特例：logannM1nlogaM aloga<证明> MM 可知：alogaMnMn 即 alogaMnalogaMn n由于指数函数是单调函数，故：logaMnlogaM 性质5、loganbmmnlogab mlgbmmlgbmlogbn<证明> nnlogab nalgalga性质6、loganb1nlogab 注：性质4 和性质6 都是性质5的特例。

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