圆锥曲线解题方法技巧归纳教师版

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率ktan,[0,) ②点到直线的距离dtank2k11k2k1Ax0By0CAB22 ③夹角公式：

（3）弦长公式

直线ykxb上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：AB1k2x1x2

(1k2)[(x1x2)24x1x2] 或AB11y1y2 2k（4）两条直线的位置关系

①l1l2k1k2=-1 ② l1//l2k1k2且b1b2 （5）中点坐标公式：x中点坐标。

韦达定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不同的根x1,x2，则

x1x2yy,y12，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的22bcx1x2,x1x2

aa2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

x2y2 标准方程：1(m0,n0且mn)

mn

1

距离式方程：(xc)2y2(xc)2y22a (2)、双曲线的方程的形式有两种

x2y2 标准方程：1(mn0)

mn 距离式方程：|(xc)2y2(xc)2y2|2a (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

2b22b22p 椭圆：；双曲线：；抛物线：aa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

x2y2如：已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，平面内一个动点M满

43足MF1MF22则动点M的轨迹是（ ）

A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，SFPFb2tan

122 P在双曲线上时，SFPFb2cot

122|PF1|2|PF2|24c2（其中F1PF2,cos,PF1•PF2|PF1||PF2|cos）

|PF1||PF2|(6)、记住焦半径公式：

（1）椭圆焦点在x轴上时为aex0;焦点在y轴上时为aey0，可简记为“左加

右减，上加下减”。

（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|a

（3）抛物线焦点在x轴上时为|x1|,焦点在y轴上时为|y1| (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题）求斜率

2

p2p2设Ax1,y122x2y2、Bx2,y2，Ma,b为椭圆1的弦AB中点则有

4322x1yxyxx211，221；两式相减得14343422y21y2320

x1x2x1x24y1y2y1y23kAB=3a 4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？

经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到

一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直

线为ykxb，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y280上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

解：（1）设B（x1,y1）,C(x2,y2),BC中点为(x0,y0),F(2,0)则有

22x12y12x2y21,1 20162016 3

两式作差有

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)02016x0y0k0 (1) 54F(2,0)为三角形重心，所以由

y02，代入（1）得kx1x2yy242，得x03，由10得336 5直线BC的方程为6x5y280

2)由AB⊥AC得x1x2y1y214(y1y2)160 （2） 设直线

BC

方程为

ykxb,代入4x25y280，得

(45k2)x210bkx5b2800

5b28010kb，x1x2 x1x22245k45k8k4b280k2y1y2,y1y2 代入（2）式得

45k245k29b232b1640b4(舍)，解得或 b2945k直线过定点（0，)，设D（x,y），则

9y29x232y160

49y49y41，即xx所以所求点D的轨迹方程是x2(y3、弦的垂直平分线问题

16220)()2(y4)。 99弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，

用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 4、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

4

例1、椭圆

(a＞b＞0)与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为心率为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过点的直线l与椭圆交于M，N两个不同点，且对l外任意一点Q，有若存在，求出l的方程；若不存在， 说明理由。

（1）由题得，直线AB的方程为bx+ay-ab=0，（a＞b＞0）

由及，得a=2，b=1

所以椭圆的方程为

（2）∵ ∴①

当直线的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），易知符合条件， 此时直线方程为x=0

当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入得

由，解得

设M（x1，y1），N（x2，y2）则 ②

③

由①得x1=4x2 ④

由②③④消去x1x2，得

，即9=0，矛盾，

综上，存在符合条件的直线l：x=0

，该椭圆的离

成立？

5

例2、已知椭圆

（1）试求椭圆M的方程；

的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，

（2）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，

试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论．

解：（1 ）a=2，c=1．∴b= ，

椭圆M的方程为

（2）设直线l的方程为：，C(x1,y1),D(x2,y2)

联立直线l的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：化简得：

当时，即，

即时，直线与椭圆有两交点，

由韦达定理得：，

所以，，

则

所以，

为定值。

6

例3、设椭圆C：

1

的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原

点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点． （Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

解：（Ⅰ）由题意可知B（0，﹣1），则A（0，﹣2），故b=2．

令y=0得x2﹣1=0即x=±1，则F1（﹣1，0），F2（1，0），故c=1．所以a2=b2+c2=5．于是椭圆C1的方程为：（Ⅱ）设N（t，t2﹣1），由于y'=2x知直线PQ的方程为：y﹣（t2﹣1）=2t（x﹣t）．即y=2tx﹣t2﹣1．

．

代入椭圆方程整理得：4（1+5t2）x2﹣20t（t2+1）x+5（t2+1）2﹣20=0，

△=400t2（t2+1）2﹣80（1+5t2）[（t2+1）2﹣4]=80（﹣t4+18t2+3），

，

，

故

=．

设点M到直线PQ的距离为d，则．

所以，△MPQ的面积S==

==

当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．

综上可知，△MPQ的面积的最大值为．

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