《植树问题》课堂教学设计
教学目标：
1、通过尝试解决到画图验证的过程,让学生在做数学中经历由现实问题到数学建模的过程，理解并掌握植树棵数与间隔数之间的关系。
2、让学生掌握通过线段图来解决问题的方法，体会数形结合的直观性与有效性。在深入探究规律的成因的过程中，体会数学中一一对应的思想。
3、让学生体验到学习成功的喜悦和认识归纳规律对后续学习的重要性，培养学生探索归纳规律的意识。
教学重点：探究棵树与间隔数之间的关系，经历从猜想到验证的过程。 教学难点：应用植树问题的教学模型灵活解决一些相关的实际问题。 教学准备：课件、研究单。 教学过程
一﹑情景导入。引出问题
师： 每年的3月12日是什么节日啊？ 生：植树节
师：你知道植树有什么好处吗？
生列举植树的好处，比如：美化环境、净化空气等等。
师：植树有很多作用，在植树的过程中还蕴含这数学的规律，今天这节课就借助植树问题来研究植树中的数学规律。
师：请看老师给大家带来的这个问题，谁来为同学们读一读。 选择生来为大家读题。（这时可以把每班植树的20米贴在黑板上。） 师；问题比较长，请同学们自己再默读一遍来理解一下题目的意思。 生再次阅读题目，理解题意。
师：大家明白题意了吗？你知道什么是每隔5米吗？
师：接下来，同学们是想让老师直接告诉你答案，还是你们尝试自己解决一下？ 二、自主探究，尝试解决
师：看来大家都有了想法了，谁来说一说？ 生表达自己的想法。
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生：我们用20÷5-=4(棵)所以每个班都载4棵树。 师：与这种想法一样的同学请举手。 师：还有不同的想法的同学吗？
师：用什么方法可以清楚的验证你们的方法是否正确呢？ 生：我们可以用画图的方法来验证。 三、画图验证，引发思考
师：画图可以更加清楚直观的表示出问题解决的结果，接下来咱们就用画图来验证一下你们的方法好。那下面就请同学们在研究单上画一画，看看你们会有什么新的发现？ 生在研究单上画图，教师巡视指导，并选择学生上台来画一画。
师：同学们停一停，我看大家基本都画完了，咱们一起来看看这几位同学是怎么画的，结果又如何呢？
生1：我画的是一班的的，从这一端开始载的，每隔5米栽一棵，这样画到20米处，再数一数正好是5棵。
生2：我画的是二班的，接着一班的开始画，但是这里就不用了画了，所以画到第4棵时就画完二班的20米了，所以二班要栽4棵就可以了栽到他的20米了。
生3：我画的是三班的，接着二班开始画的，开头不需要画，和二班一样，但是画到第3棵时再画就不能画了，因为这样就到教学楼了，所以三班的20米就这能载3棵。
师：通过画图我们说明白你们最早用到方法是不正确的。咱们先来看看画图的方法，通过画图咱们虽得到了准确的答案，但是你们心中是否还存在疑问？ 生：三个班同样都栽20米，为什么栽的棵树不一样呢？
师：老师与你心中的疑问是一样的？这是为什么呢？请同学们仔细观察，看看有什么发现？ 生：一班的20米，两端都栽了；二班的20米，只栽了一端；而三班的20米，两端都没有栽。所以他们栽的都不一样。
师总结：原来一班两端都栽了，二班只栽了一端，三班两端都不栽。这就是在一条线段上植树的三种情况。
【设计意图：在这里采用画线段图的方式，把学习的主动力权交给学生，给学生充裕的时间去自由观察、思考，选择。用说一说、想一想、写一写等形式对几种植树方法展开讨论和交流，并在相互启发和独立思考的过程中得出在同一段路中种树，每两棵树间的距离不同，棵数也不同。】
师：除了以上大家发现的不同，他们有相同的地方吗？再仔细观察。
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生：他们的间隔都是5米，都栽了20米。 生：他们产生的间隔数是一样的，都是4个间隔。
师：再回过头来看看你们错的方法：20÷5=4（ ）这里的4到底指的是什么呢？ 生：4个5米，4个间隔。生：间隔数是4. 四 猜想规律，加以验证
师：问题问的棵数，而你们求出的是间隔数，所以你们出错了，但是间隔数与棵数就一点关系也没有吗？观察这里的图和数，你可能会有新的发现？ 生：有的时候间隔数=棵数，有的时候差1，有的时候多1。 师：谁还能具体的说一说？
生：当两端都栽的时候间隔数+1=棵数。当只栽一端的时候间隔数=棵数。当两端都不栽时，间隔数-1=棵数。
师：同学们发现的对不对呢？我们又该怎么说明白呢？
生:我们改变路的长度或间隔的米数再来验证一下呢，看看是有这样的规律吗？
师：按照你们的方法老师改变了路的长度，咱们来验证一下是否有这样的规律？请同学们完成研究单二的填写。并写出你的发现。 师：完成的同学在小组交流一下你们的发现。 生独立思考、小组内交流。
师：谁来说一说你们组的数据与发现？
组1：当两端都栽时，总长是5米是，就只有1个间隔，可以种2棵数;当总长10米的时候，就有2个间隔，可以种3棵树，当总长是15米时，有3个间隔，可以种4棵数；当总长是20米时，有4个间隔，中5棵数，所以我们发现间隔数+1=棵数。
组2：当只栽一端时，总长是5米是，就只有1个间隔，可以种1棵数;当总长10米的时候，就有2个间隔，可以种2棵树，当总长是15米时，有3个间隔，可以种3棵数；当总长是20米时，有4个间隔，中4棵数，所以我们发现间隔数=棵数。
组3：当两端都不栽时，总长是5米是，就只有1个间隔，可以种0棵数;当总长10米的时候，就有2个间隔，可以种1棵树，当总长是15米时，有3个间隔，可以种2棵数；当总长是20米时，有4个间隔，可以种3棵数，所以我们发现间隔数—1=棵数。
师：通过验证我们得到了植树中的规律：当两端都栽时，间隔数+1=棵数；当只栽一端时，间隔数=棵数；当两端都不栽时，间隔数—1=棵数。 五、深度思考，渗透思想
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师：大家再仔细想一想为什么会有这样的规律呢？ 生思考后汇报
师总结：其实这里面有我们数学上一个重要的思想——一一对应的思想。比如只栽一端的情况下，一棵树对应一个间隔。一棵树对应一个间隔，一棵树对应一个间隔，所以就有间隔数=棵数。再比如当两端都栽时会有一棵树对应一个间隔。一棵树对应一个间隔，而最后这棵树就少了与他对应的间隔，所以间隔数+1=棵数。同样的我们可以推出两端都不栽的情况下的规律。
师；明白了这一规律，大家再来看看，不用画图，还是用你们想到的算式来解决，那么一班植树多少棵？应该怎么列算式呢？ 生列算式然后汇报。 师：二班呢？三班呢？
师：看来大家的确明白了植树中的奥秘。接下来通过一段小视频来回顾一下我们这节课是怎么得到植树规律的？ 播放视频。
师：通过视频你认为老师最想让你知道什么呢？ 生汇报自己的想法。
师：对，这就是数学问题研究的一般方法。从提出问题、猜想验证、归纳总结、得出结论。你们这节课走过的路和数学家是一样的。 六、应用规律，解决问题
师：其实，生活中还有很多类似植树问题的问题，你想到了吗？谁来说一说？ 生根据自己的学习与经验汇报。
师：老师的衣服上就有这样的问题。你们发现了吗？
师：纽扣的问题，实际上就是只栽一端的情况。如果老师的衣服长60厘米，每隔10厘米订一颗纽扣，需要订几颗呢？
师；刚才同学们还提到路灯的问题，对这也是类似植树问题的问题，一起来看安路灯。请同学们快速解决出来。
师：最后一个问题：10的绳子，每2米剪一次，可以分成几段，共剪几次？——这个问题相当于？ 七、课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？
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八、板书设计
植树问题
20÷5=4（ ）
两端都栽 只栽一端 两端都不栽
5棵 4棵 3棵 间隔数+1=棵数 间隔数=棵数 间隔数-1=棵数
九、学习单
活动一 5米 教 学楼 一班20米 二班20米 三班20米 活动二
路的长度 5米 10米 15米 20米 我们得到的结论：
线段图 两端都栽 只栽一端 两端都不栽 棵数 间隔数 棵数 间隔数 棵数 间隔数 间隔数 棵数 间隔数 棵数 间隔数 棵数 《植树问题》学情分析
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解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想。属于奥赛性质的知识，学生也是第一次接触这类知识，学生的认知与起点也会有一定差异，因此在学这一单元内容时会有一定难度。有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律。教师在教学时要让学生通过生活中的简单事例，引导学生在解决问题的分析、思考过程，逐步发现隐于不同的情形中的规律，经历抽取数学模型的过程，体验数学思想方法在解决问题中的应用。但是也不要对例题进行过多的变式、提高问题的难度，造成教学要求过高。
《植树问题》效果分析
本节以新课标“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的教学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来”为指导原则。主要借助植树问题渗透一些重要的思想方法：数形结合以及一一对应的思想。借助数形结合，将学生已有的知识经验转化为思维发展的生长点；借助数形结合，建立棵数与间隔数的对应关系，使学生思维的发展有了凭借，也使数学学习的思想方法真正得到渗透。还有就是引领学生经历完整的研究问题的过程，初步理解研究问题的一般方法。能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决实际问题的实践经验和能力。借助图形帮助理解是学生建构知识的一根拐杖。站在教材的角度，我从新设计了教材，把三种情况的植树问题做了调整，整合在一个大问题中，这样的设计就想突出一点就是“大”教学观。想通过大的问题，大的探究环节、大讨论、大的汇报等外在的大，培养学生的大学习观，经历这样的大环节学生能自主从问题入手经历尝试解决，猜想验证得出结论的完整的探究过程，避免了长期我们带领的学生小步走的情况。这样才能培养学生具有完整的思维过程，遇到问题困难就去自主尝试解决的思维品质。
我们教研组经过研讨认为周老师这节课达到了预定目标，教学效果优良。具体来说： 1、关注学生的学习起点，合理安排教学内容。
2、联系生活实际，创设有效问题情境。把枯燥的数学理论转换成通俗易懂的生活事例。让学生说一说生活中还有哪些间隔的现象，结合教师展示的大量图片，所有的学习材料都来源于学生的生活实际，降低了学生认知的起点，激发了学习的兴趣，同时也让学生切切实实感受到身边处处有数学，使学生深刻感受到数学的应用价值。
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3、概念剖析清晰，注重学生体验。
教学时得出答案，要求验证，不同方法画图的探究过程，让学生的个性发挥得淋漓尽致，从而对植树规律的得出了实践性的体验，加深了对这个规律的理解。
《植树问题》教材分析
本单元主要是渗透有关植树问题的一些思想方法。在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，比如正方形、长方形或圆形等等。关于一条线段的植树问题，也有不同的情形，例如，两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽。本单元主要是通过简单的事例，让学生在解决这些问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历分析、思考问题的过程。培养学生利用这些规律解决实际问题的实践经验和能力。例1是探讨关于一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系，再用发现的规律解决实际问题。例2讨论的是两端都不栽树的情形。例3则借助围棋盘来探讨封闭曲线中的植树问题。通过这些生活中的事例，让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，以“植树问题”为原型引出普遍性的数学模式，然后再利用这一模式去解决各种新的类似问题，如路灯问题、锯树问题、爬楼问题等。
本册的“数学广角──植树问题”包含三个例题，主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。 解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、广场敲钟等，这些问题情境中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。在植树问题中，“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方形、长方形或圆形等）。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽）。本节课研究一条直线上的植树问题。
《植树问题》评测练习
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一、填空题
1.红领巾公园一条长200米的甬道两端各有一株桃树,现在两棵桃树之间等距离栽种了39株月季花,每两株月季花相隔（ ）米。
2.学校召开运动会前,在100米直跑道外侧每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗还需备（ ）面彩旗。
3.街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12米栽一棵海棠树,共用树苗25棵,这条甬路长（ ）米。
二、解答题
1.街心公园一条甬道长200米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距多少米？
2.有一条长1250米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵杨树,园林部门需运来棵杨树苗多少棵？
3.在一条长2500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线杆多少根？
4.在一条公路上每隔16米架设一根电线杆,不算路的两端共用电线杆54根,这条公路全长多少米？
《植树问题》课后反思
《植树问题》是青岛版义务教育教科书三年级数学下册数学广角的内容。这一内容主要涉及到的知识点有：两头植、两头都不植、封闭情况下的植树问题（一头植和一头不植）这三种情况。怎样才能让学生即能学会，还要学的轻松呢，我反复研读教材，发现教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、环形情况以及方阵问题等。其侧重点是：在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想.模型思想，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利。我这节课重点教学两端都栽的植树问题，主要目标是向学生渗透复杂问题从简单入手，奇妙运用数形结
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合的思想，使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。
一、通过自主探索的活动，渗透“以小见大”的数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。
整节课设计基于我班学生实际情况，课前创设情境让学生欣赏美丽的风景，同时引导学生明确要学习的内容，紧接着引出例题，探讨植树问题，不规定间距，同时改小数据，将长度改成20米。目的在于，让学生在开放的情景中，突现知识的起点，从而用一一对应的思想方法让学生理解多1少1的原因，建立起深刻、整体的表象，提炼出植树问题解题的方法。可引导通过“以小见大”数形结合来找规律加以验证，让学生通过观察、猜测、实验、推理与交流等活动。然后以例题展开，让学生动脑、动手反复验证，最终总结出：段数+1=棵数。这节课的设计依据了认知规律：通过例题感知间隔，以例题为载体突破教学重点难点，以生活中植树问题的应用为探讨对象，了解植树问题实质，多角度应用拓展。从而不失时机给学生渗透常用的数学思想方法，为将来的后续学习积累更丰富实用的思想经验。
二、关注植树问题模型的拓展和应用，反映数学与生活的密切联系。
“植树问题”通常是指沿着一定的路线，这条路线的总长度被“树”平均分成若干间隔，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的间隔数和植树棵数之间的关系就不同。现时生活中类似的问题还有很多，如安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、锯木头、走楼梯，等等。让学生从中悟出植树问题的模型它源于现实，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。在学生已经自主地寻找到植树中前两种的规律后，我适时的提出在我们的生活中有没有类似植树的情况呢？通过学生的举例，让他们进一步体会，现实生活中的许多不同事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义。我并没有就此罢手，而是让学生找找生活中的类似现象，如栽电线杆，排座位，安路灯，插彩旗等等，在学生从具体生活中抽象出数学现象后，又再一次让学生运用规律解决形式各异的生活问题，使数学知识运用于生活，学生深深地体会到数学的价值与魅力。整节课，大多数学生的思维表现的很活跃。
三、渗透数形结合的思想,培养学生借助图形解决问题的意识。
植树问题的思维有一定的复杂性，学生刚接触这个内容，很有难度。所以，我让学生根据示意图用算式来表示出植树的棵数，学生在列式计算的过程中，通过直观的观察初步感知三种情况：两端都栽“棵树=间隔数+1”，只栽一端“棵树=间隔数”，两端都不栽“棵树=间隔数-1”。之后，再引导学生用“一一对应”的思想，举起左手，看指头有五个，间隔就是
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四个，明白植树问题的道理与此相似，再举起右手比划比划，分析植树问题三种不同的情况，即“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”，从而真正理解这三种情况下，棵数与间隔数的关系。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；初步理解间隔数与植树棵数之间的规律时，我采用数形结合的方法——画图解决问题，从而逐步提高学生解决问题的能力。由于使用了数形结合的方法，植树中棵树和间隔数之间的关系便迎刃而解，且容易理解。数学的思想方法是数学的灵魂。本册安排“植树问题”的目的之一就是向学生渗透复杂问题从简单入手的思想，“复杂问题简单化”的解题过程。再次，联系生活拓展思维。有意义的学习是学生在具体情景中体验自主建构，体验和建构是学生学习的关键。体验是建构的基础，没有体验，建构就没有意义。体验是学生从旧知向隐含的新知迁移的过程。设计中，虽然创设了情景，但一次的体验不能达到继续建构学习的水平。所以，这节课我多次向学生提供体验的机会，而且创设能够激发学生共鸣的情境。从自身、教室、做操、
楼房等身边熟悉的事物，引发学习兴趣，产生共鸣，激发探究欲望。
《植树问题》课标分析
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“总目标”中提出了“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。
教材中设置“数学广角”单元教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学生体验探索建立模型的过程和数学思想方法。 在本册的“数学广角──植树问题”的教学中，教师要引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，
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提高学生解决实际问题的能力。
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