成人高考高数二专升本真题及答案

2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试

高等数学（二）

一、选择题：每小题10分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题

1. limcos(x−2)x3x−2

= （ ）

A. 1 B. cos1 C. 0 D. π

答案：B 解读：limcos(x−2)cos(3−2)x3x−2

=3−2

=cos1

2. 设函数y=x2+1, 则dy

dx=（ ） A. 1

x3 B. x2x

3

C. 2x D. 2

答案：C

3. 设函数f(x)=cosx, 则f’( π

2)= （ ）

A.−1 B. −1

2 C. 0 D. 1 答案：A

解读：fxsinx,f2sin21

4. 下列区间为函数f(x)=sinx的单调增区间的是（ 1 / 8

目要求。 ）A. (0,) B. (,π) C. (,π) D. (0, 2π)

2

2

22

ππ

π3

答案：A

5. ∫x2dx=（ ）

x3x

A. 3x3+C B. x3+C C.

+C D. +C

3

2答案：C

解读：由基本积分公式xadx1aa1x1C可得 6. ∫1

1+xdx= （ ）

A. e1+x+C B. 1

1+x+C C. x+C D. ln|1+x|+C 答案：D

解读：

11xdx11xd1xln1xC

7. 设函数z=ln(x+y), 则∂z

∂x|(1,1)=（ ）

A. 0 B. 1

2 C. ln2 D. 1 答案：B

解读：∂z

1

∂z

∂x=x+y,将x1,y1代入，∂x|(1,1)=1

2

8. 曲线y=√4−x2与x轴所围成的平面图形的面积为（ A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π

2 / 8

）答案：C

解读：画图可知此图形是以坐标原点为圆心，半径为2且位于x轴上方的半圆，

也可用定积分的几何意义来做

2z9. 设函数z=e+y, 则2（ ）

xx

2

A. 2y B. ex+2y C. ex+y2 D. ex

答案：D

2zzx解读：e，2ex

xx10. 设事件A,B互不相容, P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(A+B)=（ ）

A. 0.44 B. 0.5 C. 0.1 D. 0.06

答案：B

解读：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0，P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.5

二、填空题：每小题4分，共40分. 11. limx2+x+2x2−3

x1=.

答案：2 解读：lim12. lim

x→0

x2+x+2x2−3

x1=

12+1+212−3

=−2

sin2x3x

=. 3 / 8

答案：

2 3sin2xsin2x和2x等价无穷小替换2x2

解读：limlim3

x0x03x3xx2+1,x<0

13. 设函数f(x)={在x=0处连续,则a=.

a+x,x≥0答案：1

解读：limfxlimx11,limfxlimaxa,a1

2x0x0x0x014. 曲线y=x3+3x的拐点坐标为.

答案：（0，0）

解读：y3x3,y6x0,x0，将x0代入y，y0，所以拐点为0,0

215. 设函数f(x)=cos x, 则f’’(x)=. 答案：cosx

解读：fxsinx,fxcosx

16. 曲线y=sin(x+1)在点(-1,0)处的切线斜率为.

答案：1

解读：ycosx1，kyx1cos01 17. ∫2xexdx= .

22

答案：ex+C

解读：2xedxedxex2x22x2C

4 / 8

18. ∫0cosxdx=. 答案：sin1

11

解读：

0cosxdxsinx0sin1sin0sin1

dx=.

119. ∫0

+∞−x

e

答案：1

解读：

0exdxexdxex00ee01

20. 设函数z=x3ey, 则全微分dz=.

答案：3x2eydx+x3eydy

解读：

zzzzdy 3x2ey，x3ey，dzdxyyxx三、解答题：共70分。解答应写出推理、演算步骤。 21. 计算limex−1x

x0 ex

答案： limex−1x

x0=limx01

=1

22. 计算∫

lnxx

dx.

1

答案：∫

lnxx

dx=∫lnxd(lnx)=2(lnx)2+C dx.

1

23. 计算∫

lnxx

答案：∫

lnxx

dx=∫lnxd(lnx)=2(lnx)2+C

5 / 8

24. 计算∫xcosxdx.

解读：∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx= xsinx+cosx+C

25. 已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9, 记X为他两次独立投篮投中的次数.

（1）求X的概率分布

（2）求X的数学期望EX

解读：（1）x可能的取值是0,1,2

P(x=0)=0,1×0.1=0.01

P(x=1)=2×0.9×0.1=0.18

P(x=2)=0.9×0.9=0.81

因此x的概

0

0.01

0.18 0.81 1 2 率分布为

（2）数学期望EX=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8

26. 求函数f(x)=x3−3x−2的单调区间和极值.

解读：fx=3x2-3，令fx=0, 得驻点x1=-1, x2=1

6 / 8

x (-∞,−1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f’(x) + ↑ 0 - ↓ 0 + ↑ f(x) 极大值0 极小值-4 因此f(x)的单调增区间是(-∞,−1), (1,+∞)。单调减区间为(-1,1)

f(x)极大值为f(-1)=0,极小值为f(1)=-4

27. 已知函数f(x)=−x2+2x：

（1）求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积S。

（2）求(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V. y=−x2+2x

解读：（1）由{得交点坐标为(0,0),(2,0)

y=0S=∫0(−x2+2x)dx=（−3+x2）|20=3

（2）V=∫0π(−x2+2x)2dx=π∫0(x4−4x3+4x2)dx=π(x5−x4+x3)|20=π

5

3

15

2

2

1

4

16

2

x3

4

28. 求二元函数f(x, y)=x2+y2+2y的极值.（2012年） fx’(x,y)=0解读：{，令{ 得驻点（0，−1）

′′fy(x,y)=2y+2fy(x,y)=0因为fxx′′(x,y)=2, fxy′′(x,y)=0, fyy′′(x,y)=2

所以A=fxx′′(0,−1)=2, B=fxy′′(0,−1)=0, C=fyy′′(0,−1)=2

由于A>0且B2−AC<0,故f(x,y)在点（0，−1）处取得极小值，极小值f(0, −1)= −1

fx’(x,y)=2x

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8 / 8