数学建模方法及其在金融领域的应用[含论文、综述、开题-可编辑]

设计

（ 20 届）

数学建模方法及其在金融领域的应用

所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月

摘要：随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现

代化管理等许多方面得到了越来越广泛而深入的应用。尤其是在经济发展中的金融领域，数学建模有着很重要的作用。数学建模方法有很多，而在解决实际问题的过程中，建立数学模型是其关键之步。因此，本次论文我们主要研究数学建模的基本方法和它在金融领域中的应用。

我们首先介绍数学建模方法的历史背景、研究意义、应用前景。接着总结数学建模的基本方法及相关应用领域，并举出两个在某些领域中的具体实例，建立数学模型来说明建模的方法和使用过程。最后讨论数学建模在金融中的应用和意义，重点分析金融中的期权定价问题和数学建模在其他经济管理领域中的应用，并辅助实例加以说明。

关键词：数学建模方法；数学模型；金融；期权定价；应用

I

Mathematical modeling method and its application in the

financial sector

Abstract: With the rapid development of science and technology ，mathematics

got more and more extensive and in-depth applications in natural science, social science, engineering technology and modern management and many other aspects. Especially in the financial sector of the economic development, mathematical modeling has the very important role. Mathematical modeling methods are many, and in the process of solving practical problems, establishing the mathematical model is the key step. Therefore, in this paper we mainly study the basic methods of mathematical modeling and its application in the financial sector.

We first introduce the historical background, significance and application foreground

of method of mathematic modeling. Then summarize the methods of mathematical modeling and the basic fields of application, along with two in some areas in the specific examples, the mathematical modeling to illustrate the method and the use of process modeling. Finally discuss the application of mathematical modeling and significance in financial and focus on analyzing the option pricing financial problems and mathematical modeling in other economic management, and the application fields of auxiliary examples to illustrate it.

Key words: Mathematical modeling method；Mathematical modeling；Finance；

Option pricing；Application

II

目 录

摘要 .......................................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................................. II 目 录 ................................................................................................................................................... III 1 绪 论 ............................................................................................................................................... 1

1.1 数学建模简介 ........................................................................................................................ 1 1.2 数学建模思想 ........................................................................................................................ 2 1.3 金融相关概念和理论知识 .................................................................................................... 3 2 数学建模方法及应用 ....................................................................................................................... 5

2.1 数学建模的基本方法 ............................................................................................................ 5 2.2 数学建模的应用领域 ............................................................................................................ 7 2.3 数学建模的应用实例 ............................................................................................................ 7 3 数学建模方法在金融领域的应用 ................................................................................................. 11

3.1 期权定价的数学模型 .......................................................................................................... 11

3.1.1 期权定价理论的基本思想及其发展史 ................................................................... 11 3.1.2 金融价格行为 ........................................................................................................... 12 3.1.3 Black—Scholes模型 ................................................................................................ 12 3.2 数学经济模型的应用 ............................................................................................................. 14 4 总 结 ............................................................................................................................................. 18 致 谢 ...................................................................................................................... 错误!未定义书签。 参 考 文 献 ......................................................................................................................................... 19

III

1 绪 论

1.1 数学建模简介

数学建模(mathematical modeling)[1]是指建立数学模型的过程。《简明不列颠百科全书》“数学模型(mathematical mode1)”指出，这个术语的第二种用法是“理论和分析意义下的模型，也许是更为重要的一类模型，本质上就是指在物理和生物世界中的任何现实情形。无论它是天然的或是与技术和人的干预有关的，只要它可用定量的术语来描述，就能够通过建立模型使它服从解析的规律。”有学者认为，在工业设计、经济设计或任何其他设计中运用数学的语言和方法，实际上就是数学建模。

数学建模是将实际问题抽象、简化，明确变量和参数，然后根据某种“规律”建立变量和参数间的数学关系，再解析地或近似地求解并加以解释和验证这样一个多次迭代的过程。但要进行建立真正好的数学建模必须要有有关领域的专家、工作人员的通力合作，也就是说数学建模的过程往往是一个跨学科的合作过程。

数学建模的重要性主要在于通过建模对各种实际问题获得深刻认识，在此基础上才能解决问题。因而把它们“翻译”成与实际问题有关的物理、化学或生物学等的语言，甚至平常人能懂的语言极为重要，只有这样才有可能让有关领域的专家来判定是否获得了深刻认识。建模正确与否还必须用实验、现场测试或历史记录来进行验证，通过验证的才能付之使用。

英文中model一词的动名词modeling的基本含义是“塑造艺术”[1]，这是一种添加性工艺，塑造过程中可以修正形象，这与数学建模过程中多次迭代修改是一致的。此外，不同的建模者由于看问题角度不同所建立的模型往往不同。因此，许多人认为数学建模也带有艺术特点，我们也可以把数学建模看成是数学的塑造艺术。（参见文献[1][2]）

数学建模方法的可应用领域非常广泛。在许多情况下，只要存在选择的机会，无论在哪个领域，几乎都可以用数学建模的理论和方法将现实问题转换为数学问题进行分析。例如最优化和控制可用来对工业问题、交通模式、河流中沉积物的输进和其他情形建立模型；信息和通讯理论可以用来对信息传输、语言特征和其他类似的问题建立模型；而堆数分析和计算机模拟可以用来对大气环流模式、工程结构中的压力分布、地形的形成和发展以及在科学和工程中许多其他过程来建立模型。在应用过程中，建立数学模型是其关键的一步。尤其是在经济发展方面，数学建模有着很重要的作用。数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。

然而，实际问题往往极为复杂，只能就主要方面先作定量研究，这正是抽象和简化的过程。

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正确的抽象和简化往往不是一次能够完成的，如由开普勒和牛顿发现的万有引力定律是把星球、物体简化成没有大小只有质量的质点，再应用物理规律和数学推导得到的，而万有引力定律正是发射卫星、宇宙飞船等空间飞行器的重要依据。当然在真正设计、研究宇宙飞船及其飞行轨道时，必须考虑其质量、形状结构等因素，从而必须研究修正的数学模型。变量和参数的确定既重要，又是复杂和困难的，需要用到数学关系。数学关系可以是等式、不等式及其组合的形式，甚至可以是一个明确的算法，能用数学语言把实际问题的诸多方面(关系)“翻译”成数学问题是极为重要的。同时，我们需要应用某种“规律”建立变量、参数间的明确数学关系，这里的“规律”可以是人们熟知的物理学或其他学科的定律，例如牛顿第二定律、能量守恒律等，也可以是实验规律。（参见文献[3]-[5]）

1.2 数学建模思想

数学建模(Mathematical Mode1)[6]是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，已经渗透到各种领域。可以毫不夸张地说数学和数学建模无处不在，甚至报刊中也越来越多的出现数学建模、建模和数学模型这样的术语（包括它们的英文称Mathematical Mode1ing、Modeling和Mathematical Model），它们正在成为人们日常生活和语言交流中常见的术语。

数学建模方法有很多种，但是建立数学模型基本思想是一样的。在建立教学模型的过程中，就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。数学建模的步骤大体可分为以下几步[7]：

模型准备：弄清问题的背景，搜集必要的信息，由此确定需要用到哪些数学知识，必要的话，可向实际工作者请教。

模型假设：抓住主要因素，忽略次要因素，做出合理及必要的假设，如“航行问题”中假设航行中船速和水速为常数。如果试图把所有因素都考虑进去，会使下一步的工作非常困难甚至无法进行，做假设的依据在于对问题内在规律的认识、准确的判断。

模型构成：根据假设用数学的语言描述对象的内在规律，建立包含常量和变量的数学模型，如“航行问题”中所建立的二元一次方程组。这里可能还需要一些相关学科的知识，要善于发挥想象力，常使用类比的方法，借用已有的模型。

模型求解：可以利用求解方程(组)、数值计算、统计知识及图形法对数学模型进行求解，必要时要借用数学软件和计算机技术来解决复杂的问题。

模型分析：对求解结果进行数学上的分析，比如结果的误差分析、统计分析及模型对数据

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的灵敏性分析。

模型检验：把求解结果和分析结果翻译回原问题，看是否符合实际情况，如果结果和实际不符，问题可能出在模型假设上，应该修改、补充假设、重新建模。

建立起来的比较简单的数学模型主要包括：方程(组)模型、不等式(组)模型、函数模型等。 方程（组) 模型：方程是描述丰富多彩世界中的数量关系的重要语言，要求通过了解社会日常生活、生产实践、经济活动的有关常识，学会用方程思想去分析和解决一些实际问题。

不等式(组)模型：生活中的不等式关系是普遍存在的，特别是在市场营销、生产决策的社会活动中，有关最佳决策、最优化等问题可转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关知识和方法求出某个量的变化范围。

函数模型：函数应用问题也是近年来中考的热点题型，它以函数知识为背景，针对社会热点，贴近生活实际，有强烈的时代气息，解答这类问题的关键是将实际问题中内在、本质的联系转化为数学联系，建立函数模型，从而求得实际问题的答案。

在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，用快速报价系统与客户进行商业谈判，比如根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济模型的建立。

应用数学去解决经济学实际问题时，经济数学建模是十分关键的一步，同时是十分困难的一步。数学模型就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，由数字、字母或其他数学符号组成，用来描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。也可以这样说：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构模型。(参见文献[6]-[8]) 1.3 金融相关概念和理论知识

金融[9]的定义：金，金子；融，融通；金融——金子的融会贯通。古今中外，黄金因其不可毁灭性、高度可塑性、相对稀缺性、无限可分性、同质性及色泽明亮等特性特点，成为经济价值最理想的代表、储存物、稳定器和交换媒介之一，并因此成为世人喜爱和追逐的对象。在现代生活中，金融就是资金的融通，是指在经济生活中的银行、期货证券或保险业者从市场主体（例如储户、期货证券投资者或者保险者等）募集资金，借贷给其它市场主体的经济活动。

传统金融的概念是研究货币资金的流通的学科。西方定义，《新帕尔·格雷夫经济学大字典》，指资本市场的运营，资产的供给与定价。其基本内容包括有效率的市场、风险与收益、替

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代与套利、期权定价和公司金融。我们这里所讨论的金融是广义下面的涵义，顾名思义，就是指与货币、经济和买卖相关联的所有方面和领域。

从金融学和其他学科的交叉学科可以了解数学建模方法的作用和意义。伴随社会分工的精细化，学科交叉成为突出现象，金融学概莫能外。实践中与金融相关性最强的交叉学科有两个：一是由金融和数学、统计、工程学等交叉而形成的“金融工程学（Financial Engineering）”；二是由金融和法学交叉而形成的“法和金融学(Law and finance)”。金融工程学使金融学走向象牙塔，而法和金融学将金融学带回现实。（参见文献[9]）

数学方法在金融学中被广泛应用，阐述金融思想从日常语言发展到数理语言，具有了理论的精神与抽象，是金融学科的一个进步。在应用数学应用于金融模型的高峰期，用到的理论有使用差分、偏微分方程和随机积分等数学工具描述股票走势、收益率曲线等，但实际上数学并未能统治金融学，完美的金融模型并没有出现，金融学经历了对数学的狂热期后，最后还是回归到了基本面分析的基础上。又因为实际应用中受各因素影响较大，所以数学建模在金融领域中的应用有相当大的难度，在今后还需要加强研究。

数学不能直接处理经济领域中的客观情况，为了能用数学解决经济领域上的问题，就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻画。或者说，数学经济建模就是为了经济目的，用数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻画。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系，数学经济建模促进经济学的发展带来了现实的生产效率。

数学建模方法的实质是将抽象的数字和理论实际转化为数学模型，更加形象展现在人们眼前，从而让人们更好解决实际生活中的金融经济问题。排队是日常生活中经常遇到的现象(如顾客到移动公司办理业务，或是病人到医院看病常常要队)，此时要求服务的数量超过了服务机构的容量；如果增添服务设备，就要增加投资或发生空闲浪费，如果服务设备太少排队就会严重，因此管理人员必须考虑今后如何改进对策，以期提高服务质量降低成本。(参见文献[9]-[11])

本次论文中，我们首先介绍数学建模的基本方法及其应用领域，并举出在某些领域中的具体实例，建立数学模型来说明建模的方法和使用过程。接着我们研究讨论数学建模在金融中的应用和意义，重点分析金融中的期权定价问题和数学建模在其他经济管理领域中的应用。

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2 数学建模方法及应用

2.1 数学建模的基本方法

数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。

建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想象力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化。全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环。可用一下流程图表示[12]：

表达 （归纳） 现实对象的信息 验证 （检验） 现实对象 数学模型 （演绎） 求解 解释 （实际解答） 数学模型的解答数学模型的解答

表述 根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来。

这是一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做必要的调查研究，查找相关资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系。

求解 选择适当的方法，求得数学模型的解答。

解释 数学解答翻译回到现实对象，对实际问题进行解答。 验证 检验解答的正确性。 常用的数学建模方法如下：

（一）机理分析法 从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法： 1. 比例分析法——建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法。 2. 代数方法——求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。

3. 逻辑方法——是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论、对策论等学科中得到广泛应用。

4. 常微分方程——解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式。 5. 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

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（二）数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法： 1. 回归分析法——用于对函数f(x)的一组观测值xi,fxii1,2,,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2. 时序分析法——处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 (三) 仿真和其他方法

1. 计算机仿真（模拟）——实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 ① 离散系统仿真——有一组状态变量。

② 连续系统仿真——有解析表达式或系统结构图。

2．因子试验法——在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。

3．人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。（参见文献[12]）

除了上述的一般数学建模思想，我们还要根据实际情况来建立相关、更适用的数学模型。如在金融领域，我们需要在以上及其他基本的数学建模方法上，根据问题分析方法和思想，找出适用于金融发展的数学建模方法。应用于经济发展的数学建模步骤，如下：

建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题？问题就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题。” 因此，发现问题的过程就是分析矛盾的过程。贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到需要解决的实际问题。如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题。

建模假设：建模假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

构造模型：构造模型的方法各有其优点和缺点，在构造模型时，可以同时采用，以取长补短，达到建模的目的。

模型求解构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，在必要时，编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型求解。

模型分析：通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条款，重新建模，直到符合要求。如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。

6

模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验。 模型应用：模型应用是对模型的最客观、最公正的检验。（参见文献[12][13]）

2.2 数学建模的应用领域

实际应用过程中，需要建立数学模型且给出论证与算法，注重数学的严谨性、数模的实用性、算法的有效性和呈现方式的趣味性与可读性。选题大都出自自然科学、工程技术、社会生活、国家盛衰、军事战争、交通通信、选举评优、投资发展、物价问题、经济调整、资源管理、医疗卫生、计划生育、天气预报、对策运筹、试验设计、统筹优选、密码编译等领域。

数学建模可以分离散数学模型与连续数学模型两大块。离散数学模型包括连接问题、中国邮路问题、最优开关网络的构作、密码编译、空防与空袭对抗模型等等。连续数学模型包括速降线模型、变分模型、振动、共振和消振的线性微分方程模型、混沌模型、开普勒三定律与航天模型、战斗中的生存模型、艾滋病流行的非线性微分方程模型等等。（参见文献[14]）

数学建模的应用范围很广泛，无法一一说明，在接下来的小节举例来大致介绍数学建模在实际生活中的应用。

2.3 数学建模的应用实例

本节，我们用钢管订购与运输问题来说明数学建模的应用过程。 1、问题重述

有一条从A1A2A15的天然气管道需要铺设，经筛选，只有7家厂商获得认可，分别记为S1，S2，，S7。经筛选，只有7家厂商获得认可，分别记为S1，S2，，S7。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示管道（假设沿管道或者有原公路，或有施工公路）。圆圈表示火车站，每段铁路公路和管道旁的数字表示管道的里程（单位km），为了方便计算，记1km为一个单位。

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一个钢厂如果承担这种钢管的生产，则最少生产500个单位。钢厂Si在制定期内最多能生产钢管的数量记为Si个单位，钢管出厂价为每单位Pi万元，如下表。

设1000km每增加1至100km运费增加5万元，公路运输费为每公里0.1万元（不足整公里按1公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点A1A2A15，而是管道全线）。1单位钢管铁路运价表如下表：

问题：制定一个主管道的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。 2、解答：

1） 本着原材料就近订购费用小的原则，在要铺设的天然气管道附近选择了具有生产这种钢管能力的厂家S1，S2，，S7。

2） 假设铺设钢管可从Aj向前后两个方向铺设或向同一方向铺设和不考虑火车运载与汽车

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运载的装卸费。

3） 符号说明

1R0 - 1变量i，Ri0第Si个钢管厂承担制造钢管的任务；第Si个钢管厂不承担制造钢管的任务。

ai 表示向第Si个钢管厂订购的钢管的数量。

xij 表示从钢管厂Si沿着费用最小的路线运输到火车站Aj点的钢管的数量。 bj 表示从各个钢管厂运输到Aj点的钢管的总数。 cij 表示从钢管厂Si运输单位钢管到Aj的最小费用。

Q 表示铺设管道线路上的总运费。

4） 模型的建立与求解

对所给问题进行分析,建立了如下线性规划模型： 目标函数如下：

minfaiRiPicijxijQ

i1i1j17715约束条件如下：

500RiaiRiSi7xijaii17xbiji i17bj5171i1x0,a0,b0,且都为整数ijijj1,2,15i1,2,,7目标函数f中,

aRP项表示总订购的费用，cxiiii1i1j17715ijij表示从各钢管厂Si (i=

1,2,…,7)将所订购钢管沿费用最小的路线运到Aj (j=1,2,…,15)的总运费，cij为从Si到Aj运输单位钢管的最小费用，其数值用求最短路的算法可求得，Q为铺设主管道线路上的总运费。

这是一个产销不平衡的运输问题，经分析计算得知总生产量6600大于总需要量5171，为

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求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的销售地A0，其需要量为6600-5171= 1429，并令各钢管厂到假设销售地A0的单位运费为0，这样就把问题转化为产销平衡的运输问题。利用求解运输问题的表上作业法，求得结果：

总订购费f= 797455(万元)，铁路和公路上的总运费= 378691.1(万元)。

按从A15→A14→…→A1方向铺设时，从Aj (j= 2,3,…,15)铺设至其邻点Ak (k= 1,2,…,14且jk)的运费q0.1aa12万元(a为Aj至Ak的距离)，则Q=122904.3万元。

由上面结果可得：minf= 797455 + 378691.1 + 122904.3 = 1 299 050.4(万元)

为使运输总费用

cxi1j1715ijijQ最少，作如下假设：

由Si厂分配到Aj点的钢管量为c，Si到Aj的最小单位运价为b，Si到Aj1的最小单位运价为a，将按一定比例分别由路径a、b运到Aj1与Aj然后从两点相向运输。不妨设由a运费为x，由b运费cx，则总运费f为

fxaxxx120bcx(cx1)20

0.1x10b10ac2bccc12010bc_10a40

当0x10bc10a2c时，

22minfxbccc12010bc10a(10bc10a)40。

若Aj点的需求量由两个不同的钢管厂来满足，由此可得最优的分配方案，即最小的总费用为 minf= 497 455 + 400 664 + 76 025.4 = 1 274 144.4(万元)。（参见文献[15]）

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3 数学建模方法在金融领域的应用

3.1 期权定价的数学模型

3.1.1 期权定价理论的基本思想及其发展史

期权[16]，即期货合约选择权，是一种非常复杂而又微妙的金融工具。近若干年来期权交易的发展已在国际金融市场上占据了相当重要的地位。然而，期权的定价是个非常复杂的问题，同时也是期权交易中最重要的问题。

期权[17]就是一种标准化合约，一种将来必须履行的合约，而不一定是具体的货物。合约的内容是统一的、标准化的，惟有合约的价格，会因各种市场因素的变化而发生大小不同的波动。从其本质上讲，期权是一种选择权，是其购买者在支付一定数额的期权费后，拥有在某一特定时间内以某一确定的价格买卖某种特定商品契约的权利，但又无实施这种权利(即必须买进或卖出)的义务。它按交易性质可分为看涨期权和看跌期权，前者赋予期权拥有者在未来按履约价格购买期权标的物权利，又称买入期权；后者赋予期权拥有者在未来履约价格售出期权标的物权利，又称为卖出期权。期权按权利行使时间的不同，还可以分为欧式期权和美式期权。欧式期权只有在权利到期日才能履约交易，美式期权则在期权有效期内的任何时间都可以行使权利。

由于期权具有良好的规避风险、风险投资和价值发现等功能，且其具有灵活性和多样性的特点，因此近20年来，特别是20世纪90年代以来，期权成为最有活力的衍生金融产品，得到了迅速的发展和广泛的应用。最早的期权定价模型应归功于法国的Louis-Bachelier，他所发表的博士论文在期权理论和整个金融经济史上都占据着先驱地位，他把股票的价格描述为具有方差的绝对布朗运动，并由此给出欧式看涨期权的预期价格。1973年Black-Scholes发表了关于期权定价理论的开创性论文，取得了突破性进展，文中利用套利推理证明了欧式看涨期权定价公式，此公式是期权定价发展史上的里程碑，使原本空洞的期权定价问题在理论上有了依据。

1973年4月26日美国率先成立了芝加哥期权交易所，使期权合约在交割数额，交割月份以及交易程序等方面实现了标准化。在标准化的期权合约中，只有期权的价格是唯一的变量，是交易双方在交易所内用公开竞价方式决定出来的，而其余项目都是事先规定的。因此，我们的问题就是如何确定期权的合理价格。目前两个经典时期原型是B1ack—Scholes期权定价模型和Cox—Ross-Rubinstein二项式期权定价公式，尽管它们是针对不同状态而言的，但二者在本质上是完全一致的。在讨论期权定价模型之前，我们先对金融价格行为进行分析。(参见文献[16]-[18]）

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3.1.2 金融价格行为

资产价格的随机行为是金融经济学领域中的一个重要内容。价格波动的合理解释在决定资产本身的均衡价格及衍生定价中起着重要的作用，资产价格波动的经典假设，也是被广泛应用的一个假设是资产价格遵循扩散过程，称其为几何布朗运动，即

dStStdtStdBt ①

其中，St为t时刻的资产价格，为飘移率，为资产价格的波动率，Bt遵循标准的维纳过程，即布朗运动。为说明问题的方便，下面我们引入Ito引理：

设FS,t是关于S两次连续可微，关于t一次可微的函数，St是满足随机微分方程①的扩散过程，则有以下随机变量函数的Ito微分公式：

1dFS,tFdtFsdS2Fssdt ②

2Black—Scholes期权定价模型的一个重要假设是资产价格遵循对数正态分布，即

FS,tlnSt。将该式与①式同时代入②式，有：

1dlnSt2dtdBt ③

2从而有：

StRtlnSt1Zt ④

iid12其中，Rt为资产在t期的收益率，ZtBtBt1~N0,1。在此过

2程下，Rt~N,且对不同的时间是独立的。令S0为0时刻的资产价格，有：

2St2lnZ~N,t ⑤ tttS0(参见文献[18])

3.1.3 Black—Scholes模型

任何金融资产的合理价格是其预期价值，同样的原理适用于期权。下面我们首先介绍Black—Scholes模型的基本假设：没有交易费用和税负；无风险利率是常数；市场连续运作；股价是连续的，即不存在股价跳空；股票不派发现金股息；期权为欧式期权；股票可以卖空且

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不受惩罚，而且卖空者得到交易中的全部利益；市场不存在无风险套利机会。

在上述假设条件下，Black和Scholes推导出了看涨期权的定价模型，以股票为基础资产。 对看涨期权而言，其在到期目的价值为：

0,SX ⑥ CTmaxSTX,0TSTX,STX其中ST代表对应资产到期目的价格，x代表期权的交割价格。

ECTX0fSTdSTXSTXfSTXfSTdST



XSTfSTdSTXXSTdST

AXB 令

YlnST，可知

S0Y~Nt,2，

STSv0eAXSSS1TfTdSTlnXS0evfYTS0eYdSY0Y

2Yt22tlnvXS0e1dY

S02te22Yttv122ttdY（令Yt2tlnXS0eS02tet） 1St22t10ee122lnXt2St02td

tS0enNd1 其中：r12S0122，d。

lnX1r2ttBXfSTdSTlnXfYdY

S0 robYlnXS 013

⑦ 从而有：

⑧

XlntSYtrob0Nd2 ⑨

tt其中d2lnS012rtt，从而有期权的预期价值为： 2XECTAXBS0eNd1XNd2

将其贴现为现值记得期权的合理价格：

CECTeS0Nd1XeNd2 ⑩

需要说明的是，r不仅是12的简单表达式，它实际上是连续的复合零风险利率。这2并不奇怪，因为期权价值的确定并不依赖于投资者的偏好，即风险中性，而风险中性的本质含义就是要求资产的终值要以该项资产的收益率为折现率计算现值。因此以何种利率推导期权定价模型是无关紧要的，这里之所以选择无风险利率是因为较方便而已。这样，自然要求有

SETS02t122ee，即r。(参见文献[18]) 213.2 数学经济模型的应用

数学经济模型可以按变量的性质分成两类，即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型，确定型的模型则基于一定的假设和法则，精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多，加之相互交叉渗透，又派生出许多分支。所以一个给定的经济问题，有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型既要看问题而定，又要因人而异。要看自己比较熟悉或者精通哪门学科，充分发挥自己的特长。

构建经济数学模型的一般步骤[19]:

1.了解熟悉实际问题，以及与问题有关的背景知识。

2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象，明确模型中诸多的影响因素，用数量和参数来表示这些因素，运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之间的关系。一般情况下用数学表达式来表示，构架出一个初步的数学模型。然后再通过不断地调整，使建立的模型尽可能地接近实际，从而得到比较满意的结论。

3.使用已知数据，观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。 4.运行所得到的模型，把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况

14

基本一致，表明模型是符合实际问题。如果可以适用，我们可以将它用于对实际问题并进一步的分析或者预测。如果模型的结果与实际观测不一致，不能将所得的模型应用于所研究的实际问题，此时需要回头检查模型的组建是否有问题，问题的假设是否恰当，是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素，并对模型进行必要的调整和修正。重复前面的建模过程，直到建立出一个经检验符合实际问题的模型为止。一个较好的数学模型应该是从实际中得来，又能够应用到实际问题中去。 应用实例1：商品提价问题的简单数学模型

1.问题

商场经营者既要考虑商品的销售额、销售量，同时也要考虑如何在短期内获得最大利润。这个问题与商场经营的商品的定价有直接关系，定价低、销售量大、但利润小；定价高、利润大但销售量减少。下面研究在销售总收入有限制的情况下，商品的最高定价问题。

2.实例分析

某商场销售某种商品单价25元，每年可销售3万件，设该商品每件提价1元，销售量减少0.1万件。要使总销售收入不少于75万元，求该商品的最高提价。

解：设最高提价为x元，提价后的商品单价为25x元，提价后的销售量为

300001000x/1件，则25x300001000x/1750000

即 25x30x750

求出提价最高不能超过5元。

应用实例2：排队购票问题的简单数学模型

在一般情况下，提高服务水平的质量，自然会降低顾客的等待费用的损失，但增加了服务机构的成本，在这两种费用一多一少的矛盾情况下，我们的问题是如何合理安排使两项费用之和为最小。下面介绍排队系统模型，如某售票所有三个窗口，顾客的到达服从泊松分布，平均到达率每分钟=0.9(人)，服务(售票)时间服从负指数分布，平均服务率= 0.4(人)。设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票A：3个M／M／1型，B：M／M／3型

对比两种方案：3个M／M／1型子系统，M／M／3计算各状态的运行指标代入公式： A：此时i10.3 i1,2,3 3① 整个售票所窗口空闲概率

p01i10.30.40.25

15

② 平均队长和平均队列

Lsi0.90.40.39.00 Lqi30.330.42.25

③ 平均等待时间和逗留时间

ws110.40.310 分钟

wqws11010.47.5 分钟

顾客到达后必须等待的概率

p1ii10.30.40.30.40.75

n1n1nB ： M/M/1

① 整个售票所窗口空闲概率

0.90.42.25

P010.0748

2.250!02.251!12.252!2

2.253!3112.25/3② 平均队长和平均队列

Lq2.2533!142340.07481.70

LsLq/3.95③ 平均等待时间和逗留时间

wqLq1.70.91.89 分钟 wswq11.8910.44.39 分钟

顾客到达后必须等待的概率

2.250.07480.57p

3!14列表比较3个M／M／1型子系统，M／M／3计算各状态的运行指数

16

3

模 型 指标 整个售票员所空闲概率p0 顾客到达后必须等待的概率p 平均队长Lq 平均队列长Ls 平均等待时间wq 平均逗留时间ws M / M / 1型 M / M / 3 型 0.25（每个系统） 0.75 0.0748（整个系统） 0.57 2.25（每个子系统） 9.00（整个系统） 10（分钟） 7.5（分钟） 1.70 3.95 4.39 (分钟) 1.89（分钟） 从表中各项指标的对比可以看出M／M／3比M／M／1型节省资源。 (参见文献[5][11][19][20])

17

4 总 结

毕业论文接近尾声，在做论文的这几个月里，不仅考察了我大学四年所要学的东西，更重要的是要从老师、从课本里所学到的东西应用到实际中，检验自己的应用能力。在做论文期间，我学会了查阅图书馆及一些数据库的文献资料，对数学建模方法及其应用有了深入的了解。在王玉青老师的帮助和指导下，通过任务分析和总结前人的经验，基本确定了论文方案。

就本次论文来讲，主要涉及数学建模方法及其在金融领域的应用。对于数学建模方法，目前已经在生活中广泛应用。数学建模的实质是将实际问题转化为数学问题，通过数学方法来建立模型解决实际问题。但毕竟理论和实际存在误差，我们只能在合理的运行时间里使其与完美解尽可能的接近。从目前发表的各种数学建模的论文的结论来看，数学建模方法的应用已经相近成熟，应用于各种领域。尽管其中还是有误差，但也给人们在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理、金融经济等方面带来了便捷。

虽然自己的见解十分肤浅，对问题的探讨也不够深入，主要做了一些相关问题的综述性工作。但结合我在期货公司实习经历，通过此次论文，使我的认知不断得到丰富和充实，扩展了自己的阅历，锻炼了自我，很多方面得到了进步和发展。

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参 考 文 献

[1] 叶其孝.数学建模及其发展简介[J].科学（上海）,1996,1:60-63. [2] 陈翀.数学建模在经济学与社会学中的应用[J].企业经济,2010,4:133-133. [3] 韩明.从诺贝尔经济学奖看数学建模的价值[J].大学教育,2007,2,1(23):181-186. [4] 谢牧.经济数学建模研究[J].数学学习与研究,2010,9:81-83.

[5] Alison Etheridge. A Course in Financial Calculus[M].北京:人民邮电出版社,2006.

[6] Frank R.Giordano, Maunrice D.Weir and William P.Fox. A First Course in Mathematical Modeling, Third Edition[M].北京:机械工业出版社,2005,1.

[7] 刘旭东.数学建模思想浅析[J].吉林教育,2009,6:36-36. [8] 贺玉兰.数学建模初探 [J].当代教育论坛,2005,8:83-84. [9] 金融学,:http://baike.baidu.com/view/20101.htm.

[10] 丁雪莹.浅谈数学建模对社会发展的推动作用[J].中国科教创新导刊,2008, 34:92-92. [11] 牛华伟,张厚超.数学建模在经济管理中的应用[J].牡丹江教育学院学报，2009,5:62-63. [12] 马南湘.数学建模与企业生产中的数学建模应用[J].沿海企业与科技,2003.5:36-37. [13] 李月清.数学建模与经济发展[J].中国教育技术装备,2009,12:32. [14] 王树禾.数学建模基础[M].合肥:中国科技大学出版,1996,5,1.

[15] 杨振华,胡国雷,郭跃华.钢管订购与运输问题一的数学模型与求解[J].数学的实践与认识，2002,5,3(32):353-360.

[16] 李翔.市场易变性与期权理论定数学模型的比较.北京商学院学报.1996,3(69):32-34. [17] 王丽颖.期权定价问题的数学模型及应用[J].学术之窗集团经济研究2007,2(222):236-236. [18] 白秀琴,杨宝玉.期权定价问题的数学模型[J].当代经济，2008,9:152-153. [19] 郑文秀.论数学建模在经济学中应用[J].商情,2009,18:51.

[20] 孙红伟.商场经营管理中的几个数学模型分析[J].商场现代化,2006,8:62-63.

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文献综述

数学建模方法及其在金融领域的应用

一、前言部分 本次毕业设计，我们主要研究数学建模的方法及其在金融领域的应用，并结合实际生活中的某些具体的例子，分析数学建模在金融领域中的重要性以及如何应用。

数学建模[1] (Mathematical Mode1)就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，而数学模型是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。不论是用数学建模方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数模型，并加以计算求解。

现今，我们要在基本的数学建模方法上，找出适用于金融发展的数学建模方法。而金融，顾名思义，融通资金、使资金融洽通达，是指在经济生活中，银行、证券或保险业者从市场主体（例如储户、证券投资者或者保险者等）募集资金，并借贷给其它市场主体的经济活动。

随着计算机应用的发展, 数学建模又成为高新技术的一种“数学技术”，发挥着关键性的作用，使高新技术不断取得丰硕成果。时代的进步又使数学建模的内涵愈来愈丰富、深刻， 其应用也日渐广泛。不论是自然科学工作者、工程技术人员，还是社会科学工作者，数学建模方法都将为他们提供一种重要的研究手段。因此，总结数学建模在各个领域特别是金融领域的应用是十分有价值的。(参见文献[2]－[6])

二、主题部分

随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方

20

面得到了越来越广泛而深入的应用。而在应用过程中，建立数学模型是其关键之步。尤其是在经济发展方面，数学建模有着很重要的作用。数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。

数学建模方法的可应用领域非常广泛。在许多情况下，只要存在选择的机会，无论在哪个领域，几乎都可以用数学建模的理论和方法将现实问题转换为数学问题进行分析。例如最优化和控制可用来对工业问题、交通模式、河流中沉积物的输进和其他情形建立模型；信息和通讯理论可以用来对信息传输、语言特征和其他类似的问题建立模型。 而堆数分析和计算机模拟可以用米对大气环流模式、工程结构中的压力分布、地形的形成和发展以及在科学和工程中许多其他过程来建立模型。而在应用过程中，建立数学模型是其关键的一步。尤其是在经济发展方面，数学建模有着很重要的作用。数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。

然而，实际问题往往极为复杂，只能就主要方面先作定量研究。这正是抽象和简化的过程。正确的抽象和简化往往不是一次能够完成的，如由开普勒和牛顿发现的万有引力定律是把星球、物体简化成没有大小只有质量的质点，再应用物理规律和数学推导得到的。而万有引力定律正是发射卫星、宇宙飞船等空间飞行器的重要依据。当然在真正设计、研究宇宙飞船及其飞行轨道时必须考虑其质量、形状结构等因素，从而必须研究修正的数学模型。变量和参数的确定既重要，又是复杂和困难的。应用某种“规律”建立变量、参数间的明确数学关系，这里的“规律”可以是人们熟知的物理学或其他学科的定律。如牛顿第二定律、能量守恒律等，也可以是实验规律。数学关系可以是等式、不等式及其组合的形式，甚至可以是一个明确的算法。能用数学语言把实际问题的诸多方面(关系)“翻译”成数学问题是极为重要的。

而建立数学模型的方法有很多，在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统与客户进行商业谈判，比如根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模等。（参见文献[3][4][7][8]）

“数学建模”的思想由来已久，它深入到我们生活的各个方面。为了能用数学方法解决各个领域特别是经济领域中的问题，就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济、社会等领域中的问题，把实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题过程。或者说，数学建模就是以优化经济，革新社会为目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、

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框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻画。数学建模的应用非常广泛，为决策者提供参考依据并对许多部门的具体工作进行指导，如节省开支、降低成本、提高利润等。尤其是对未来可以预测和估计，对促进科学技术和经济的蓬勃发展起了很大的推动作用。

我们也从诺贝尔经济学奖得主的主要工作成果中，可以清楚地看出数学建模在经济学科的发展中的作用。从Erik Lundberg 1969年的讲话，以及诺贝尔经济学奖得主的主要工作（特别是1969年、1980年、1981年、1982年、1987年、1989年等），显而易见体现了数学建模的价值。如1969年的诺贝尔经济学奖授予Jan Tinbergen和Ragnar Frisch，奖励他们在经济过程的分析发展和应用动态过程，他们发展了动态模型来分析经济进程。1980年诺贝尔经济学奖授予Lawrence R Klein，以奖励他创立的宏观经济模型，并把它用于经济波动和经济政策的分析。1989年诺贝尔经济学奖授予Trygve Haavelmo，以奖励他澄清计量经济学的概率基础以及他的联立经济结构分析。Haavelmo提出了“Haavelmo平稳人口模型”。(参见文献[7][9]－[11])

在经济活动中，经济效益最优化问题是经济管理的核心，也是企业的最终目标，而最佳的决策方案对企业的经济效益具有直接和重要影响。从现代决策理论的发展可以看到，同“物本管理”相适应的管理决策目标遵循“最优化”准则。要求决策者从“客观的理性” 出发，寻求在一定条件下目标函数唯一的“最优解”。为此，就要求建立复杂的数学模型，进行严密的数量分析，从而把决策模式重心放在分析性的技术方法上。经济数学模型就是以定量分析为基础，把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验，归结成—套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法，用来描述经济对象的运行规律。它是对客观经济数量关系的简化反映，是经济现象和经济过程中客观存在的量的依从关系的数学描述，是经济分析中科学抽象和高度综合的一种重要形式。

数学建模方法有很多种，但是建立数学模型基本思想是一样的。应用于经济发张的数学建模步骤如下：

建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题？问题就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题。” 因此，发现课题的过程就是分析矛盾的过程。贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到需要解决的实际问题。如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题。

建模假设模假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

22

构造模型：构造模型的方法各有其优点和缺点，在构造模型时，可以同时采用，以取长补短，达到建模的目的。

模型求解：构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型求解。

模型分析：通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条款， 重新建模，直到符合要求。如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。

模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验。 模型应用：模型应用是对模型的最客观、最公正的检验。（参见文献[2] [12]－[15]）

三、总结

数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂。在这半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。但数学并不能直接处理上述各个领域的客观情况。为了能用数学解决这些问题，就必须建立数学模型。由于范围广泛，我们选取经济领域中的金融，进行探讨数学建模方法的作用。

而数学建模是为了解决经济领域中的问题而做的一个抽象的、简化的结构的数学刻画。简单地说是将实际金融问题转化为数学问题，建立数学模型，再应用到实际中。建立金融数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题。在利用数学建模方法建立模型的过程中，我们是在最理想的因素状态下建立数学模型，应用到解决实际问题中自然会有偏差。所以我们还要不断实践，利用大量的数据来不断修改模型，达到更好理想状态。

数学建模是各学科与实际应用联系的桥梁，与人们的实际生活和各科学领域密切

23

相关，已成为社会科学中不可或缺的一部分。

四、参考文献

[1] Frank R.Giordano, Maunrice D.Weir and William P.Fox. A First Course in Mathematical Modeling, Third Edition[M].北京:机械工业出版社,2005,1．

[2] 李月清.数学建模与经济发展[J].中国教育技术装备,2009,12,32．

[3] 丁雪莹.浅谈数学建模对社会发展的推动作用[J].中国科教创新导刊,2008, 34:92-92． [4] 陈翀.数学建模在经济学与社会学中的应用[J].企业经济,2010,4:133-133． [5] 叶其孝.数学建模及其发展简介[J].科学（上海）,1996,1:60-63． [6] 郑文秀.论数学建模在经济学中的应用[J].商情,2009,18:51-51．

[7] 韩明.从诺贝尔经济学奖看数学建模的价值[J].大学教育,2007,2,1(23):181-186． [8] 谢牧.经济数学建模研究[J].数学学习与研究,2010,9:81-83．

[9] Alison Etheridge. A Course in Financial Calculus[M].北京:人民邮电出版社,2006．

[10] Marek Capinski, Tomasz Zastawniak. Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering [M]. 北京:中国人民大学出版社,2003,1．

[11] 周波.经济效益最优化数学模型的建立与应用[J].内江科技.2009,11(32)：126-126． [12] 马南湘.数学建模与企业生产中的数学建模应用[J].沿海企业与科技,2003.5:36-37． [13] 刘旭东.数学建模思想浅析[J].吉林教育,2009,6:36-36． [14] 贺玉兰.数学建模初探 [J].当代教育论坛,2005,8:83-84．

[15] 孙秀娟,王佳秋,杜广环.数学建模案例的应用研究[J].高师理科学刊,2010,4(30):41-41．

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开题报告

数学建模方法及其在金融领域的应用

一、选题的背景、意义

随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面得到了越来越广泛而深入的应用。而在这应用过程中，建立数学模型是其关键之步。尤其是在经济发展方面，数学建模有着很重要的作用。数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。（参见文献[1][2]）

数学建模[3] (Mathematical Mode1)就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，具体的数学模型是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

而建立数学模型的方法有很多，在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统与客户进行商业谈判，比如根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模等。（参见文献[1]）

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分，不论是用数学建模方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。首要的和关键的一步是建立研究对象的数模型，并加以计算求解。随着计算机应用的发展，数学建模又成为高新技术的一种“数学技术”，发挥着关键性的作用，使高新技术不断取得丰硕成果。时代的进步又使数学建模的内涵愈来愈丰富、深刻，其应用也日渐广泛。不论是自然科学工作者、工程技术人员，还是社会科学工作者，数学建模方法都将为他们提供一种重要的研究手段。因此，总结数学建模在各个领域特别是金融领域的应用是十分有价值的。(参见文献[4]－[6])

25

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

数学建模(Mathematical Mode1)是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经渗透到各种领域，可以毫不夸张地说，数学和数学建模无处不在。甚至报刊中也越来越多地出现数学建模、建模和数学建模这样的术语（包括它们的英文称Mathematical Mode1ing、Modeling和Mathermatical Model），它们正在成为人们日常生活和语言交流中常见的术语。(参见文献[3])

数学建模方法有很多种，但是建立数学模型基本思想是一样的。在建立教学模型的过程中，就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。数学建模的步骤大体可分为以下几步：

模型准备：弄清问题的背景，搜集必要的信息，由此确定需要用到哪些数学知识，必要的话，可向实际工作者请教。

模型假设：抓住主要因素，忽略次要因素，做出合理并必要的假设，如“航行问题”中假设航行中船速和水速为常数。如果试图把所有因素都考虑进去会使下一步的工作非常困难甚至无法进行。做假设的依据处于对问题内在规律的认识和信心的判断。

模型构成：根据假设，用数学的语言描述对象的内在规律，建立包含常量和变量的数学模型。如“航行问题”中所建立的二元一次方程组。这里可能还需要一些相关学科的知识，要善于发挥想象力，注意使用类比的方法，借用已有的模型。

模型求解：可以利用求解方程(组)、数值计算、统计知识及图形法对数学模型进行求解，必要时要使用数学软件和计算机技术。

模型分析：对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析及模型对数据的灵敏性分析。

模型检验：把求解结果和分析结果翻译回原问题，看是否符合实际情况，如果结果和实际不符， 问题可能出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模。

例如，建立起来的比较简单的数学模型主要包括：方程(组)模型、不等式(组)模型、函数模型、几何模型等。

方程（组) 模型：方程是描述丰富多彩世界中的数量关系的重要语言，也是中考所要考察的热点之一，要求学生通过了解社会日常生活、生产实践、经济活动的有关常识，学会用方程思想去分析和解决一些实际问题。

26

不等式(组)模型：生活中的不等式关系是普遍存在的。在市场营销、生产决策的社会活动中．有关最佳决策、最优化等问题可转化成相应的不等式问题。利用不等式的有关知识和方法求出某个量的变化范围。

函数模型：函数应用问题也是近年来中考的热点题型，它以函数知识为背景，针对社会热点，贴近学生生活实际，有强烈的时代气息，解答这类问题的关键是将实际问题中内在、本质的联系转化为数学联系，建立函数模型，从而求得实际问题的答案。（参见文献[7]－[10]）

社会实际生活中，我们需要在以上及其他基本的数学建模方法上，找出适用于金融发展的数学建模方法。金融，顾名思义，融通资金、使资金融洽通达，是指在经济生活中，银行、证券或保险业者从市场主体（例如、储户、证券投资者或者保险者等）募集资金，并借贷给其它市场主体的经济活动。

应用于经济发展的数学建模步骤，如下：

建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题?问题就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题。” 因此，发现课题的过程就是分析矛盾的过程。贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到需要解决的实际问题。如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题。

建模假设：模假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

构造模型：构造模型的方法各有其优点和缺点，在构造模型时，可以同时采用，以取长补短，达到建模的目的。

模型求解构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型求解。

模型分析：通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条款，重新建模，直到符合要求。如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。

模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验。 模型应用：模型应用是对模型的最客观、最公正的检验。（参见文献[10]－[12]）

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

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1.方法及技术路线

本论文主要是查找资料，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，讨论数学建模方法以及用这些方法求解金融领域中的相关问题。采取的实际路线是首先大量阅读已有的数据资料，然后对这些内容进行总结，最后运用相关知识采用数学建模方法求解具体的金融及经济问题。

2.研究难点

（1）由于论题比较深奥、领域宽广，很难有独创或新颖之处； （2）方法比较多，建立模型比较灵活，本文只讲述重要常用的。 3.预期达到的目标

通过这次论文的撰写，了解数学建模方法。数学建模方法本是把实际问题转化成数学问题，再通过数学建模，继而解决问题。数学建模是解决问题过程中的重要一环，是要解问题通向问题解决的桥梁。例如“一笔画问题”是数学模型法，应用它可以解决实际问题。而“一笔画”问题起先被发明创造的过程，怎样把实际问题转化成“一笔画”问题的过程，则是数学建模。 可以说，我们这里研究的数学建模方法是种将金融中相关的实际问题转化为数学模型进行求解分析的数学方法。

我们将从主要的具体实例出发，阐述数学建模方法及其在金融领域的应用情况。

四、论文详细工作进度和安排

第7学期12周至第7学期18周：

完成毕业论文文献检索、开题报告、文献综述及外文文献翻译初稿。 第7学期18周至第7学期21周：

完成毕业论文开题报告、文献综述及外文文献翻译，上交。 第7学期21周至第8学期3周： 完成毕业论文的数据收集、分析； 第8学期3周至第8学期13周：

完成毕业论文初稿，对论文进行修改，进一步完善毕业论文； 第8学期13周（5月23日）至第8学期15周（6月10日）： 完成毕业论文答辩.

五、主要参考文献：

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[1] 陈翀.数学建模在经济学与社会学中的应用[J].企业经济,2010,4:133-133．

[2] 丁雪莹.浅谈数学建模对社会发展的推动作用[J].中国科教创新导刊,2008, 34:92-92．

[3] Frank R.Giordano, Maunrice D.Weir and William P.Fox. A First Course in Mathematical Modeling, Third Edition[M].北京:机械工业出版社,2005,1．

[4] 叶其孝.数学建模及其发展简介[J].科学（上海）,1996,1:60-63.

[5] 韩明.从诺贝尔经济学奖看数学建模的价值[J].大学教育,2007,2,1(23):181-186． [6] 郑文秀.论数学建模在经济学中的应用[J].商情,2009,18:51-51．

[7] Alison Etheridge. A Course in Financial Calculus[M].北京:人民邮电出版社,2006． [8] 谢牧.经济数学建模研究[J].数学学习与研究,2010,9:81-83． [9] 刘旭东.数学建模思想浅析[J].吉林教育,2009,6:36-36． [10] 贺玉兰.数学建模初探 [J].当代教育论坛,2005,8:83-84．

[11] 马南湘.数学建模与企业生产中的数学建模应用[J].沿海企业与科技,2003.5:36-37． [12] 李月清.数学建模与经济发展[J].中国教育技术装备,2009,12,32．

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