函数定义域几种类型及其求法

函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1、求函数yx22x15的定义域。 x382x5或x3x2x150解：要使函数有意义，则必须满足 即 x5且x11x380解得x5或x3且x11 即函数的定义域为xx5或x3且x11。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。 （一）已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域。 其解法是：已知f(x)的定义域是[a,b]求fg(x)的定义域是解ag(x)b，即为所求的定义域。 例2、已知f(x)的定义域为[2,2]，求f(x1)的定义域。 解：2x2，2x12，解得3x即函数f(x1)的定义域为x3x2223 3 （二）已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知fg(x)的定义域是[a,b]求f(x)的定义域的方法是：axb，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例3、已知f(2x1)的定义域为[1,2]，求f(x)的定义域。 解：1x2，22x4，32x15。 即函数f(x)的定义域是x|3x5。 三、逆向思维型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例4、已知函数ymx26mxm8的定义域为R求实数m的取值范围。 22分析：函数的定义域为R，表明mx6mxm80，使一切xR都成立，由x项的系数是m，所以应分m0或m0进行讨论。 解：讨论： ①当m0时，函数的定义域为R； ②当m0时，mx6mxm80是二次不等式，其对一切实数x都成立的充

2m0要条件是 0m1 2(6m)4m(m8)0综上可知：0m1。 评注：不少学生容易忽略m0的情况，希望通过此例解决问题。 例5、已知函数f(x)kx7的定义域是R，求实数k的取值范围。 2kx4kx32解：要使函数有意义，则必须kx4kx30恒成立， 因为f(x)的定义域为R，即kx4kx30无实数解 讨论：①当k0时，16k43k0恒成立，解得0k②当k0时，方程左边30恒成立。 综上得：k的取值范围是0k223； 43。 4四、实际问题型 这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。 例6、将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。 解：设矩形一边为x，则另一边长为

1(a2x)于是可得矩形面积。 2111yx(a2x)axx2x2ax。 222由问题的实际意义，知函数的定义域应满足 x0x0a  0x。 12(a2x)0a2x02故所求函数的解析式为：yx21aax，定义域为(0,)。 22五、含参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例7、已知f(x)的定义域为[0,1]，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。 解：因为的定义域为[0,1]，即0x1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解

集：0xa1ax1a，即 0xa1ax1a即两个区间a,1a与a,1a的交集，比较两个区间左、右端点： 1a0时，F(x)的定义域为x|ax1a； 21（2）当0a时，F(x)的定义域为x|ax1a； 211（3）当a或a时，上述两区间的交集为空集，此时F(x)不能构成函数。 22（1）当