2013年高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(大纲全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )．

A．3 B．4 C．5 D．6 2．(2013大纲全国，理2)(1+3i)3＝( )．

A．－8 B．8 C．－8i D．8i

3．(2013大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )．

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

4．(2013大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )．

111,,12 C．(－1,0) D．2 A．(－1,1) B．5．(2013大纲全国，理5)函数f(x)＝log211－1

(x＞0)的反函数f(x)＝( )． x11xx

A．21(x＞0) B．21(x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)

46．(2013大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝，则{an}的前10项和等于( )．

31A．－6(1－3－10) B．9(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)

7．(2013大纲全国，理7)(1＋x)(1＋y)的展开式中xy的系数是( )．

A．56 B．84 C．112 D．168

8

4

22

x2y8．(2013大纲全国，理8)椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的

43取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )．

2133313,,,1,1248424 B． C． D． A．9．(2013大纲全国，理9)若函数f(x)＝x＋ax＋

2

11在,是增函数，则a的取值范围是( )． x2A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)

10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )．

2132A．3 B．3 C．3 D．3

11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C：y＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MAMB0，则k＝( )．

2

12A．2 B．2 C．2 D．2

12．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )．

x=A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线

π2对称

3C．f(x)的最大值为2 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数

2013 全国大纲卷理科数学 第1页

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝1，则cot α＝__________. 314．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)

x0,15．(2013大纲全国，理15)记不等式组x3y4,所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D3xy4有公共点，则a的取值范围是__________．

16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝

3，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________． 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，

S4成等比数列，求{an}的通项公式．

18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sin Asin C＝31，求C. 419．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．

(1)证明：PB⊥CD；

(2)求二面角A－PD－C的大小．

20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为

1，各局比赛的结2果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

x2y221．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分

ab别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6. (1)求a，b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1+x)(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值； (2)设数列{an}的通项an=1+x1x.

1x112311，证明：a2n－an＋＞ln 2. n4n2013 全国大纲卷理科数学 第2页

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(大纲全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B

解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B. 2． 答案：A

解析：(1+3i)3=133i+3(3i)2+(3i)3=8.故选A. 3． 答案：B

2222

解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|－|n|＝0⇒(λ＋1)＋1－[(λ＋2)＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B

解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜5． 答案：A

解析：由题意知1+因此f(x)＝6． 答案：C

解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝an.∴数列{an}是以－1

1.故选B. 211y＝2⇒x＝y(y＞0)，

21x1

(x＞0)．故选A. x

21

1314为公比的等比数列．∵a2＝，∴a1＝4. 33110413＝3(1－3－10)．故选C. ∴S10＝

1137． 答案：D

2解析：因为(1＋x)的展开式中x的系数为C8，(1＋y)的展开式中y的系数为C24，所以xy的系数为

8

2

4

2

22

22C8C4168.故选D.

8． 答案：B

x02y02=1， 解析：设P点坐标为(x0，y0)，则43y0y0，kPA1，于是kPA1kPA2x02x0231故kPA1＝－.

4kPA2kPA2∵kPA2∈[－2，－1]， ∴kPA1,.故选B.

8432x0y0342. 22x02x04423332013 全国大纲卷理科数学 第3页

9． 答案：D

1111a2x≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵,,22xx221111函数y22x在,上为减函数，∴ymax<23.∴a≥3.故选D. 2x2212解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－

10． 答案：A

解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.

BD平面ACC1A1∵BDAA1CH平面ACCA11ACAA1ACHBDCHC1OCH⊥平面C1BD， BDC1O=O∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角． 设AA1＝2AB＝2，则OC=BDAC

AC2，=2222932C1O=OC2CC122==2. 222由等面积法，得C1O²CH＝OC²CC1，即∴CH=322CH＝2， 222. 32HC32∴sin∠HDC＝==.故选A.

DC1311． 答案：D

222

解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y＝8x，得kx22

－4(k＋2)x＋4k＝0.

4k22设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.① 2ky1kx12由 y2kx22y1y2kx1x24k,① 2y1y2k[x1x22x1x24].②∵MAMB0，

∴(x1＋2，y1－2)²(x2＋2，y2－2)＝0. ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，

即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k＝2.故选D.

2013 全国大纲卷理科数学 第4页

12． 答案：C

22

解析：由题意知f(x)＝2cosx²sin x＝2(1－sinx)sin x. 令t＝sin x，t∈[－1,1]，

23

则g(t)＝2(1－t)t＝2t－2t. 令g′(t)＝2－6t＝0，得t=当t＝±1时，函数值为0；

2

3. 3343时，函数值为； 39343当t时，函数值为.

3943∴g(t)max＝，

943即f(x)的最大值为.故选C.

9当t二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：22 解析：由题意知cos α＝1sin故cot α＝

21122. 93cos=22. sin14．答案：480

2解析：先排除甲、乙外的4人，方法有A4种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有A45种排法，2因此甲、乙不相邻的不同排法有A44A5480(种)．

15．答案：,4

2

解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知kBC1



1，2kAC＝4，

∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点， 则

1≤a≤4. 216．答案：16π

解析：如下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，

则OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°.

3R. 2333R又OK⊥EK，∴＝OE²sin 60°＝.

222又MN＝R，∴△OMN为正三角形．∴OE＝∴R＝2. 2

∴S＝4πR＝16π.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

2013 全国大纲卷理科数学 第5页

17．解：设{an}的公差为d.

由S3＝a22得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.

又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，

2

故(2a2－d)＝(a2－d)(4a2＋2d)．

22

若a2＝0，则d＝－2d，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；

2

若a2＝3，则(6－d)＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2. 因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1. 18．

222

解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a＋c－b＝－ac.

a2c2b21， 由余弦定理得cos B＝

2ac2因此B＝120°.

(2)由(1)知A＋C＝60°， 所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)＋2sin Asin

C＝+212313， 42故A－C＝30°或A－C＝－30°，

因此C＝15°或C＝45°. 19．

(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O. 连结OA，OB，OD，OE.

由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点， 故OE⊥BD，从而PB⊥OE.

因为O是BD的中点，E是BC的中点， 所以OE∥CD.因此PB⊥CD.

(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P， 故CD⊥平面PBD.

又PD平面PBD，所以CD⊥PD.

取PD的中点F，PC的中点G，连结FG， 则FG∥CD，FG⊥PD.

连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD. 所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角． 连结AG，EG，则EG∥PB. 又PB⊥AE，所以EG⊥AE. 设AB＝2，则AE＝22，EG＝故AG＝1PB＝1， 2AE2EG2＝3.

1在△AFG中，FG＝CD2，AF3，AG＝3，

2FG2AF2AG26所以cos∠AFG＝. 2FGAF36因此二面角A－PD－C的大小为πarccos. 3解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．

以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

2013 全国大纲卷理科数学 第6页

设|AB|＝2，则A(2，0,0)，D(0，2，0)，C(22，2，0)，P(0,0，2)．

PC＝(22，2，2)，PD＝(0，2，2)． AP＝(2，0，2)，AD＝(2，2，0)． 设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1²PC＝(x，y，z)²(22，2，2)＝0，

n1²PD＝(x，y，z)²(0，2，2)＝0，

可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.

取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．

设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2²AP＝(m，p，q)²(2，0，2)＝0，n2²AD＝(m，p，

q)²(2，2，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0. 取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．

于是cos〈n1，n2〉＝

n1·n26. |n1||n2|36. 3由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为πarccos20．

解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1²A2.

P(A)＝P(A1²A2)＝P(A1)P(A2)＝

1. 4(2)X的可能取值为0,1,2.

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

11，P(X＝2)＝P(B1²B3)＝P(B1)P(B3)＝，P(X＝1)841159＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1，EX＝0²P(X＝0)＋1²P(X＝1)＋2²P(X＝2)＝.

8488则P(X＝0)＝P(B1²B2²A3)＝P(B1)P(B2)²P(A3)＝21．

ca2b222

(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b＝8a.

aa2所以C的方程为8x－y＝8a. 将y＝2代入上式，求得xa由题设知，2a222

2

2

1. 216，解得a2＝1. 2所以a＝1，b＝22. (2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x－y＝8.①

由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k<22，代入①并化简得(k－8)x－6kx＋9k＋8＝0.

2

2

2

2

2

2

6k29k28设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2，x1²x2＝2.

k8k8于是|AF1|＝x13y1 ＝x138x18＝－(3x1＋1)，

2013 全国大纲卷理科数学 第7页

2222

|BF1|＝x23y2 ＝x238x28＝3x2＋1.

由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝22222. 34196k22故2，解得k2＝，从而x1²x2＝.

59k83由于|AF2|＝x13y1 ＝x138x18＝1－3x1， |BF2|＝x23y2 ＝x238x28＝3x2－1，

故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|²|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 2

因而|AF2|²|BF2|＝|AB|，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列． 22．

2222222212xx2(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.

1x21

若，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.

21若，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.

21综上，λ的最小值是.

21

(2)证明：令.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，

2

x2xln(1x)． 即

22x12k1k1>ln取x，则.

k2kk1k12n111于是a2nan 4nkn2k2(k1)2n12n12k1k1＝ lnkkn2kk1kn＝ln 2n－ln n＝ln 2. 所以a2nan

1ln2. 4n2013 全国大纲卷理科数学 第8页