圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分不是一个规则图形，不能用公式直接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解，下面谈谈求解阴影部分面积的方法。

例1 如图1，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求图中阴影部分的面积。

分析：图中阴影部分可看作弓形BC面积与三角形ABC面积的和，而△ABC不是Rt△，所以考虑借助OA∥BC将△ABC移形，连接OC、OB，则S△OCB＝S△ACB。 则阴影部分面积为扇形AOB面积。

解 连接OB、OC，如图2因为BC∥OA 所以△ABC与△OBC在BC上的高相等 所以SABCSOBC ， 所以S阴S扇形 又∵AB是⊙O的切线

所以OB⊥AB，而OB＝2，OA＝4 所以∠AOB＝60°，

由BC∥OA得∠OBC＝60°

所以△OBC为等边三角形，∠BOC＝60°

S扇形BOC60×223603

例2 如图3，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB为直径作半圆，求阴影部

分的面积。

分析 图3中阴影部分面积为：

以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB面积； 而弓形面积等于扇形AOB面积减去△AOB面积。 解 ∵OA＝4cm，∠O＝90°，OB＝4cm ∴S扇形AOB90424（cm2）

360 又AB42(cm)

2（22） 所以S半圆24(cm2)

22 而SAOB8(cm),所以S弓形(48)cm 2 故S阴S半圆S弓形4(48)8cm

例3 如图4，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？

分析 五个扇形的圆心角分别为 n1°，n2°，n3°，n4°，n5° 而n1n2n3n4n5540°

解 设这个五个扇形的圆心角的度数分别为

n1,n2,n3,n4,n5。

∵五边形ABCDE内和角等于540° 则n1n2n3n4n5540 五个扇形面积之和等于

S扇形1S扇形2S扇形3S扇形4S扇形5

n1r2n2r2n3r2n4r2n5r2360360360360360



r2(n1n2n3n4n5)36032



例4 如图5，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点D，MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半径，求阴影部分的面积。

分析 S阴S半圆⊙OS半圆⊙C

所以关键是求⊙O半径OB或OM或ON ⊙C半径AC或CO或CD

而MN为⊙C切线，CD⊥MN且CD为⊙C半径 解 如图6过O作OE⊥MN于E，则OE平分MN

MEEN1MN4cm2

∵MN∥AB可得四边形EOCD为矩形

所以OE＝CD，连接ON 在Rt△EON中

ONOEEN16 ON＝4

222S阴11ON2OE2)×16822

求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后

通过面积的加、减得出结论.