三角函数图像与性质知识点总结

一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π3

(0,0) ，1 (π，0) π，－1 (2π，0)

22 (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π3π

(0,1)，，0，(π，－1)，，0，(2π，1)

222.三角函数的图象和性质

函数 y＝sin x 性质 y＝cos x y＝tan x π，k2定义域 {x|x≠kπ＋R R ∈Z} 图象 [－1,1] 值域 对称轴： 对称轴： x＝kπ＋[－1,1] R x＝kπ(k∈Z) 对称性 π(k∈Z)； 2对称中心： (kπ，0)(k∈Z) ∈Z) 周期 2π 2π π 对称中心：对称中心： (kπ＋π，0) (k2kπ，0 (k∈Z) 2单调增区间_[2kπ－单调增区间 单调性 ππ，2kπ＋](k[2kπ－π，2kπ] 22单调增区间 (k∈Z)； ∈Z)； π(kπ－，kπ＋单调减区间 2单调减区间 [2kπ，2kπ＋ππ)(k∈Z) [2kπ＋,2kπ＋22π](k∈Z) 3π] (k∈Z) 2 偶函数 奇函数 奇偶性 奇函数 3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)

4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，

y＝cos x的下确界.

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.

5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)

的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) ππ2x－；(2)y＝sin－2x. (1)y＝sin

44

6、y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝

最高点－最低点

；

2最高点＋最低点

；

22π

③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝

ω(ω>0)来确定ω；

④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩

φφ(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ. ωω ysinx的图象平移个单位长度 得ysin(x)的图象1到原来的(纵坐标不变)横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)向左(>0)或向右(0) 得ysin(x)的图象为原来的A倍(横坐标不变)得yAsin(x)的图象 nnknnnnn得yAsin(x)k的图象． 先伸缩后平移

nn(k0)nnn(k0)纵坐标伸长(A1)或缩短(0平移个单位得yAsin(x)k的图象． 得yAsinx(x)的图象平移k个单位长度 .

向上(k0)或向下(k0)