圆锥曲线难题汇编..

我经过反思与整理，写成此文。

一、 圆锥曲线的光学性质

1．1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)

椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在

F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．

1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．

双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．

1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物

1

线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

图1.1

• F2 O • F1 B D A F2 • • F1 •

要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明

2．1圆锥曲线的切线与法线的定义

设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明

图1.2 图1.3

x2y2预备定理 1.若点P(x0,y0)是椭圆221上任一点，则椭圆过该点的切

abx0xy0y线方程为：221。

aby2x2证明：由212ba1°当xx2yb(12)……①

a220a时，过点P的切线斜率k一定存在，且ky'|xx

2b2∴对①式求导：2yy'2x0

a2

∴ky'|xx02bx0bx0yy(xx0)…………② 2∴切线方程为02ay0ay02x2y2∵点P(x0,y0)在椭圆221上，

ab22x0xy0yx0y0故 221 代入②得221…………③

abab而当xa时，y00 切线方程为xa，也满足③式

x0xy0y故221是椭圆过点P(x0,y0)的切线方程. abx2y2预备定理2. 若点P(x0,y0)是双曲线221上任一点，则双曲线过该

abx0xy0y点的切线方程为：221

ab2y2x222x证明：由221yb(21)……①

baa1°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且k2bx02b∴对①式求导：2yy'2x0∴ky'|xx02

ay0a2y'|xx0

b2x0∴切线方程为yy02(xx0)…………②

ay0x2y2∵点P(x0,y0)在双曲线221上，

ab22x0xy0yx0y0故221 代入②得221…………③ abab而当xa时，

y00 切线方程为xa，也满足③式

x0xy0y故221是双曲线过点P(x0,y0)的切线方程. ab预备定理 3.若点P(x0,y0)是抛物线y22px上任一点，则抛物线过该点的

3

切线方程是

y0yp(xx0)

0证明：由y22px，对x求导得：2yy'2pky'|xx当y00时，切线方程为yy即y0yy02pxpx0

而y022px0y0yp(xx0)………………① 而当y00,x00时，切线方程为x00也满足①式 故抛物线在该点的切线方程是

p(xx0) y0p y0y0yp(xx0).

定理1. 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）

x2y2已知：如图，椭圆C的方程为221，F1,F2分别是其左、右焦点，l是过

ab椭圆上一点P(x0,y0)的切线，交x轴于D l'为垂直于l且过点P的椭圆的法线，

设F2PD,F1PD， 求证：.

x2y2P(x0,y0)C，证法一：在C:221上，

abxxyy则过点P的切线方程为：02021

abl'是通过点P且与切线l垂直的法线， L’ y

则

l':(y0x011)x()xy(2)00222baba

caL F1 D OFF22 x

图2.1 ∴法线l'与x轴交于D(()2x0,0)

c2c2∴|F1D|2x0c,|F2D|c2x0

aa|F1D|a2cx0∴ 2|F2D|acx0又由焦半径公式得：|PF1|aex0,|PF2|aex0

4

∴

|F1D||PF1| |F2D||PF2|∴PD是F1PF2的平分线 ∴

∵90，故可得

yb2x0PF2证法二：由证法一得切线l的斜率ky'|xx02，而PF1的斜率k10，xcay00y的斜率k20

x0c∴l到PF1所成的角'满足

y0b2x022x0ca2y0a2y0b2x0b2cx0k1k tan'2222bx0y01kk1(ab)x0y0acy01(x0c)a2y0x2y2∵P(x0,y0)在椭圆C:221上

abb2∴tan'

cy0kk2b2同理，PF2到l所成的角'满足tan 1kk2cy0∴tan'tan' 而','(0,)

2∴''

证法三：如图，作点F3，使点F3与F2关于切线l对称，连结F1，F3交椭圆C于点P'

下面只需证明点P与P'重合即可

一方面，点P是切线l与椭圆C的唯一交点，则|PF1||PF2|2a，是l上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为l上的其它点均在椭圆外） 另一方面，在直线l上任取另一点P''

∵|P'F1||P'F2||P'F1||P'F3||F1F3||P''F1||P''F2|

即P'也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P'重合

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即而得证

定理2 双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；

x2y2已知：如图，双曲线C的方程为221，F1，F2分别是其左、右焦点，l是

ab过双曲线C上的一点P(x0,y0)的切线，交x轴于点D，设F1PD，F2PD 求证：

x2y2证明：C:221

aby L两焦点为F1(c,0)，F2(c,0) (c2a2b2)

P(x0,y0)在双曲线上

F  DFP x 则过点P的切线

x0xy0y21 a2b图2.2

a2切线l与x轴交于D(,0)。

x0由双曲线的焦半径公式得

|PF1||ccx0a|,|PF2||x0a| aa双曲线的两焦点坐标为F(c,0)，F(c,0)

cx0a||PF1||DF1|acaca故|DF1||||x0a|,|DF2||||x0a|, x0ax0a|PF2||cxa||DF2|0a|故 ， ∴切线l为FPF之角分线。

定理3 抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）。 已知：如图，抛物线C的方程为为y24cx， 直线l是过抛物线上一点P(x0,y0)的切线，

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yLPF xD 交x轴于D，DPF,PDF， 反射线PQ与l所成角记为， 求证：

证明： 如图 ，抛物线C的方程为

C:y24cx，点P(x0,y0)在该抛物线上，

则过点P的切线为y0yp(xx0) 切线l与x轴交于D(x0,0) 焦点为F(c,0)， (同位角)

2|x0c|,|DF||x0c| ∵|PF|(x0c)2y0∴|PF||DF| ∴

通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？ 三、圆锥曲线的光学性质的应用 3．1解决入射与反射问题

例1. 设抛物线C:y2x，一光线从点A(5，2)射出，平行C 的对称轴，射在C 上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为____，Q点的坐标为______。

解：如图，直线AP平行于对称轴且A(5，2)，∴则P点的坐标为（4，2） ∴反射线PQ过点F(,0) 设Q(t2,t)，则解得：t ∴Q(11,) 648图

14tt21424148 15187

图3.1.2

x2y2例2. 已知椭圆方程为 1，若有光束自焦点

2516A(3，0)射出，经二次

反射回到A点，设二次反射点为B，C，如图3.1.2所示，则△ABC的周长为 。

x2y2解：∵椭圆方程为 1中，c225169

2516∴A(3，0)为该椭圆的一个焦点

∴自A(3，0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点A (-3，0)

故△ABC的周长为ABBA'A'CCA4a4520

x2y2例3.双曲线C:1，又AC，已知A(4，

8822)，F(4，0)，若由F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过P(8，k)，则k  。

解：∵入射线FA反射后得到的光线AP的

反向延长线定过双曲线的另一个焦点F'(4,0)

∴

k22k32 128图3.1.3

3．2 解决一类“距离之和”的最值问题

张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和” 取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。

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x2y2例4．已知椭圆C：1，F1、F2为分别是其左右焦点，点Q(2，1)，P

259是C上的动点，求|MF1|+|MQ|的取值范围。

yyy P1'P1 P1QQQ F2F1OxFFOxF2F1Ox P'PP2 图3.2.2 图3.2.3 图3.2.1

（一）分析猜想：

（1）经计算，Q（2，2）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此|MF1|+|MQ|应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。

（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1，光线从F1P1Q），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从F1P2F2Q），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的|P1F1|+|P1Q|<2a(2a为椭圆长轴长)，而图3.2.2中的|P2F1|+|P2Q|>2a，可见图3.2.1所示的情况距离之和更小。

但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？ 将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3，由于|P2Q| +|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值4a(a为椭圆长半轴长)，而|P1Q|+|P1F1|由前面知最小，由此猜测|P2Q| +|P2F1|可能就是最大值。

（二）证明|P1F1|+|P1Q|是最小值。 如图3.2.2，连接Q F2，延长交椭圆于P2，在椭圆上另取一点P2，由椭圆定义知：|P2Q|-|QF2| +|PF1| = |P2F1| +|P2F2|（*），因为|P2F2|≥

|P2Q|-|QF2|，代入（*）式得|P2Q|-|QF2| +|P2F1|≥|P2F1| +|P2Q|-|QF2|所以，|P2Q| +|P2F1|≥|P2F1| +|P2Q|。猜想得证。

（三）计算：

综上所述，只需求出|F2Q|(42)242210 可得最小值为2a|F2Q|10210 12229

最大值为2a|F2Q|10210. y29例5．已知双曲线C：x1， F1、、F2为分别是其左右焦点，点Q(4,)，

322M是C上的动点，求|MF2|+|MQ|的取值范围。

分析猜想：经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然|MF2|+|MQ|可以无限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范围，关键是求出|MF2|+|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从F1射出经双曲线反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从F1射出被双曲线反射后经过点Q的光线：连接F1Q，与双曲线的交点即为使得|MF2|+|MQ|最小的点，设为P点，光线从F2PQ。（见图2）

（二）证明：如图2：按猜想作出点P，由于所求点P显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点P，由双曲线定义知：|PF1|-|PF2| = |PF1| -|PF2|，即|PF1|+|PF2| = |PF1| +|PF2|，因为|PF1|+|PQ|≤|PQ| +|PF1|，两边同加|PF2|得：所以|PF1|+|PQ| +|PF2|≤|PQ| +|PF1|+ |PF2|=|PQ| +|PF1|+|PF2|，故|PQ|+|PF2|≤|PQ|+|PF2|，猜想得证。

Q（三）计算：由题意知 P492||F1P||PF2| ∴|PQ||PF2||FQ1∵F1(2,0),Q(4,)

2P'F2 -5F1 O-25=|F1Q|(|F1P||PF2|)

=|F1Q|2A =

11 2-4图3.2.5

例6．已知抛物线C：y24x， F是其焦点，点Q(2,1)，M是C上的动点，求|MF|+|MQ|的取值范围。。

分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见图3.2.6）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF|+|PQ|≥3

3．3． 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。

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光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。

以椭圆为例：如图3.3.1，l是过椭圆周上一点P的椭圆的切线，m是P点处的法线，光线从F1（F2）射出被椭圆反射经过F2（F1），满足∠1=∠2，且∠3=∠4。

lP 4123

OF1F2m

图

图3.3.1

25-2x2y2例7．已知l是过椭圆C：1上一动点P的椭圆C的动切线，过

1612C的左焦点F1作l的垂线，求垂足Q的轨迹方程。

分析：如图3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于l是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l是∠F1PF2的外角平分线， F1关于直线l的对称点F2在F2P的延长线上。这样，由于| P F1| =|PF2|，故

|F1F2|=|P F 1|+|PF2|=2a=8，而Q、O分别是F1F1、F2F2的中点，所以|QO|=4。从而Q点轨迹是以O为圆心、以4为半径的圆。即点Q的方程为x2y216 3．4在生产生活中的作用 例8．某种碟形太阳能热水 器的外形示意图如图3.4.1，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为单位的设计尺寸如 图3.4.2．为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？

解 ：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开口方向为x图3.4.1

O 40 图3.4.2 F y 5 85 x 11

轴的正向，建立坐标系如图3.4.2，则内壁抛物线方程为y2=2px．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点，所以 852=2p40=80p，p90.3． 加热点F应置于抛物线的焦点．焦点坐标为(p,0)(45.2,0)．所以F应距

2碟底约45.2cm

圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。

参考文献（1）张奠宙主编的《数学教育研究导引》 （2）教材124页《圆锥曲线的光学性质及其应用》

焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆221上任一点，F1(c,0)，F2(c,0)为焦点，PF1F2，

abPF2F1。

（1）求证离心率esin()；

sinsin3 （2）求|PF1|PF2|的最值。

3

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