高中函数知识点总结(整理版)

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C 中元素各表示什么？

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况

2 如：集合Ax|x2x30，Bx|ax1

 若BA，则实数a的值构成的集合为3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2n；

（2）若ABABA，ABB； （3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

4.用补集思想解决问题（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a

x2a（∵3M，∴a·35032aa·55025a5a1，9，25）

3

∵5M，∴5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

1

A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}，

若 ；则p是q的充分非必要条件A_____B； 若 ；则p是q的必要非充分条件A_____B； 若 ；则p是q的充要条件A_____B；

若 ；则p是q的既非充分又非必要条件___________；

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是 （答：0，22，33，4）

函数定义域求法：

 分式中的分母不为零；

 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；  指数式的底数大于零且不等于一；

 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

 正切函数ytanx xR,且xk,k 2 余切函数ycotx xR,且xk,k

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________。 （答：a，a）

复合函数定义域的求法：已知yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，可由

mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域。

2

例 若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为 。

2

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=

11的值域 x2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=x-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

2b型：直接用不等式性质2k+xbxb. y2型,先化简，再用均值不等式xmxnx11 例：y121+x2x+xx2mxnc.. y2型 通常用判别式xmxnx2mxnd. y型 xn 法一：用判别式a. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2x1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=

3x4值域。

5x65、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

2sin12sin1ex1例 求函数y=x，y，y的值域。

1sin1cose1

3

ex11yyxex01ye12sin11yy|sin|||1,1sin2y2sin1y2sin1y(1cos)1cos2sinycos1y4y2sin(x)1y,即sin(x)1y4y2

1y4y2又由sin(x)1知1解不等式，求出y，就是要求的答案

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=

2x5log3x1（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+x1的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

22

例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，

y的取值范围x2 (2)y-2x的取值范围 (1) 解:(1)令 dR(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线d dR 例求函数y=

yk,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线. x2(x2)2+

(x8)2的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时，

4

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=

x26x13+

x24x5的值域

22解：原函数可变形为：y=

(x3)(02)+

(x2)(01)22

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ymin=∣AB∣= 故所求函数的值域为[43，+∞）。

9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈

(32)(21)22=43，

R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求

积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例： 2 x2(x0) x2111x1(3-2x)(02倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=

x2的值域 x3 5

x2x3x20时，1x21x2yx2yx20时，y=00y121x220y1 212. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：

函数y

x11(x1)的反函数是（ B ）

B．y=x2－2x+2(x≥1) D．y=x2－2x (x≥1)

A．y=x2－2x+2(x<1) C．y=x2－2x (x<1)

13. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：

1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

42)，则方程f1(x)4的解x__________.1 x由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

已知函数f(x)log3(

14 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求

f(x1)f(x2)f(x1)的正负号或者与1的关系

x1x2f(x2)(2)复合函数单调性：

6

ylog1x2x的单调区间 如：求

22 （设ux22x，由u0则0x2 且log1u，ux11，如图：

22 u O 1 2 x 当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2∴„„）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大 值是（ ） A. 0

3B. 1

2 C. 2 D. 3

（令f'(x)3xa3xaax0 33 则xaa 或x33a1，即a3 3 由已知f(x)在[1，)上为增函数，则 ∴a的最大值为3） 16. 函数奇偶性

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

7

（1）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。a·2xa2为奇函数，则实数a 如：若f(x)2x1

2x， 又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x （令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x 又f(x)为奇函数，∴f(x)x x4114

2xx41 又f(0)0，∴f(x)x24x1判断函数奇偶性的方法

x(1，0)x0x0，1）

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性

f(g) 奇 奇 偶 偶

g(x) 奇 偶 奇 偶 f[g(x)] 奇 偶 偶 偶 f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶 8

f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y) f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 联想点（x,y）,(x,-y) f(x)与f(x)的图象关于原点对称 联想点（x,y）,(-x,-y) f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 联想点（x,y）,(y,x) f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 联想点（x,y）,(2a-x,y) f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 联想点（x,y）,(2a-x,0)

yf(xa)左移a(a0)个单位 将yf(x)图象 yf(xa)右移a(a0)个单位上移b(b0)个单位yf(xa)b

下移b(b0)个单位yf(xa)b 注意如下“翻折”变换：

f(x)|f(x把)|轴下方的图像翻到上面x f(x) f(|x把|)轴右方的图像翻到上面y 如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象 19. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，„„）

9

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)„„）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2„„



（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].

（1） 判断f（x）的奇偶性；

（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3） 若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围. 分析：（1）令y＝－1； （2）利用f（x1）＝f（

x1x·x2）＝f（1）f（x2）； x2x2 （3）0≤a≤2.

例4设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求： （1） f（1）；

（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

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